15导数的概念及其运算讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕导数的概念、运算及几何意义核心考点，按“概念本质-运算规则-几何应用”逻辑架构系统梳理，通过考点精讲（如导数定义、导函数求法）、方法提炼（切线方程通法、复合函数求导步骤）、真题演练（分层练习题组）等环节，帮助学生构建知识网络，突破导数应用难点。 资料突出数学思维与数学语言的培养，如在切线方程教学中，引导学生通过导数几何意义建立“切点-斜率-方程”的逻辑推理链，设置选择、填空、解答分层练习适配不同学情。通过典型例题解析与即时反馈，有效提升学生符号运算与问题转化能力，为教师精准把控复习进度提供实用参考。

15导数的概念及其运算 一、导数的概念及其意义 1.变化率问题 设物体在空中的位移与时间的函数关系为 ，运动时间为 到 . (1)平均速度： (2)瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 当 无限趋近于0时，平均速度 就会趋近于物体在 时刻的瞬时速度. 2.导数的概念及几何意义 (1)函数的平均变化率 对于函数 ，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变化到 .我们把比值 叫做函数 从 到 的平均变化率. (2)导数的概念 如果当 ，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数(也称为瞬时变化率). 记作 或 ，即 (3)导函数 当 时， 是一个唯一确定的数，当 变化时， 就是 的函数，我们称它为 的导函数(简称导数). 的导函数有时也记作 ，即 (4)导数的几何意义 函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处切线的斜率 . 即 ， 切线方程为 (点斜式). (5)导数定义的其他表达式 二、导数的运算 1. 基本初等函数的导数 (1) 若 ( 为常数)，则 (2) 若 ，则 (3) 若 ，则 (4) 若 ，则 (5) 若 ，则 ，特别地，若 ，则 (6) 若 ，则 ，特别地，若 ，则 2).导数的四则运算法则 (1) 加减法： (2) 乘法：，特别地， ( 为常数) (3) 除法： 备注：常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数 3).简单复合函数导数 一般的，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 . 则复合函数 的导数为：，即 4).切线方程及切线条数的通性通法的解法 (1) 导数的几何意义： 函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率.注： 切线方程 的计算： (2) 在点 处的切线方程：，抓住关键： (3) 过点 的切线方程：设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为：故 ，又因为过点 ，所以 然后解出 的值.( 有几个值，就有几条切线) 巩固练习 一、单选题 1．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】由导数的几何意义直接得到答案. 【详解】根据题意，函数在点处的导数等于切线斜率，即，所以. 2．曲线的切线与直线垂直，则切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为， 由，得， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 由得，所以其斜率为. 所以，解得，， 所以切点. 所以所求切线方程为，即. 3．若曲线的一条切线l与直线垂直，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，切线对应切点为，由题设可得，据此可得答案. 【详解】设，切线对应切点为，因切线与垂直， 则，则切点为，切线方程为. 4．下列函数的求导正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用初等函数导数运算法则，结合复合函数的求导法则、两个函数之积的求导法则逐一判断即可. 【详解】因为，所以选项A求导不正确； 因为，所以选项B求导不正确； 因为，所以选项C求导不正确； 因为，所以选项D求导正确. 5．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数， 则. 6．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，结合基本不等式可得，得到答案 【详解】． 设，则， ， ， ∵， ∴． 7．已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本函数的求导公式以及复合函数的求导法则即可结合选项求解. 【详解】，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项错误； 8．已知函数，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】由题得，，令，因为，所以，则 . 9．为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 10．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义和两点的斜率公式，结合图像判断即可. 【详解】设，，由图可得， 而， 故. 故选：C. 11．如图是跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象．根据图象，下列说法中正确的是（   ） A．当时，切线平行于轴，此时运动员的瞬时速度为零 B．和均小于零，，说明时刻下降更快 C．连接点和点的割线斜率可表示时刻的瞬时速度 D．在附近，曲线上升，因此函数在处的导数 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义及物理意义判断A；根据导数的物理意义判断B；由割线斜率对应平均速度判断C；由曲线上升可知，切线的斜率大于零，所以导数大于零，判断D. 【详解】由导数的几何意义知，当时，切线平行于轴，所以，由导数的物理意义知，此时运动员的瞬时速度为零.所以A正确； 由和均小于零，，所以，说明时刻速率较小，下降较慢.所以B错误； 连接点和点的割线斜率可表示到的平均速度，所以C错误； 在附近，曲线上升，因此函数在处的切线斜率大于零，所以此处的导数.所以D错误. 故选：A. 12．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 【答案】D 【详解】臭氧含量与时间之间满足关系式为， 因为是臭氧的初始含量，所以，所以是减函数，所以A错误； 当从1变化到2时，臭氧含量减少，所以B错误； 当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为，所以C错误； 对于，， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为，所以D正确. 13．已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数并设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数求出极值，结合三次函数的特征求出范围. 【详解】函数，设切点坐标为，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，化简得， “过点可作曲线的3条不同切线”等价于“关于的方程有3个不同的实根”， 即函数的图象与直线有3个不同的交点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 所以当时，直线与函数的图象有3个交点，对应3条不同的切线． 14．已知函数，若至少存在两个实数，使得，，成等差数列，则过坐标原点作曲线的切线可以作（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】先由等差数列条件推出函数中心对称，利用三次函数对称中心为二阶导零点求出；再设切点，根据原点与切点连线斜率等于导数建立三次方程，因式分解结合单调性分析切点横坐标的不同实根个数，得到切线条数． 【详解】若至少存在两个实数，使得，，成等差数列， 可得， 即有的图象关于点对称，， 根据，得， 所以的对称轴为，即，解得， 即有，, 设切点为， 可得切线的斜率为，化为， 设，， 当时，， 单调递减； 当或时，，单调递增， 可得在处取得极大值，且为；在处取得极小值，且为， 可知有两解，即过坐标原点作曲线的切线可以作条， 15．将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切，则（    ）． A．e B． C．3e D． 【答案】C 【分析】设直线与曲线相切，且切点为，由导数几何意义得到切线斜率，进而得到方程，求出，切点为，则． 【详解】曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切， 等价于直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 又，则， 故，解得，切点为， 则. 二、多选题 16．已知函数，A是函数图象上一点（除对称中心外），在A点处的切线交图象于另一点B，在B点的切线为，两切线的斜率分别为，下列说法错误的是（     ） A．函数有极值点 B．函数有1个零点 C．函数的所有极值的和为0 D． 【答案】ACD 【分析】利用函数求导判断函数的极值点，进而判断函数零点，结合函数导数的几何意义计算斜率； 【详解】对于ABC，，则，单调递减， 无极值点，故选项A、C错误； 由，得，解得， 所以函数只有个零点，故选项B正确； 对于D，设，，， ， 切线的方程，联立方程， 即，代入可得 ， 化简得 因为时，两边同时除以： 移项可得， 化简得，因式分解可得， 因为，解得，所以点为， 所以， ，所以选项D错误. 17．对任意，存在，，使得，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题设条件，将问题转化为在上不单调，进而逐项判断即可. 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数，使得， 所以对任意的，在上不单调时，有满足“性质”， 对于A，， 由题得，当时，，此时， 即在上单调递减，所以函数不具有“性质”，符合题意； 对于B，， 由题得， 当时，，此时， 即在上单调递增，所以函数不具有“性质”，符合题意； 对于C，， 由题得，此时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数具有“性质”，所以C不符合题意． 对于D，， ，定义域为， ， 当时，， 令， 则， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增， 在上单调递减，在处取得极小值， 且当时，恒成立，又， 所以在上恒成立， 故在R上单调递增，不满足“性质”，符合题意. 18．已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．当且仅当时，方程有两个不等的实根 C．对区间上任意两个实数，都有 D．设，则恒成立 【答案】AD 【分析】利用导数的概念即可判断A，利用数形结合即可判断B，利用作差法即可判断C，由，得，令，即，令，利用导数证明不等式即可判断D. 【详解】对于A：， 又 ，所以 ，故A正确； 对于B：由方程有两个不等的实根，所以， 即与有两个不同的交点， 由，当，解得，当，解得， 所以在单调递增，在单调递减，所以， 当时，，当时，， 作出的图像： 由图可知：，即，故B错误； 对于C：由，所以 ， 不妨设，所以，所以，即证， 即，即，即证单调递增， 又在单调递减，在单调递增，故C错误； 对于D：由，所以， 令，即，令， 所以，由 ，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以，故D正确. 三、填空题 19．曲线在点处的切线与直线平行，则________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义以及两直线平行，斜率相等可得结果. 【详解】对函数求导可得 ， 由于曲线在点处的切线与直线平行，那么 即 ，解得. 20．计算：__________． 【答案】12 【详解】 21．已知，则________． 【答案】 【分析】对求导，再将代入计算即可. 【详解】， 所以， ， 所以为. 22．若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 【答案】/ 【分析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导，利用导数的几何意义，由斜率相等可得答案. 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点， 则有， 从而得到，，，． 所以切线方程，所以． 23．已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式． 【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则，即， 此时． 四、解答题 24．设函数的图象与直线相切于点． (1)求、的值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，． (2)在和上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）对原函数求导得到导函数表达式，利用切点列出方程组，解出参数值即可. （2）通过已知参数写出导函数表达式，再解和得到单调区间即可. 【详解】（1）根据题意，求导得． 由于的图象与直线相切于点， 所以，，即，解得，． （2）由（1）可得，， 则， 令，解得或； 令，解得． 综上，在和上单调递增，在上单调递减. 25．已知函数． (1)若曲线在处与直线相切，求a，b的值； (2)若在区间内有极值，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）使用导数的几何意义求解； （2）将在区间内有极值转化为方程有两个不相等的实根求解. 【详解】（1），由已知，得切线斜率为，即，， 又因为再由切点为，所以，，， （2）若在区间内有极值，则，即， 方程有两个不相等的实根、，而， 则方程的负根依题意，即只需，解得． 当时， 单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得极大值．因此a的取值范围是． 26．已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值． 【答案】 【分析】分别求得两个函数的导数，得到曲线与在处切线的斜率，结合两切线相互垂直，列出方程，即可求解. 【详解】解：由函数，可得，所以， 即曲线在处的切线斜率为， 又由函数，可得，所以， 即曲线在处的切线斜率为， 因为两切线相互垂直，可得，即，解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15导数的概念及其运算 一、导数的概念及其意义 1.变化率问题 设物体在空中的位移与时间的函数关系为 ，运动时间为 到 . (1)平均速度： (2)瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 当 无限趋近于0时，平均速度 就会趋近于物体在 时刻的瞬时速度. 2.导数的概念及几何意义 (1)函数的平均变化率 对于函数 ，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变化到 .我们把比值 叫做函数 从 到 的平均变化率. (2)导数的概念 如果当 ，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数(也称为瞬时变化率). 记作 或 ，即 (3)导函数 当 时， 是一个唯一确定的数，当 变化时， 就是 的函数，我们称它为 的导函数(简称导数). 的导函数有时也记作 ，即 (4)导数的几何意义 函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处切线的斜率 . 即 ， 切线方程为 (点斜式). (5)导数定义的其他表达式 二、导数的运算 1. 基本初等函数的导数 (1) 若 ( 为常数)，则 (2) 若 ，则 (3) 若 ，则 (4) 若 ，则 (5) 若 ，则 ，特别地，若 ，则 (6) 若 ，则 ，特别地，若 ，则 2).导数的四则运算法则 (1) 加减法： (2) 乘法：，特别地， ( 为常数) (3) 除法： 备注：常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数 3).简单复合函数导数 一般的，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 . 则复合函数 的导数为：，即 4).切线方程及切线条数的通性通法的解法 (1) 导数的几何意义： 函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率.注： 切线方程 的计算： (2) 在点 处的切线方程：，抓住关键： (3) 过点 的切线方程：设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为：故 ，又因为过点 ，所以 然后解出 的值.( 有几个值，就有几条切线) 巩固练习 一、单选题 1．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D．不存在 2．曲线的切线与直线垂直，则切线方程是（   ） A． B． C． D． 3．若曲线的一条切线l与直线垂直，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．下列函数的求导正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 6．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（   ） A． B． C．3 D．5 9．为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 10．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图是跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象．根据图象，下列说法中正确的是（   ） A．当时，切线平行于轴，此时运动员的瞬时速度为零 B．和均小于零，，说明时刻下降更快 C．连接点和点的割线斜率可表示时刻的瞬时速度 D．在附近，曲线上升，因此函数在处的导数 12．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 13．已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数，若至少存在两个实数，使得，，成等差数列，则过坐标原点作曲线的切线可以作（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 15．将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切，则（    ）． A．e B． C．3e D． 二、多选题 16．已知函数，A是函数图象上一点（除对称中心外），在A点处的切线交图象于另一点B，在B点的切线为，两切线的斜率分别为，下列说法错误的是（     ） A．函数有极值点 B．函数有1个零点 C．函数的所有极值的和为0 D． 17．对任意，存在，，使得，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的有（   ） A． B． C． D． 18．已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．当且仅当时，方程有两个不等的实根 C．对区间上任意两个实数，都有 D．设，则恒成立 三、填空题 19．曲线在点处的切线与直线平行，则________. 20．计算：__________． 21．已知，则________． 22．若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 23．已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 四、解答题 24．设函数的图象与直线相切于点． (1)求、的值； (2)讨论函数的单调性． 25．已知函数． (1)若曲线在处与直线相切，求a，b的值； (2)若在区间内有极值，求a的取值范围． 26．已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $