13导数的概念及运算题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕导数的概念、几何意义、运算及切线问题等核心考点，按“概念—运算—应用”逻辑梳理知识，通过知识梳理、题型分类指导、分层练习及真题训练，帮助学生构建导数知识体系，突破切线问题等难点。 讲义采用分类突破策略，如将切线问题细化为在某点处、过某点、公切线三类，引导学生通过设切点、列方程培养数学思维，设置基础夯实、能力提升、创新风向练分层练习适配不同学生，参考答案解析详尽。通过针对性训练提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

导数的概念及运算 一、知识梳理 1. 导数的概念 一般地,函数 在 处的瞬时变化率是 ,称为函数 在 处的导数,记作 或 , 即 . ① 注意 与 的区别与联系: 是一个函数, 是函数 在 处的函数值 (常数),所以 . 2. 导数的几何意义 函数 在 处导数的几何意义是曲线 在点 处切线的斜率. 相应地, 切线方程为 . 函数 的导数 反映了函数 的瞬时变化趋势, 的大小反映了 图象变化的快慢, 越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 3. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 ( 为常数) 4. 导数的运算法则 5. 复合函数的导数 一般地,由函数 和 复合而成的函数 ,它的导数与函数 的导数间的关系为 . 即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积. 知识拓展 二、练习题 1. 判断正误. (正确的打“√”,错误的打“✗”) (1)设 为 上的可导函数，且 ， 则 . ( ) ( 2 )函数 的导函数为 . ( ) 2. 已知函数 的图象在 处的切线方程为 ,则 ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 3. 若 ,则 ___. 4. 若 ,则 ___. 题型一　导数的运算 5. 设函数 . 若 ，则 ___. 6. 已知函数 ,则 的值为___. 7. 若定义域都为 的函数 及其导函数 ,满足对任意实数 都有 ,则 ___. 题型二　曲线的切线问题 解决切线问题应注意以下三点: ① 切点在切线上, 即切点坐标可代入切线方程建立等式关系; ② 切点在曲线上, 即切点坐标可代入曲线方程建立等式关系; ③ 在切点横坐标处的导数等于切线的斜率. 角度1　在某点处的切线问题 8. 曲线 在点 处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 提示 在某点处的切线，则该点一定为切点，该点的导函数值必为切线斜率. 9. 已知曲线 在点 处的切线方程为 ,则 ( ) A. B. C. D. 角度2　过某点的切线问题 10. 过点 可作曲线 的斜率为 1 的切线，则实数 ___. 提示 过某点的切线问题，该点不一定为切点，需要先设出切点坐标，再建立方程求解. 11. 已知直线 与函数 的图象相切,则 的最小值为 ___. 提示 本题虽未出现“在”和“过”两个关键词，但仍然可以归类为切点未知型切线问题，故先设切点坐标，再建立方程组求解. 角度3　公切线问题 12. 若直线 是曲线 的切线,也是曲线 的切线,则 ___. 注意 公切线问题通常需要设出两个切点的坐标,得到两条切线方程，再通过两条直线重合建立关系式，得到相应结果. 13. 曲线 与曲线 有公切线， 则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 14. 设函数 ,则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 15. 若过点 可以作曲线 的两条切线，则 ( ) A. B. C. D. 16. 曲线 在点 处的切线方程为___. 17. 曲线 过坐标原点的两条切线的方程为___， ___. 18. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线,则 ___. 19. 若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是___. 20. 已知函数 ,函数 的图象在点 和点 处的两条切线互相垂直，且分别交 轴于 ， 两点，则 的取值范围是___. 21. 已知函数 ,曲线 在点 , 处的切线也是曲线 的切线. (1)若 ，求 ； (2)求 的取值范围. 基础夯实 22. 设 ,则曲线 在点 处的切线的斜率是 ( ) A. -1 B. -4 C. 1 D. 4 23. 已知定义在 上的函数 满足 ,则曲线 在点 处的切线斜率为 ( ) A. -1 B. C. D. 1 24. 函数 的图象如图所示,设 的导函数为 ,则 的解集为 ( ) A. B. C. D. 25. 已知 ,则曲线 在 处的切线方程是 ( ) A. B. C. D. 26. 已知函数 与 的部分图象如图所示，则( ) A. B. C. D. 27. 已知函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直,则 的最大值为 ( ) A. 1 B. C. D. 28. 已知函数 的图象在 , 两个不同点处的切线相互平行, 则下面等式可能成立的是 ( ) A. B. C. D. 29. (多选) 下列函数的导数运算正确的是 ( ) A. B. C. D. 30. (多选) 若曲线 在 处的切线与直线 互相垂直，则 ( ) A. B. C. D. 31. 已知函数 ,若直线 是曲线 与 的公切线,则 ___. 32. 已知函数 和 ,如果直线 同时是曲线 和 的切线,称 是曲线 和 的公切线,若曲线 和 有且仅有一条公切线,则 ___. 能力提升 33. 若函数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 34. 曲线 的所有切线中,斜率最小的切线方程是 ( ) A. B. C. D. 35. 函数 与 图象的公切线的纵截距为 ( ) A. 1 或 0 B. -1 或 0 C. 1 或 e D. -1 或 e 36. 若曲线 的一条切线为 ( 为自然对数的底数),其中 为正实数,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 37. (多选) 关于函数 的图象的切线,下列说法正确的是 ( ) A. 在点 处的切线方程为 B. 经过点 的切线方程为 C. 切线 与 的图象必有两个公共点 D. 在点 处的切线过点 ,则 38.分别为曲线 与直线 上的点，则 的最小值为___. 39. 函数 的图象与 和 的图象分别交于 两点,设曲线 在 处的切线 的倾斜角为 ,曲线 在 处的切线 的倾斜角为 ,若 ,则 ___. 创新风向练 40.牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法. 如图, 方程 的根就是函数 的零点 ,取初始值 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ,一直继续下去,得到 ,它们越来越接近 . 设函数 ,用牛顿迭代法得到 ，则实数 ( ) A. 1 B. C. D. 41.在平面直角坐标系 中, 为曲线 上一点且位于第一象限,将线段 绕 轴旋转一周，得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最大值为___. 参考答案与解析 1. (1) 2. B 3. 4. 27 5. 1 解析 ,则 ,解得 6. 解析 由题意知 ,所以 , 所以 ,所以 ,所以 . 7. 2024 解析 对 两边同时求导得 ,即 (不要忘记对内层函数求导),则 ,从而 8. C 由 ,可得 ,则 曲线在点 处的切线方程为 ,即 ,故选 C. 9. D , ,切点坐标为 , 将 代入 ，得 ， ，故选 D. 10. 解析 由已知可得切点未知,故设切点坐标为 , 由 得 ,则有 ,解得 , 故 ,故切点坐标为 且切线斜率为 1,故切线方程为 ,由已知可知点 在切线上,则 . 11. 解析 设切点为 , 由 ,得斜率 , 则切线方程为 , 即 , 故 故 , 令 ,则 , 当 时, 单调递减,当 时, 单调递增, 所以 ,即 的最小值为 . 12. 解析 设直线 与曲线 和 的切点分别为 和 . 由 得 ,由 得 , 则切线分别为 , 化简得 , 依题意 (利用两条切线重合,建立等式关系) 解得 ,从而 . 13. B 对两个函数分别求导得 , 设公切线与曲线 相切的切点分别为 , ,则在这两点处的切线方程分别为 则 (利用切线重合,建立等式关系) 所以 ,则 ,即 设 , 令 ,所以 , 所以 在 上单调递增,又 , 则 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以 . 故选 B. 14. A , 曲线 在点 处的切线的斜率 , 切线的方程为 ,令 ,得 ; 令 ,得 , 曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 15. D 设切点坐标为 ,则 . 对 求导得 ,则切线斜率 ,切线方程为 , 因为切线过点 ,所以 ,即 . 由题意知方程(*) 有两个解. (不能直接求方程(*) 的解, 考虑其对应函数有两个零点, 利用导数法求解) 设 ,则 , 令 ,得 ,令 ,得 , 故函数 在 处取得极大值,也是最大值. 要使 有两个零点,则 ,即 ,即 . 结合选项知选 D. 小题速解 16. 解析 ,所以 ,所以 5,从而切线方程为 ,即 . 17. (不分先后) 解析 由题意可知,函数的定义域为 . 易证函数 为偶函数,当 时, ,设切点坐标为 , 切线斜率 ,故切线方程为 ,又知切线过原点 ,故切线方程为 ,即 . 由偶函数图象的对称性可知另一条切线方 程为 ,故过坐标原点的两条切线方程为 和 18. 解析 因为 ,所以 , 所以曲线 在点 处切线的斜率 , 又切线过点 ,所以曲线 在点 处切线的方程为 , 对 求导得 ,由直线 也是曲线 的切线,得 ,解得 ,将 代入 得 , 所以曲线 与直线 相切的切点坐标为 ,代入 ,解得 . 19. 解析 设 ,则 , 设切点为 ,因此切线方程为 , 又 切线过原点 ,整理得 ,又切线有两条, 关于 的方程 有两不等实根,故 ,解得 或 . 20. 解析 当 时, ,则 . 当 时, , 由切线垂直可知 ,得 , 设 ,则 ,则 , . 故 的取值范围是 . 21. 解析 (1) 由题意知, , 则 , 则曲线 在点 处的切线方程为 , 即 , 设该切线与曲线 切于点 ,易得 , 则 ,解得 ,则 ,解得 . (2) ，则曲线 在点 处的切线方程为 ,整理得 , 设该切线与曲线 切于点 ,易得 ,则 ,则切线方程为 ,整理得 则 整理得 令 ,则 ,令 ,解得 或 , 令 ,解得 或 , 则 变化时, 的变化情况如表: 则 的值域为 ,故 的取值范围为 . 0 (0,1) 1 (1,+∞) - 0 + 0 - 0 + ↘ ↗ ↘ -1 ↗ 22. A 因为 , 所以 , 则曲线 在点 处的切线斜率为 -1,故选 A. 23. 因为 ,所以 , 联立可解得 , 所以 ,所以 . 故选 C. 24. D 由 , 由题图知当 时， 单调递增； 当 时, 单调递减, 所以当 时， 且 ； 当 时, 且 . 综上, . 故选 D. 25. C 因为 ,所以 , 所以 ,又 , 所以曲线 在 处的切线方程为 , 即 . 故选 C. 26. B 由题图可知, 与 在区间 上单调递增,所以 . 在区间 上, 的图象比 的图象更陡, 所以 . 故选 B. 27. C 因为 ,所以 . 因为函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直,所以 , 即 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,故 的最大值为 . 故选 C. 28. B 因为 , 所以 . 因为 的图象在 两个不同点处的切线相互平行, 所以 ,则 ,即 ,即 ,又 ,所以 ,故 CD 不成立; 因为 且 ,所以 ,故 不成立; 当 时, . 故 成立. 故选 B. 29. ABD. 对于 ,故 正确. 对于 ,故 正确. 对于 ,故 错误. 对于 ,故 正确. 故选 ABD. 30. BCD 因为 ,所以 ,故 A 错误, B 正确; 因为 ,所以 ,故 正确; 直线 的斜率为 ,而 ,由已知,得 ,所以 , D 正确. 故选 BCD. 31. 解析 设直线 与 的图象相切于点 ,与 的图象相切于点 , 易得 . 则切线方程为 . 故 (由 得 ) 解得 ,故 . 32. 解析 由 得 . 由 得 . 设 与曲线 相切于点 ,与曲线 相切于点 , 所以 的方程为 或 即 的方程为 或 , 所以 则 , 因为曲线 与 有且仅有一条公切线, 所以 ,解得 . 33. B 易知函数的定义域为 . 因为 ,所以 为偶函数, 将 两边同时求导得 , 所以 . 故选 B. 34. D 由 , 得 . 由 ,得 , 当 ,即 时, ,又 , 即曲线在点 处切线的斜率最小,为 -1, 此时的切线方程为 ,即 ,故选 D. 35. B 设切点分别为 , 因为 , 所以切线方程为 或 , 所以 所以 , 所以 ,所以 或 , 所以公切线的纵截距为 或 . 故选 B. 36. ,令 ,则 ,则 ,即 ,即 , 又 为正实数,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立. 故 的取值范围是 . 故选 C. 37. ACD 由 得 . 对于 ,由 ,得 的图象在点 处的切线方程为 ,即 ,故 正确; 对于 ,设切点为 ,所以 ,所以切线方程为 又切线过点 ,所以 ,解得 或 ,所以过点 的切线方程为 或 ,故 B 错误; 对于 ,则在点 的切线方程为 , 则 ,即 , 因为 ,所以 ,即 , 即 ,所以 , 又 ,当 时 , 又点 在函数 的图象上,且与点 , 相异, 即过曲线上任意点 (除原点外) 的切线必经过曲线上另一点 (不是切点), 对于切线 ,则切点不是坐标原点, 所以切线 与 的图象必有两个公共点,故 C、D 正确. 故选 ACD. 38. 解析 令 ,则 , 令 ,可得 ,所以 时, 单调递减; 时, 单调递增. 所以 ,即 恒成立, 则曲线 在直线 上方, 则当曲线 在 处的切线与直线 平行时 最小,对 求导得 ,令 , 此时点 到直线 的距离最短, 故 . 39. 解析 由题意得 , 函数 的图象关于直线 对称,函数 和 的图象也关于直线 对称,所以 两点关于直线 对称,有 , 函数 的导数为 ,函数 的导数为 , 则 ,由 ,有 ,即 , 由 ,解得 ,所以 . 40. D 由题意得 ,又 , 则曲线 在 处的切线方程为 ,由题意得,切线过点 ,则 , 解得 ,故选 D. 41. 解析 的定义域为 ,且 , 令 ,解得 ; 令 ,解得 , 所以 在 内单调递增,在 内单调递减, 且当 时, ,当 时, , 令 ,解得 ,画出 的图象,如图所示, 设 ,则 ,由题意可知: 圆锥的底面半径为 ,母线长为 , 设所求圆心角为 ， 则 ，解得 ， 若扇形的圆心角 取到最大值，则 取到最大值， 设 ,则 ,令 ,解得 ; 令 ,解得 ,所以 在 内单调递增,在 内单调递减, 则 的最大值为 ,所以该扇形的圆心角的最大值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $