专题15.2 画轴对称图形（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“画轴对称的图形”核心知识点，从轴对称变换的本质（定义及三大不变性质）切入，衔接点关于直线对称的规律（含坐标系中对称点坐标特征），最终落实到画轴对称图形的通用五步标准步骤，构建从原理到操作的递进式学习支架。 资料特色在于设计10类梯度题型，涵盖镜面对称（车牌、钟表等）、坐标系对称及综合题，结合探究式学习（如“对称五边形”性质探究）培养学生几何直观与推理意识。课中助力教师分层教学，课后通过检测与复盘笔记帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

简一数理 初中专题讲义 专题15.2 画轴对称的图形 （新教材人教版） 知识点一、轴对称变换的本质 2 知识点二、点关于直线对称的核心规律（作图底层逻辑） 2 知识点三、画轴对称图形的通用标准五步（大题作图必写步骤） 3 【题型1 画轴对称图形】 4 【题型2 车牌号码的镜面对称】 5 【题型3 钟表的镜面对称】 6 【题型4 电子钟示数的镜面对称】 6 【题型5 坐标系中的对称】 7 【题型6 坐标与图形变化---轴对称】 8 【题型7 线段问题（轴对称综合题）】 9 【题型8 面积问题（轴对称综合题）】 10 【题型9 角度问题（轴对称综合题）】 12 【题型10 其他问题（轴对称综合题）】 14 【探究式学习】 16 【课后检测】 19 【复盘笔记】 24 知识点一、轴对称变换的本质 定义：由一个平面图形得到它关于一条直线l对称的图形，这个过程叫轴对称变换；直线l称为对称轴。 三大不变性质（考试核心采分点） · 形状、大小完全不变（全等：原图与对称图形全等） · 对应线段长度相等，对应角相等 · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分 拓展：成轴对称的两个图形，可以看作一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形，自身左右两半互为轴对称变换。 知识点二、点关于直线对称的核心规律（作图底层逻辑） （1）点关于直线的对称点： 设点P，关于直线l的对称点P’，则有PP’垂直l，且PP’的中点在l上，即l是PP’的垂直平分线。 （2） 坐标系中的对称： 设坐标系中有点A（x, y），则点A关于x轴的对称点是（x, -y），关于y轴的对称点是（-x, y），关于原点的对称点是（-x, -y），如下图 知识点三、画轴对称图形的通用标准五步（大题作图必写步骤） (1) 所有多边形、不规则图形画对称图形通用，阅卷标准步骤 (2) 找点：找出原图形中所有关键顶点（线段端点、拐点、交点）； (3) 作垂线：过每个关键点，向对称轴作垂线段； (4) 截等距：延长垂线段至对称轴另一侧，截取与原点到对称轴距离相等的线段，得到对应对称点； (5) 描点：标记全部对称顶点； (6) 连线：按原图顶点顺序，顺次连接对称点，得到轴对称图形。 【题型1 画轴对称图形】 【例1】已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-1】如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-2】在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)作出的边上的高； (2)作出关于直线m对称的． 【变式1-3】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【题型2 车牌号码的镜面对称】 【例2】小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【变式2-1】在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【变式2-3】如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【题型3 钟表的镜面对称】 【例3】李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【变式3-1】虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是( ) A． B． C． D． 【变式3-3】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【题型4 电子钟示数的镜面对称】 【例4】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【题型5 坐标系中的对称】 【例5】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【题型6 坐标与图形变化---轴对称】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】．剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（  ）． A． B． C． D． 【变式6-2】．新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（     ） A．将向右平移个单位 B．将向右平移个单位 C．将向右平移个单位 D．将向右平移个单位 【变式6-3】如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型7 线段问题（轴对称综合题）】 【例7】某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【变式7-2】如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【变式7-3】如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 【题型8 面积问题（轴对称综合题）】 【例8】如图，在中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 【变式8-1】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【变式8-2】如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式8-3】如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 【题型9 角度问题（轴对称综合题）】 【例9】如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 【变式9-2】定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【变式9-3】如图，中，，，射线与射线关于直线对称．是上的一点，连接交于点． (1)若，求证：是等腰三角形； (2)若，连接，求的度数； (3)若，求的度数． 【题型10 其他问题（轴对称综合题）】 【例10】如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【变式10-1】如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【变式10-2】已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 【变式10-3】如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③OA平分∠BOC．其中正确的结论个数为_______． 【探究式学习】 1．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 关于“对称五边形”的研究报告 生活中窗花纹样、装饰标牌、园林造型随处可见对称五边形实例．为体会几何与生活的联系，立足轴对称、平行线等初中知识，开展特殊轴对称五边形探究，在推理与尺规作图中培养几何直观与归纳探究能力，数学兴趣小组展开了对于“对称五边形”的实践探究． 【概念理解】若平面内存在一条直线经过凸五边形的一个顶点，且另两组顶点分别关于直线对称，则称它为对称五边形． 如图，直线过五边形的顶点，点、，点、关于对称，则五边形为对称五边形，直线是它的对称轴，称为对称五边形的顶角；点称为对称五边形的顶角顶点，，称为对称五边形的底角；称为对称五边形的底边． 【性质探究】 性质1：勤学小组同学发现，对称五边形中的两个底角相等，请帮助勤学小组的同学证明这一结论； 性质2：依据轴对称特征，再写出一条关于对角线的性质，并尝试证明． …… 【任务】 (1)请帮助勤学小组的同学完成证明； 若在对称五边形中，，则 ； (2)我发现对角线的性质为： ，请完成证明； (3)尺规作图：已知如图，对称五边形的底边与顶点的位置如图所示，请补全对称五边形，使为底边，且（保留作图痕迹，不写画法）． 2．综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题，已知中，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，过点作直线，点关于直线的对称点为点． 特例分析：（1）如图1，当直线/经过点时，点恰好落在边上，连接，交直线于点．猜想此时与的位置关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线与线段交于点（不与重合）时，点落在内部，连接并延长交线段于点，连接并延长，交直线于点，交线段于点，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由； （3）若直线与线段的延长线交于点，连接并延长交射线于点，连接交线段于点．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）． 3．某兴趣小组在平面直角坐标系中探究点关于某条直线对称的点的坐标关系． 已知点 ．．． 关于直线的对称点 （______，_______） ．．． 关于直线的对称点 （_________，_______） ．．． (1)结合图表，写出（_________，_______），（_________，_______） (2)结合上述探究规律填空： ①点关于直线的对称点的坐标为___________； ②点关于直线的对称点的坐标为___________． (3)若点与点关于一条直线对称，直接写出两点的对称轴所在直线． 【课后检测】 1．如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值是（   ） A．1 B．0 C． D． 3．点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．下列四个命题中，是真命题的是（　　） A．有理数与数轴上的点是一一对应的 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．平面内点与点关于轴对称 7．下列说法中正确的有（    ）个 ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ②点位于第三象限； ③点到轴的距离为； ④点和点关于轴对称，则的值为； ⑤若，则点在第一、三象限角平分线上． A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（    ） A．将点向右平移7个单位 B．将点向右平移5个单位 C．将点向右平移1个单位 D．将点向右平移2个单位 10．点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 11．若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． 12．已知点与点关于x轴对称，求______． 13．已知点，点关于轴对称，则的值是________． 14．已知点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围为______． 15．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 16．已知点关于x轴的对称点在第一象限，试化简． 17．如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 18．新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 19．唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题． (1)如图①，若点和点分别在直线的两侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值，并写出作图依据； (2)如图②，若点和点分别在直线的同侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值； (3)如图③，定点在内部，点，分别在射线，上，请作示意图，确定点，，使得的周长最小． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 57 页 第 1 页 共 57 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题15.2 画轴对称的图形 （新教材人教版） 知识点一、轴对称变换的本质 2 知识点二、点关于直线对称的核心规律（作图底层逻辑） 2 知识点三、画轴对称图形的通用标准五步（大题作图必写步骤） 3 【题型1 画轴对称图形】 4 【题型2 车牌号码的镜面对称】 6 【题型3 钟表的镜面对称】 8 【题型4 电子钟示数的镜面对称】 10 【题型5 坐标系中的对称】 11 【题型6 坐标与图形变化---轴对称】 14 【题型7 线段问题（轴对称综合题）】 17 【题型8 面积问题（轴对称综合题）】 20 【题型9 角度问题（轴对称综合题）】 24 【题型10 其他问题（轴对称综合题）】 31 【探究式学习】 35 【课后检测】 43 【复盘笔记】 57 知识点一、轴对称变换的本质 定义：由一个平面图形得到它关于一条直线l对称的图形，这个过程叫轴对称变换；直线l称为对称轴。 三大不变性质（考试核心采分点） · 形状、大小完全不变（全等：原图与对称图形全等） · 对应线段长度相等，对应角相等 · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分 拓展：成轴对称的两个图形，可以看作一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形，自身左右两半互为轴对称变换。 知识点二、点关于直线对称的核心规律（作图底层逻辑） （1）点关于直线的对称点： 设点P，关于直线l的对称点P’，则有PP’垂直l，且PP’的中点在l上，即l是PP’的垂直平分线。 （2） 坐标系中的对称： 设坐标系中有点A（x, y），则点A关于x轴的对称点是（x, -y），关于y轴的对称点是（-x, y），关于原点的对称点是（-x, -y），如下图 知识点三、画轴对称图形的通用标准五步（大题作图必写步骤） (1) 所有多边形、不规则图形画对称图形通用，阅卷标准步骤 (2) 找点：找出原图形中所有关键顶点（线段端点、拐点、交点）； (3) 作垂线：过每个关键点，向对称轴作垂线段； (4) 截等距：延长垂线段至对称轴另一侧，截取与原点到对称轴距离相等的线段，得到对应对称点； (5) 描点：标记全部对称顶点； (6) 连线：按原图顶点顺序，顺次连接对称点，得到轴对称图形。 【题型1 画轴对称图形】 【例1】已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 【变式1-1】如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】如图所示，对称轴有五种位置，与成轴对称的格点三角形有5个． 【变式1-2】在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)作出的边上的高； (2)作出关于直线m对称的． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2)解：如图所示即为所作， 【分析】（1）根据三角形的高的概念过点A作垂直于线段，垂足为D即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式1-3】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1) (2)， 平移，向右，10个单位长度 (3) 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据轴对称的特点确定点的位置、继而确定点的位置，再描出并顺次连接成三角形，继而观察发现可以由经过平移变换得到，即可解答； （3）连接，与直线m的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；图略． （2）解：如图所示，、即为所求；图略． 观察和发现，可以由经过平移变换得到，平移的方向是向右，平移的距离是10个单位长度； （3）解：如图所示，点P即为所求；图略． 【题型2 车牌号码的镜面对称】 【例2】小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 【变式2-1】在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 【变式2-2】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 【变式2-3】如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【答案】B 【分析】本题考查了镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，作出对称图形即可得出答案． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得：实际车牌号应从右向左读， 后面汽车的车牌号码是． 故选：B． 【题型3 钟表的镜面对称】 【例3】李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 【变式3-1】虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 【变式3-2】小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故选． 【点睛】本题考查镜面对称的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【变式3-3】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【题型4 电子钟示数的镜面对称】 【例4】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 【变式4-1】平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴实际时间是“”， 故选：A． 【变式4-2】电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将物体中的数字2左右翻转为5，数字1不变，再将整体顺序左右颠倒，即可得到其在平面镜中的像为． 【详解】解：电子钟示数为“”，在平面镜中的像是． 故选：A． 【变式4-3】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 【题型5 坐标系中的对称】 【例5】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 【变式5-3】“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据题意，通过逆向推理分别求出点A和点B的原始坐标，然后比较它们的坐标即可确定两点的位置关系． 根据题意确定出A、B两点坐标，进而可得答案． 【详解】解：由题意，得点A坐标应为，点B的坐标应为， 所以A，B两点原来的位置关系是重合． 故选：D． 【题型6 坐标与图形变化---轴对称】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 【变式6-1】．剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于轴对称的两点坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列二元一次方程组求出、的值，再代入计算． 【详解】解：点与点关于轴对称， 根据关于轴对称的坐标特征： ， 整理方程组： ， 得：， 把代入②：， 解得， ， ． 【变式6-2】．新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（     ） A．将向右平移个单位 B．将向右平移个单位 C．将向右平移个单位 D．将向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据平移的性质求出平移后的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：A．将向右平移个单位可得，能使四个“中国结”关于轴对称，符合题意， B．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， C．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， D．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， 【变式6-3】如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系，然后求解即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， ∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为 同理可得，第2次变换后的坐标为， 第3次变换后的坐标为， 第4次变换后的坐标为， …… ∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为， ∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为． 【题型7 线段问题（轴对称综合题）】 【例7】某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质，结合两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 根据两点之间，线段最短，可知选项中的汽车充电站到、两个小区之间的距离之和最短． 【变式7-1】如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置．即铺设管道路径最短的方案是方案3 故选：C； 【变式7-2】如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 【变式7-3】如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出．本题主要考查了等腰三角形的性质以及垂线段最短，熟练掌握等腰三角形三线合一和利用面积法求线段长度是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵ ，， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ． 根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度． ∵ ， ，，， ∴ ， 解得． ∴ 的最小值为． 故选：C． 【题型8 面积问题（轴对称综合题）】 【例8】如图，在中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得为轴对称图形，所在的直线为的对称轴，根据轴对称的性质可得，并求出，然后即可求出结论． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴为轴对称图形，所在的直线为的对称轴， ∴ ∴ 故选C． 【点睛】此题考查的是轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【变式8-1】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)， 四边形如图所示， (3)21 【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标，然后顺次连接，，，各点即可得四边形； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由图得； （2）解：，点C与点D关于x轴对称， （3）解：由（2）图得， ． 【变式8-2】如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) (3)存在点，使得与全等，、和 【分析】本题主要考查了利用网格作轴对称图形，利用网格求出图形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用网格作轴对称图形即可； （2）利用网格求梯形的面积即可； （3）借助网格和全等三角形判定定理，求点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点，使得与全等，、和． 【变式8-3】如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) 如图，即为所作图形； (2)35 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接、， 四边形的面积为：． 【题型9 角度问题（轴对称综合题）】 【例9】如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 【变式9-1】如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用． 根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 【变式9-2】定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1) ， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， (2) ①如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 【变式9-3】如图，中，，，射线与射线关于直线对称．是上的一点，连接交于点． (1)若，求证：是等腰三角形； (2)若，连接，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) 证明： ， ， 射线与射线关于直线对称， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； (2) (3)或 【分析】（1）证明，可得结论； （2）证明，推出，求出即可解决问题； （3）过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，推出，，分两种情形：①当点在，之间时，如图中的点，连接，②当点在，之间时，如图中的，连接，分别求解即可． 【详解】（1）略． （2）如图2中，在和中， ， ， ， ，， ， ， ； （3）如图3中，过点分别作和的垂线，垂足分别为，， ，，， ， ，， ①当点在，之间时，如图中的点，连接， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ； ②当点在，之间时，如图中的，连接， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称变换，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【题型10 其他问题（轴对称综合题）】 【例10】如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式10-1】如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解：是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    【点睛】本题考查了轴对称的性质和轨迹问题，解题关键是利用轴对称的性质确定点M的运动轨迹． 【变式10-2】已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 【答案】/40度 【分析】作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、，此时的值最小，由对称性可知，，，可求，最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、， ∴，此时的值最小， 由对称性可知，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、三角形的内角和定理、外角的性质等知识，通过作轴对称确定M、Q的位置，结合三角形外角的性质顺利解题的关键． 【变式10-3】如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③OA平分∠BOC．其中正确的结论个数为_______． 【答案】①②③ 【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD=∠CAE=∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD=90°，判断出①正确，再求出∠BAE=∠CAD=60°，根据翻折可得∠AEC=∠ABD=∠ABC，利用三角形内角和定理可得∠BOE=∠BAE，判断出②正确，根据三角形的角平分线交于一点判断即可判断出③正确． 【详解】解，∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形， ∴∠BAD=∠CAE=∠BAC，AB=AE，AC=AD， ∴∠EAD=3∠BAC－360°＝3×150°－360°=90°，故①正确， ∴∠BAE=∠CAD=（360°－90°－150°）=60°， 由翻折的性质得：∠AEC=∠ABD=∠ABC， 又∵∠EPO=∠BPA， ∴∠BOE=∠BAE=60°，故②正确， ∵AB平分∠OBC，AC平分∠BCO， ∴OA平分∠BOC，故③正确， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质和综合运用，熟记各性质并准确识图清图中各角度之间的关系是解题得的关键． 【探究式学习】 1．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 关于“对称五边形”的研究报告 生活中窗花纹样、装饰标牌、园林造型随处可见对称五边形实例．为体会几何与生活的联系，立足轴对称、平行线等初中知识，开展特殊轴对称五边形探究，在推理与尺规作图中培养几何直观与归纳探究能力，数学兴趣小组展开了对于“对称五边形”的实践探究． 【概念理解】若平面内存在一条直线经过凸五边形的一个顶点，且另两组顶点分别关于直线对称，则称它为对称五边形． 如图，直线过五边形的顶点，点、，点、关于对称，则五边形为对称五边形，直线是它的对称轴，称为对称五边形的顶角；点称为对称五边形的顶角顶点，，称为对称五边形的底角；称为对称五边形的底边． 【性质探究】 性质1：勤学小组同学发现，对称五边形中的两个底角相等，请帮助勤学小组的同学证明这一结论； 性质2：依据轴对称特征，再写出一条关于对角线的性质，并尝试证明． …… 【任务】 (1)请帮助勤学小组的同学完成证明； 若在对称五边形中，，则 ； (2)我发现对角线的性质为： ，请完成证明； (3)尺规作图：已知如图，对称五边形的底边与顶点的位置如图所示，请补全对称五边形，使为底边，且（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)设直线交于点，连接， 点、关于直线对称 ， 点、关于直线对称 ， 又 又， 在对称五边形中， ∵， ∴ ∴ (2)顶角顶点与底角顶点所连对角线相等， 证明：如图，连接，， 五边形是对称五边形， 直线垂直平分， ． (3) 【分析】（1）设直线交于点，连接，，根据轴对称的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质得出 ，，，，结合平行线的性质求解即可； （2）连接，，根据轴对称的性质得出直线垂直平分，即可证明； （3）作线段的垂直平分线，然后作等边，作，得出，延长BH交中垂线于点A，同理确定点E，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题，已知中，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，过点作直线，点关于直线的对称点为点． 特例分析：（1）如图1，当直线/经过点时，点恰好落在边上，连接，交直线于点．猜想此时与的位置关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线与线段交于点（不与重合）时，点落在内部，连接并延长交线段于点，连接并延长，交直线于点，交线段于点，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由； （3）若直线与线段的延长线交于点，连接并延长交射线于点，连接交线段于点．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）． 【答案】（1），理由如下: 由轴对称的性质可得， ∵直线，即， ∴； （2），理由如下: 同理可证明， ∴，，，， 如图所示，过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，轴对称图形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键. （）由轴对称的性质可得，再由可得； （）同理可证明，则，，，，过点作于，证明，得到，由轴对称的性质可得，则可证明，再证明，可得； （）分点在线段上和点在线段的延长上两种情况，通过证明，得到，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】解：（）略 （）略 （）如图所示，点在线段上， 同理可证明，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，点在线段的延长上时， 同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 3．某兴趣小组在平面直角坐标系中探究点关于某条直线对称的点的坐标关系． 已知点 ．．． 关于直线的对称点 （______，_______） ．．． 关于直线的对称点 （_________，_______） ．．． (1)结合图表，写出（_________，_______），（_________，_______） (2)结合上述探究规律填空： ①点关于直线的对称点的坐标为___________； ②点关于直线的对称点的坐标为___________． (3)若点与点关于一条直线对称，直接写出两点的对称轴所在直线． 【答案】(1)；0；； (2)；． (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-对称、点的坐标规律等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质在坐标系内确定点、的位置，然后直接写出其坐标即可； （2）根据轴对称的性质即可解答； （3）由题意得，点与点关于直线对称． 【详解】（1）解：如图： ． 故答案为：；0；；． （2）解：①点关于直线的对称点的坐标为； ②点关于直线的对称点的坐标为． 故答案为：；． （3）解：∵点与点关于直线对称， ∴M，N两点的对称轴所在直线为． 【课后检测】 1．如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用平面直角坐标系中图形的平移及关于轴对称的点的坐标特征解题即可． 【详解】解：∵点，关于轴对称，点，的对应点分别为点，， ∴点，横坐标相等，纵坐标互为相反数， 即，， ∵点的坐标为，沿轴正半轴方向平移，点，在轴上， ∴当点在内部时，． 2．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得点与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征，求出，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点与关于轴对称， ∴，， ∴， ∴． 3．点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数 ∴点关于轴对称的点的坐标为． 4．如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可得出答案． 【详解】解：与关于y轴对称，M的坐标为， 点N的坐标是． 5．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2026除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 6．下列四个命题中，是真命题的是（　　） A．有理数与数轴上的点是一一对应的 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．平面内点与点关于轴对称 【答案】D 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 根据初中数学知识逐一判断各选项的真假即可． 【详解】解：对于A：数轴上的点与实数一一对应，但有理数只是实数的一部分，不能覆盖所有点， A是错误的，是假命题，不符合题意； 对于B：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， 它大于任何一个不相邻的内角，但与相邻内角互补，可能小于相邻内角， B是错误的，是假命题，不符合题意； 对于C：只有当两条直线平行时，同旁内角才互补， C是错误的，是假命题，不符合题意； 对于D：点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 它们关于轴对称， D是正确的，是真命题，符合题意． 故选D． 7．下列说法中正确的有（    ）个 ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ②点位于第三象限； ③点到轴的距离为； ④点和点关于轴对称，则的值为； ⑤若，则点在第一、三象限角平分线上． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角坐标系的相关知识，涉及点到坐标轴的距离、所在象限的判断、关于坐标轴对称的点的性质等知识，充分掌握直角坐标系的相关知识，是解答本题的关键.解答此类题目时要善于举反例求证．根据直角坐标系的特点可判断正确；举反例即可判断②错误；根据点到坐标轴的距离为非负数即可判断③错误；关于轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此可知④正确；由可得，可知直线是第二、四象限的角平分线，即可判断错误． 【详解】解：∵坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的， ∴ ①正确； ∵ 点中，当时，点不在第三象限， ∴ ②错误； ∵ 点到轴的距离为，不一定为， ∴ ③错误； ∵ 点和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴④正确； ∵即，点在第二、四象限角平分线上， ∴ ⑤错误． ∴ 正确的有个． 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称变换．先利用关于y轴对称的点的坐标特征求出的坐标，再利用关于直线对称的点的坐标特征求出的坐标即可． 【详解】解：∵点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴， ∵关于直线对称的点，坐标满足变为， ∴点关于直线对称点为， 故选：C． 9．如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（    ） A．将点向右平移7个单位 B．将点向右平移5个单位 C．将点向右平移1个单位 D．将点向右平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标的平移，坐标与图形—轴对称，根据点的坐标的平移法则，并结合轴对称的性质逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，， ∴这四个点在同一条水平直线上，且点和点关于轴对称， A、将点向右平移7个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，从而可使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，符合题意； B、将点向右平移5个单位，得到，即，此时点与点不关于轴对称，故不符合题意； C、将点向右平移1个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； D、将点向右平移2个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； 故选：A． 10．点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征；利用该特征列方程求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数， 又∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴，，解得，， ∴． 故选：D． 11．若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点B的坐标，再结合第二象限点的坐标特征列不等式组，求出整数的值，代入计算得到点的坐标． 【详解】解：∵点关于轴对称的点B坐标为，且点B在第二象限，第二象限点横坐标小于，纵坐标大于， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， ∵为整数， ∴， 将代入点的坐标，得横坐标，纵坐标， 因此点的坐标为． 12．已知点与点关于x轴对称，求______． 【答案】2 【详解】直接利用关于x轴对称点的性质得出关于m，n的方程组，进而得出答案． 【解答】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得， 则． 13．已知点，点关于轴对称，则的值是________． 【答案】 【分析】关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此列出二元一次方程组，求解得到和的值后， 代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵点，点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 14．已知点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，结合对称点在第二象限，可判断点位于第三象限，根据第三象限内点的横，纵坐标均为负，列出一元一次不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点在第三象限， ∴根据第三象限内点的坐标特征，可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为． 15．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)18 (3)解：如图即为所作， 【分析】（1）先根据轴对称的定义画出点，，，再顺次连接即可； （2）结合网格，利用梯形的面积公式计算即可； （3）作线段的垂直平分线，交直线于点即可． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接，， 则四边形的面积为． （3）略． 16．已知点关于x轴的对称点在第一象限，试化简． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，结合对称点在第一象限确定a的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号化简即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第一象限， ∴点在第四象限， 可得不等式组，解得，即， ∴，，则， 由此可知，，， ∴ ． 17．如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，，， (2)如图，点P即为所求， 【分析】（1）作出各顶点关于x轴的对称点，顺次连接即可，两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数； （2）连接，由轴对称得，进而可得，因此点，P，B三点共线时，最短． 【详解】（1）略 （2）略 18．新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)或 (2)①或；②或 【分析】（1）分两种情况：点M在下方和点M在上方，分别画出示意图，求出的关系式，再根据“奋进角”的定义建立方程求解即可； （2）①由轴对称的性质可得，根据平角的定义可推出，再根据“奋进角”的定义建立方程求解即可；②由轴对称的性质可得，由“奋进角”的定义可推出；设，则，，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点M在下方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或； 如图所示，当点M在上方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或（舍去）； 综上所述，的度数为或； （2）解：①由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ②由轴对称的性质可得， ∵与为“奋进角”，， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， 综上所述，的度数为或． 19．唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题． (1)如图①，若点和点分别在直线的两侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值，并写出作图依据； (2)如图②，若点和点分别在直线的同侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值； (3)如图③，定点在内部，点，分别在射线，上，请作示意图，确定点，，使得的周长最小． 【答案】(1)作图依据：两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】（1）依据两点之间线段最短得出答案； （2）利用对称的性质即可得出结果； （3）分别作Q关于、的对称点C、D，连接，交、于点M、N，则的周长最小． 【详解】（1）解：连接，与直线l相交于点C，则有最小值． （2）解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． （3）解：作法：①作点Q关于的对称点C， ②作点Q关于的对称点D， ③连接，分别交于点M，交于点N，则的周长最小． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 57 页 第 1 页 共 57 页 学科网（北京）股份有限公司 $