专题3.1 导数的概念及其运算 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念、运算及几何意义等核心考点，按“概念-公式-法则-应用”逻辑梳理知识，通过导数定义、基本求导公式、运算法则构建基础体系，结合切线方程、公切线、参数问题等高考高频题型形成知识网络。设计知识梳理、题型精讲、跟踪训练、课后巩固四环节，帮助学生突破导数几何意义理解、复杂函数求导等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用“题型分类+真题演练”模式，如在切线问题中结合2026年模拟题，引导学生从数学眼光抽象切线斜率与导数关系，通过对比不同曲线公切线求解过程培养数学思维。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题3.1导数的概念及其运算 知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． [提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 【题型1 导数的概念】 【例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】求某点处的导数值、导数定义中极限的简单计算 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果. 【详解】 . 跟踪训练 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象上一点(1,1)及邻近一点，则等于（   ） A．4 B． C． D．4x 【答案】B 【难度】0.86 【知识点】平均变化率 【分析】先代入函数求解，再求解，即可得出结果. 【详解】， . 2.（25-26高二下·甘肃武威·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【难度】0.87 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值、导数定义中极限的简单计算 【详解】， 由可得． 3.（24-25高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】求出的导函数，， 代入求解即可. 【详解】由题， ， 故选：A. 【题型2 导数的运算】 【例2】（25-26高二下·辽宁大连·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】导数的乘除法、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数求导公式、导数四则运算法则、复合函数求导法则逐一验证各选项即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 跟踪训练 1.（25-26高二下·河北石家庄·期末）下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 2.（2026·西藏林芝·二模）已知，则______． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得 3.（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案. 【详解】由题可得瞬时速度, 当位移时，可得，解得：,所以, 所以, 则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为， 故选：A 【题型3 利用导数求曲线的切线】 【例3】（1）（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. （2）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】简单复合函数的导数、求过一点的切线方程 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 跟踪训练 1.（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导后代入求得切线的斜率，进而可求得切线的倾斜角. 【详解】由题意得，则， 即在点处的切线的斜率为， 设该处切线的倾斜角为，则， 因为，所以. 2.曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________ 因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x. 3.（2026·河南开封·模拟预测）过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程 【分析】通过设切点，求导得斜率，再利用切线过原点表示斜率，列方程得切点坐标，即得斜率. 【详解】设切点坐标为，切线的斜率为， 显然不合题意， 时，， ，解得, 故. 4.（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】导数的运算法则、求过一点的切线方程 【分析】分和，设切点，得出。结合点斜式求出的切线方程. 【详解】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 【题型4 与切线相关的参数问题】 【例4】（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 跟踪训练 1.（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.82 【详解】设，则． 设直线与曲线相切于横坐标为的点． 因为直线的斜率为，所以，即． 因此，解得． 切点同时在直线和曲线上，所以当时，两者的函数值相等，即． 整理得，解得． 2.（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 【题型5 公切线】 【例5】（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 跟踪训练 1.（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【详解】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 2.（2026·云南昆明·二模）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线（斜率）求参数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】先根据导数得出切线斜率 计算求出参数及切点，再点到直线距离等于半径得出参数. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，则，则，， 即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切， 则有，解得或 3.（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 【题型6 与切线相关的最值】 【例6】（25-26高二上·广东惠州·期末）曲线上的点到直线的最短距离是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】将直线平移，当直线与相切时，切点到直线的最短距离，利用导数的几何意义求出切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】将直线平移， 当直线与相切时，切点到直线的最短距离，    设曲线在点处的切线与直线平行， 因为，则，解得， 所以，则切点坐标为， 切点到直线的距离， 即曲线上的点到直线的最短距离是， 故答案为： 跟踪训练 1.（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 2.（25-26高三上·安徽六安·月考）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点为，求导，根据导数的几何意义结合相切，得到，解得，再代入得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值即可． 【详解】由求导得， 设切点为，则切点， 由切点在切线上得，． ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故选：D． 3.（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】先设点及点，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，最后应用点到直线距离计算求解. 【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则，所以， 因为，设函数在点处的切线与直线平行， 则，解得，则点， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为2， 故选： 课后作业： 1.（25-26高二下·青海海东·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式 【详解】，， 所以． 2.（25-26高二下·安徽滁州·期中）某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.79 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数的运算法则，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由运动路程与时间的关系为，可得， 当时，，即质点在时的瞬时速度为. 3.（25-26高二下·甘肃武威·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【难度】0.87 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值、导数定义中极限的简单计算 【详解】， 由可得． 4.（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式 【分析】对求导得，代入，求解即可. 【详解】， 故，所以． 5.（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【详解】由得，， 所以，，， 曲线在点处的切线方程为： ，，化简得，. 6.（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 7.（2026高三·全国·专题练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、基本不等式求和的最小值、求曲线切线的斜率（倾斜角）、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】求导，结合基本不等式可得，得到答案 【详解】． 设，则， ，，∵，∴． 8．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 解析：选D．由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A、C．又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x) 与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故排除B． 9.（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】导数的运算法则、求过一点的切线方程 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 10.（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 11．(多选)下列求导数运算正确的有(　　) A．(sin x)′＝cos x　　　　　B．′＝ C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝ 解析：选AD．因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以AD正确． 12.（多选 2023·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ） A． B．切线： C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由函数零点的存在性定理和，得到，可判定A正确；求得，设切点，求得切线方程，令，求得，可判定D正确；当时，求得，得出切线方程，可判定B正确；计算求得的值，可得判定C错误. 【详解】由，可得，即， 根据函数零点的存在性定理，可得，所以A正确； 又由，设切点，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 令，可得，所以D正确； 当时，可得，则， 所以的方程为，即，所以B正确； 由，可得，，此时， 所以C错误； 故选：ABD 13.（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】先求函数在处的导数值得到切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角. 【详解】设，函数定义域为， 得到，所以，即曲线在处的切线斜率为. 设切线的倾斜角为，其中，由斜率定义可知，解得. 14.（2026·安徽·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设出曲线的切点为，利用公切线的斜率相等及切点也在公切线上，进而建立方程组求解即可． 【详解】由，则，则在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 设切线与曲线的切点为， 又，得， 则切点处的斜率必为1，且切点在切线上， 则，解得， 所以． 15.（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 【答案】 【难度】0.42 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求过一点的切线方程 【分析】设出曲线的切点坐标，写出切线方程后代入点A坐标，将切线条数转化为关于切点横坐标的一元二次方程的实根个数，利用判别式求解参数的取值范围. 【详解】由，得： ， 即切点处切线斜率为， 切线方程为：， 将代入切线方程， 整理得： ， 过点有两条切线，等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 计算判别式：， 解得或，即或 因此的取值范围是. 16.（（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为______ 【难度】0.65 【答案6 【知识点】求点到直线的距离、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 17.（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数图象关于点对称． (1)求a，b； (2)若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.46 【知识点】函数对称性的应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、求过一点的切线方程、求已知函数的极值 【分析】（1）根据代入函数解析式，对比系数即可求解； （2）将问题转化为与有三个交点，利用导数研究的单调性，极值和图像即可求解. 【详解】（1）因为函数图象关于对称， 所以，故， 化简可得， 所以，解得． （2）由（1）可知，函数，所以， 设切点坐标为， 所以切线方程为，因为切线过点， 所以，即， 令，则， 令，解得，或． 当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 1 0 0 单调递减 单调递增 0 单调递减 因此，当时，有极小值； 当时，有极大值． 过点存在3条直线与曲线相切，等价于 关于x的方程有三个不同的根，则， 所以实数m的取值范围是． 18.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0， 所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1导数的概念及其运算 知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． [提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 【题型1 导数的概念】 【例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 跟踪训练 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象上一点(1,1)及邻近一点，则等于（   ） A．4 B． C． D．4x 2.（25-26高二下·甘肃武威·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B．2 C．3 D．6 3.（24-25高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【题型2 导数的运算】 【例2】（25-26高二下·辽宁大连·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（25-26高二下·河北石家庄·期末）下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2.（2026·西藏林芝·二模）已知，则______． 3.（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 【题型3 利用导数求曲线的切线】 【例3】（1）（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． （2）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2.曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________ 3.（2026·河南开封·模拟预测）过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【题型4 与切线相关的参数问题】 【例4】（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 跟踪训练 1.（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型5 公切线】 【例5】（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 跟踪训练 1.（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 2.（2026·云南昆明·二模）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 3.（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【题型6 与切线相关的最值】 【例6】（25-26高二上·广东惠州·期末）曲线上的点到直线的最短距离是______. 跟踪训练 1.（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 2.（25-26高三上·安徽六安·月考）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 3.（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 课后作业： 1.（25-26高二下·青海海东·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·安徽滁州·期中）某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·甘肃武威·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B．2 C．3 D．6 4.（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 5.（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6.（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7.（2026高三·全国·专题练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 9.（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10.（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 11．(多选)下列求导数运算正确的有(　　) A．(sin x)′＝cos x　　　　　B．′＝ C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝ 12.（多选 2023·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ） A． B．切线： C． D． 13.（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 14.（2026·安徽·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 15.（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 16.（（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为______ 17.（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数图象关于点对称． (1)求a，b； (2)若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 18.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $