专题3：用字母表示（二）（思维拓展）北师大版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题3：用字母表示（二） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：用字母表示数量关系与计算公式 3 考点二：等式的基本性质 4 考点三：图形规律探究 6 考点四：日历中的数量关系 7 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：字母式子书写不规范 10 易错点 2：等式性质两边不同步 10 易错点 3：图形规律差量找错 10 易错点 4：日历竖排差值搞错 10 易错点 5：整体代换倍数错配 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 11 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 11 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 13 一、能力进阶篇解析 13 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版六年级上册第三单元《用字母表示数（二）》核心内容，以“代数表示→性质变形→规律探究→应用拓展”为主线，系统覆盖用字母表示数量关系与公式、等式的基本性质与变形、图形规律代数表达、日历与数列规律探究四大核心模块，渗透代数思想、建模思想、归纳思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从用字母表示数量关系入手，掌握含有字母的式子的书写规范与化简方法，能用字母表示运算定律、几何公式；理解等式的基本性质，能利用性质对等式进行简单变形；借助字母探索图形排列的规律，归纳通项公式；探索日历中的数量关系，能用字母表示通用规律；延伸整体代换、图形通项、方框数阵规律等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数”领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，发展符号意识与代数思维。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 用字母表示数量关系与公式 数量关系表达；运算定律与几何公式；式子化简 规范表达法、公式逆推法 书写格式不规范；逆推公式变形错误 等式的基本性质 性质 1（加减）；性质 2（乘除）；等式变形 性质应用法、整体代换法 两边运算不同步；除数为 0 的忽略 图形规律探究 小棒摆图形规律；点阵规律；周长面积规律 通项归纳法、差量法 差量找错；通项验证遗漏 日历与数列规律 横排竖排规律；方框数阵规律；等差数列 等差规律法、中间数法 竖排差值搞错；数阵和倍数错 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 规范表达法 字母表示数量 ①理关系；②写式子；③化最简 字母乘数字，数字在前，乘号省略 性质变形法 等式变形 ①看变形方向；②同加同减同乘除；③得结果 等式两边，同加同减，同乘同除（非 0），仍相等 通项归纳法 图形规律 ①找前几组；②算差量；③写通项 找差量，定常数，代入 n，验前项 中间数法 日历数阵 ①找中间数；②看倍数；③算总和 横差 1，竖差 7，方框和，中间乘 整体代换法 代数式求值 ①找倍数关系；②两边同变形；③代入得值 不求 x，看整体，扩几倍，得结果 三、数学思维提升 1. 代数思想 核心要点：用字母代替数，表达通用的数量关系与规律，从具体到抽象，培养符号意识与代数思维能力。 专题示例：用 n 表示图形个数，写出小棒总数的式子，就是代数思想的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立用字母表示的公式模型、规律模型，掌握通用的解题方法，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：路程公式、正方形周长，就是典型的代数模型。 3. 归纳思想 核心要点：从多个具体例子中，归纳出通用的规律，用字母表示通项，培养归纳推理与抽象概括能力。 专题示例：根据多个图形的小棒数，归纳出 n 个图形的小棒通项，就是归纳思想的应用。 4. 应用意识 核心要点：运用字母表示的知识解决生活中的规律、计算、预测等实际问题，体会代数的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：根据图形规律预测第 n 个的数量、根据日历规律推算日期，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：用字母表示数量关系与计算公式 能力进阶（★★★）—— 数量关系表达与化简 题目：甲、乙两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行 a 千米，乙车每小时比甲车多行 8 千米，经过 t 小时两车相遇。两地相距多少千米？用含有字母的式子表示，当，时，两地相距多少千米？ 解题步骤： ① 先表示乙车的速度：乙车每小时行千米； 两车的速度和为：（千米 / 时）。 ② 总路程 = 速度和 × 相遇时间，所以两地相距： （千米）。 ③ 代入数值计算：当，时， 原式（千米）。 验证：甲车路程千米，乙车路程千米，总路程千米，正确。 【答案】两地相距千米；当、时，相距 320 千米。 【知识点睛】本题考查用字母表示数量关系与代入求值，对应教材核心重难点。 书写规范： 1. 数字与字母相乘，数字在前，字母在后，乘号省略，如写成； 2. 式子中有加减号且带单位时，式子要加括号，再写单位； 3. 代入求值时，先写原式，再代入数值计算。 核心思路：先理清数量关系，用字母分步表示各部分量，再根据关系合并化简。 易错警示：字母与数字相乘顺序写反，如写成；代入求值时直接写结果，省略过程。 思维拓展（★★★★）—— 几何公式逆推 题目：一个三角形的面积是 S，底边长是 a，用含有字母的式子表示这条底边上的高 h。如果平方厘米，厘米，高是多少厘米？ 解题步骤： ① 三角形的面积公式：。 根据等式的性质，两边同时乘 2：； 两边再同时除以 a：。 ② 代入数值计算：当，时， （厘米）。 ③ 验证：底 6 厘米、高 5 厘米，面积平方厘米，与条件一致。 【答案】高；高是 5 厘米。 【知识点睛】本题是用字母表示公式的奥数拓展题型，考查公式逆推与等式性质的结合应用。 解题方法：从已知的公式出发，利用等式的基本性质，将要求的量单独放在等号一边，用含有字母的式子表示。 核心作用：用字母表示逆推公式，比具体数字更具通用性，是代数思维的核心体现。 易错警示：逆求高时忘记乘 2，直接写成。 考点二：等式的基本性质 能力进阶（★★★）—— 等式性质判断与变形 题目：根据等式的基本性质，判断下列变形是否正确，并说明理由。 （1）如果，那么。 （2）如果，那么。 解题步骤： ① 第（1）题：等式两边同时加上 5，左边，右边，等式仍然成立，所以变形正确。 ② 第（2）题：等式两边同时除以 2，左边，右边，等式仍然成立，所以变形正确。 ③ 验证：假设，，，，，符合；假设，，，，，，符合。 【答案】两个变形都正确，理由见解析。 【知识点睛】本题考查等式的基本性质，对应教材重难点。 核心性质： 1. 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立（性质 1）； 2. 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立（性质 2）。 易错警示：等式两边一边加、一边减，或者乘除的数不一样，导致等式不成立；除以一个数时忽略“不为 0”的条件。 思维拓展（★★★★）—— 整体代换求值 题目：已知，不用求出 x 的值，计算和的值。 解题步骤： ① 观察和已知式子的关系：是的 3 倍，是的 3 倍。 根据等式的性质，把两边同时乘 3： ，即。 ② 计算：先把两边同时乘 2，得； 两边再同时减 1：。 ③ 验证：先解方程，；代入，，结果正确。 【答案】；。 【知识点睛】本题是等式性质的奥数拓展题型，考查整体代换的思想方法。 解题技巧：不求未知数的具体值，观察所求式子与已知式子的倍数关系，利用等式的性质对整体进行变形，直接求出结果。 适用场景：当所求代数式与已知代数式存在倍数关系时，整体代换比解方程更简便。 易错警示：倍数关系找错，比如把当成的 2 倍，导致结果错误。 考点三：图形规律探究 能力进阶（★★★）—— 小棒摆图形规律 题目：用同样长的小棒摆三角形，摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个相连的三角形用 5 根小棒，摆 3 个相连的三角形用 7 根小棒…… 照这样摆下去，摆 n 个相连的三角形需要多少根小棒？摆 10 个需要多少根？ 解题步骤： ① 找规律：摆 1 个：3 根；摆 2 个：5 根，多了 2 根；摆 3 个：7 根，又多了 2 根。 每增加 1 个三角形，增加 2 根小棒，因为相邻三角形共用 1 条边。 ② 归纳通项：摆 n 个时，小棒数 = （根）。 ③ 摆 10 个时，代入： （根）。 验证：摆 4 个应该是 9 根，，符合每次加 2 的规律。 【答案】摆 n 个需要根；摆 10 个需要 21 根。 【知识点睛】本题考查图形规律的探究与通项表达，对应教材重难点。 解题方法：先计算前 3-4 组的数量，找到相邻两组的差量（公差），再根据首项写出通项公式；最后代入验证，确保规律正确。 核心规律：相连的同边数图形，每增加一个，增加的小棒数 = 图形边数 - 1（公共边重复）。 易错警示：直接用边数乘个数，忽略公共边的重复，导致结果偏大。 思维拓展（★★★★）—— 点阵规律探究 题目：观察正方形点阵：第 1 个点阵有 1 个点，第 2 个点阵有 4 个点，第 3 个点阵有 9 个点…… 第 n 个点阵有多少个点？第 n 个点阵的最外层有多少个点？ 解题步骤： ① 总点数规律：第 1 个，第 2 个，第 3 个，所以第 n 个点阵总点数是个。 ② 最外层点数：第 2 个最外层 4 个点，；第 3 个最外层 8 个点，； 规律：最外层点数 = 4× 边长 - 4 = （）；当时，最外层 1 个点。 ③ 验证：第 4 个点阵总点数 16，最外层个，画图验证正确。 【答案】第 n 个点阵有个点；最外层有个点（）。 【知识点睛】本题是图形规律的奥数拓展题型，考查正方形点阵的总点数与外层点数规律。 解题关键：总点数是边长的平方，是实心方阵的规律；最外层点数用周长公式减去 4 个角重复计算的点。 拓展：空心方阵、三角形点阵都可以用类似的方法，先找总规律，再找外层规律。 易错警示：最外层点数直接算，忽略四个角的点重复计算。 考点四：日历中的数量关系 能力进阶（★★★）—— 竖排与十字框规律 题目：在日历中，竖着相邻的三个日期，中间的数是 m。 （1）用含有字母的式子表示另外两个数； （2）这三个数的和是多少？ （3）如果三个数的和是 45，中间的数是多少？ 解题步骤： ① 日历中竖着相邻的两个数相差 7 天，所以上面的数比中间小 7，是；下面的数比中间大 7，是。 ② 三个数的和：。 ③ 和是 45 时，，两边同时除以 3，得。 验证：三个数是 8、15、22，和为 45，符合日历竖排规律。 【答案】（1），；（2）和是；（3）中间的数是 15。 【知识点睛】本题考查日历中的数量规律，对应教材重难点。 核心规律： · 日历中，横着相邻的数相差 1，竖着相邻的数相差 7； · 同一列上下三个数的和是中间数的 3 倍，同一行左右三个数的和也是中间数的 3 倍。 · 易错警示：竖着相邻的数相差 1，混淆横排和竖排的差值。 思维拓展（★★★★）—— 3×3 方框数阵规律 题目：在日历中，用一个 3×3 的正方形框出 9 个数，中间的数是 a。 （1）这 9 个数的和是多少？ （2）如果这 9 个数的和是 162，那么最小的数是多少？ 解题步骤： ① 先写出 9 个数： 第一行：，，第二行：，，第三行：，，相加求和：正负数抵消，和为。 ② 和是 162 时，，解得。 最小的数是左上角的：。 ③ 验证：9 个数是 10、11、12、17、18、19、24、25、26，和为 162，符合日历规律。 【答案】（1）和是；（2）最小的数是 10。 【知识点睛】本题是日历规律的奥数拓展题型，考查 3×3 方框的数阵规律。 核心结论：日历中 3×3 方框的 9 个数，和是中间数的 9 倍；最大数比中间数大 8，最小数比中间数小 8。 解题技巧：中间数是这 9 个数的平均数，知道和直接除以 9 得中间数，再推算其他数。 易错警示：认为最小数比中间数小 7，忽略左上角的数横、竖都比中间小。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：字母式子书写不规范 错误示例：写成，写成，写成。 正确分析：数字与字母相乘，数字在前，字母在后，乘号省略；1 与字母相乘，1 省略不写；有加减的式子乘数字，要给式子加括号。 修正方法：数字前，字母后，乘号省，1 省略，有加减，先括号。 易错点 2：等式性质两边不同步 错误示例：，两边减 3，得。 正确分析：等式两边要同时进行相同的运算，右边也要减 3，正确结果是。 修正方法：等式变形，两边同步，同加同减同乘除。 易错点 3：图形规律差量找错 错误示例：摆相连正方形，摆 1 个 4 根，摆 2 个 7 根，认为每多一个加 3 根，通项是。 正确分析：差量是 3，首项是 4，通项是，不是。 修正方法：通项 = 首项 + 差量 ×(n-1)，化简后验证前两项。 易错点 4：日历竖排差值搞错 错误示例：日历竖着相邻的两个数相差 1。 正确分析：横着差 1，竖着差 7，一周 7 天。 修正方法：横差 1，竖差 7，对角线差 8。 易错点 5：整体代换倍数错配 错误示例：已知，求，直接两边乘 2，得 16。 正确分析：只有乘 2，3 没乘 2，正确的是，所以。 修正方法：看整体，找倍数，每一项，都乘除。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 每本练习本 a 元，买 8 本应付（ ）元。 2. 小明今年 x 岁，爸爸比小明大 28 岁，爸爸今年（ ）岁。 3. 正方形的边长是 a 厘米，它的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 4. 如果，那么 x（ ）y。（填“＞”“＜”或“＝”） 5. 摆 n 个相连的正方形需要（ ）根小棒。 6. 日历中横着相邻的三个数，中间是 n，三个数的和是（ ）。 7. 已知，那么（ ）。 8. 梯形的上底 a，下底 b，高 h，面积 S=（ ）。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 已知，不用解方程，求和的值。 10. 用小棒摆正六边形，摆 1 个用 6 根，摆 2 个相连用 11 根，摆 n 个相连的正六边形需要多少根小棒？摆 8 个需要多少根？ 11. 日历中用十字框框出 5 个数，中间的数是 a，这 5 个数的和是多少？如果和是 75，最大的数是多少？ 12. 一个长方形的周长是 C，长是 a，用含有字母的式子表示宽 b。 13. 观察三角形点阵：第 1 个图形有 1 个小三角形，第 2 个有 4 个，第 3 个有 9 个…… 第 n 个图形有多少个小三角形？ 14. 水果店运来 x 箱苹果，每箱 20 千克，运来的梨比苹果的 2 倍少 5 千克，运来梨多少千克？当时，梨有多少千克？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】 解题步骤： ① 总价 = 单价 × 数量，。 【知识点睛】考查字母式子书写规范。核心：数字在前。易错警示：。 2. 【答案】 解题步骤： ① 小明年龄 + 年龄差 = 爸爸年龄。 【知识点睛】考查用字母表示数量关系。核心：大数 = 小数 + 差。易错警示：。 3. 【答案】； 解题步骤： ① 正方形周长 = 边长 ×4=；面积 = 边长 × 边长 =。 【知识点睛】考查几何公式字母表示。核心：周长 4a，面积 a 平方。易错警示：，。 4. 【答案】＞ 解题步骤： ① 两边同时减 4，，所以 x＞y。 【知识点睛】考查等式性质。核心：同时减相同数。易错警示：＜。 5. 【答案】 解题步骤： ① 每多一个正方形加 3 根，首项 4，通项。 【知识点睛】考查图形规律。核心：差量 3，首项 4。易错警示：。 6. 【答案】 解题步骤： ① 三个数是、、，和为。 【知识点睛】考查日历横排规律。核心：和是中间 3 倍。易错警示：。 7. 【答案】36 解题步骤： ① 两边同时乘 3，。 【知识点睛】考查等式性质。核心：同时乘 3。易错警示：24。 8. 【答案】 解题步骤： ① 梯形面积公式的字母表达。 【知识点睛】考查梯形公式。核心：上下底和乘高除以 2。易错警示：。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】；。 解题步骤： ① 已知，两边同时乘 3，得； ② 两边同时乘 2，得，两边同时减 10，得。 【知识点睛】考查整体代换求值。核心：同乘倍数再调整。易错警示：只乘未知数项，常数项漏乘。 10. 【答案】根；41 根。 解题步骤： ① 每多一个正六边形加 5 根，首项 6，通项； ② 摆 8 个：根。 【知识点睛】考查正六边形小棒规律。核心：差量 5，首项 6。易错警示：。 11. 【答案】和是；最大的数是 22。 解题步骤： ① 十字框 5 个数，上下左右加中间，和是； ② 和是 75，中间数，最大的是下面的。 【知识点睛】考查十字框数阵规律。核心：和是中间 5 倍，最大数 + 7。易错警示：16。 12. 【答案】。 解题步骤： ① 长方形周长，两边除以 2：，减 a 得。 【知识点睛】考查周长公式逆推。核心：利用等式性质变形。易错警示：。 13. 【答案】个。 解题步骤： ① 第 1 个，第 2 个，第 3 个，第 n 个。 【知识点睛】考查三角形点阵规律。核心：总个数是 n 的平方。易错警示：。 14. 【答案】千克；595 千克。 解题步骤： ① 苹果总重千克，梨是千克； ② 时，千克。 【知识点睛】考查倍数关系的字母表示。核心：几倍少几，乘倍减差。易错警示：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $