精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟苏尼特右旗实验中学2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

保密★启用前 苏尼特右旗实验中学2026-2027学年度 九年级数学开学测试 试卷满分：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共有8小题，每题3分，共24分） 1. 《义务教育课程标准2022年版》中首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出了明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，7，3，3，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，3 B. 3，4 C. 4，4 D. 4，5 2. 如图，四边形是平行四边形，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 4. 如图，菱形的边长为6，对角线AC，BD交于点O，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，当取得最小值时，菱形两条对角线的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 如图，正方形的边长为2，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接，，．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 8. 如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（ ） A. B. 1 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共有4小题，每题3分，共24分） 9. 如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形，它们的面积分别为、、．若，，则________． 10. 如图，在四边形中，，，是的中点，是的中点，交于，则的长度的取值范围是___________． 11. 跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，则的取值范围是________． 三、解答题（本题共有6小题，共64分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的相对位置） 13. 如图，中，． （1）尺规作图：作矩形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，点为边上一点，若的中垂线分别交边、边于点、，则的长的取值范围为 ． 14. 计算： （1）； （2）． 15. 如图，在中，对角线，相交于点，作和的平分线，分别交于点，，延长交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形的形状，并证明．条件①：平分；条件②：． 16. “将军饮马”问题探究与拓展：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我们想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的最小值． 17. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … （1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） （2）若，为该函数图象上不同的两点，则 ； （3）当时，自变量x的取值范围是 ； （4）定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 18. 已知正方形，点 E，F，G 分别在边 上， 连接， （1）若于点H． ①如图 1，求证：； ②如图 2，将向下平移，当点G与D 重合时， 若E为的中点，连接 HC，求的值； （2）如图；若，且，请你求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 苏尼特右旗实验中学2026-2027学年度 九年级数学开学测试 试卷满分：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共有8小题，每题3分，共24分） 1. 《义务教育课程标准2022年版》中首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出了明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，7，3，3，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，3 B. 3，4 C. 4，4 D. 4，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵3出现的次数最多， ∴众数为， 把这组数据按从小到大顺序排列为，，，，，，，位于中间的数据为，故中位数为， 故答案为：B． 2. 如图，四边形是平行四边形，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟知平行四边形对角相等是解题的关键．利用平行四边形对角相等得，再利用等边对等角得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3. 一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，根据一次函数图象所过象限，与坐标轴交点情况，一次函数与一元一次不等式，以及一次函数与一元一次方程关系，对选项逐项判断，即可解题． 【详解】解：由图知，过一、二、四象限， ， 故选项A不正确，不符合题意； 由图知，，， ， 故选项B不正确，不符合题意； 由图知，当时，， 故选项C不正确，不符合题意； 由图知，与的交点横坐标为， 的解为， 成立， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，菱形的边长为6，对角线AC，BD交于点O，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，当取得最小值时，菱形两条对角线的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，由菱形的性质得，可证四边形为矩形，连接，则，当时，最短，由勾股定理结合面积法求得，，，再利用完全平方公式变形计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， 连接，则，当时，的值最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴(负值已舍)， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形两条对角线的和为， 故选：C． 5. 一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，结合一次函数的图象求出图象与x轴的交点以及y轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵在中，令，则， ， ， 令，则， ∴一次函数的图象与x轴的交点，与y轴的交点， ∴， 故选：A． 6. 如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形的面积，证明四边形是矩形得到是解答的关键．先根据矩形的性质和勾股定理得到，，再证明四边形是矩形得到，由垂线段最短得到当时，线段最短，即线段最小，利用三角形的等面积求解即可． 【详解】解：连接 ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，线段最短，即线段最小， 此时，由得， ∴线段长的最小值为， 故选：B． 7. 如图，正方形的边长为2，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接，，．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①在上截取，连接，证明，即可解决问题； ②③延长到K，使得，证明，再证明即可解决问题； ④设，则，，通过完全平方式的应用进行配方解决最值问题； ⑤当时，设，则，利用勾股定理构建方程可得即可解决问题． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； 如图，延长到K，使得， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ∴，故②错误； 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的最大值为，故④正确； 当时，设，则， 在中，则有， 解得， ∴，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有①④⑤． 8. 如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，如图，连接，设交于点，交于点O．证明，推出，推出当点P与点重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴（负值舍去）， ∵D，B关于对称， ∴， ∴， ∴当点P与点重合时，的值最小，此时． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共有4小题，每题3分，共24分） 9. 如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形，它们的面积分别为、、．若，，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得，再代入计算即可． 【详解】如图所示，根据勾股定理，得， ∵， ∴． 故答案为：7． 10. 如图，在四边形中，，，是的中点，是的中点，交于，则的长度的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系．取的中点，连接、，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，根据三角形的两边之和大与第三边，两边之差小于第三边即可求解． 【详解】解：取的中点，连接、，如图： ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴的长度的取值范围是， 故答案为：． 11. 跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，进而利用勾股定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴（负值舍去）， 即淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】待定系数法计算得出函数为，函数为，画出函数图象，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴函数为，函数为， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴当时，，解得， 当时，直线的斜率更小，时，会不满足， 当时，恒成立； 当时，，解得， 当时，，即，在恒成立， 如图，当时，恒成立， 当时，当时，，不满足小于； 综上所述，的取值范围是． 三、解答题（本题共有6小题，共64分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的相对位置） 13. 如图，中，． （1）尺规作图：作矩形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，点为边上一点，若的中垂线分别交边、边于点、，则的长的取值范围为 ． 【答案】（1） 四边形即为所求： ； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，即可； （2）判断出如图2中，当点与重合时，的长最大，如图2中，当点以重合时，的长最小，分别求出最大值，最小值可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中，当点与重合时，的长最大，最大值； 如图2中，当点以重合时，连接，设，交于点，的长最小，设，则有， 解得， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可； （2）根据乘方，求一个数的算术平方根，求各项，再计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 15. 如图，在中，对角线，相交于点，作和的平分线，分别交于点，，延长交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形的形状，并证明．条件①：平分；条件②：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴； （2）②；是菱形，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； 如果添加条件①无法证明四边形是其余特殊四边形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴与不垂直， ∴四边形不是菱形和正方形； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴与不垂直， ∴四边形不是矩形； 综上，添加条件①不合适； 如果添加条件②，四边形是菱形．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，特殊四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得出，，，可得，再结合，分别是和的平分线，得出，即可证明； （2）通过，得出，则可证明，则可证明四边形是平行四边形；当添加条件①时，再通过证，得出与不垂直，则四边形不是菱形和正方形；通过证，得出与不垂直，四边形不是矩形，综上，添加条件①不合适；当添加条件②时，再通过证明推出是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. “将军饮马”问题探究与拓展：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我们想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】（1）“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米 （2） （3）如图， 的最小值 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据轴对称的性质确定“将军饮马”的位置点P，过点作并交于点，根据矩形的性质分别求出米，米，，根据勾股定理求出，得到，即可求解； （2）连接，设与交于点，得出最小，即在与的交点上时，最小，为的长度，再由勾股定理可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，利用对称的性质得到，则，的值最小；点关于轴对称的点的坐标为，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：问题1：作点关于直线的对称点，连接，过点作并交于点， ∴米， 在中，米， 米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； 【小问2详解】 问题2：如图，连接，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴点与关于对称， ∴， ∴最小． 即在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 问题3．作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求． 利用对称的性质得到， 则，的值最小； 点关于轴对称的点的坐标为， 的最小值． 17. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … （1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） （2）若，为该函数图象上不同的两点，则 ； （3）当时，自变量x的取值范围是 ； （4）定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 【答案】（1） 函数图象如下： ， 减小； （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，函数图象，解一元一次不等式组，利用数形结合的思想解题是关键． （1）描点画图即可；根据图象可得答案； （2）把，代入解析式，解方程即可； （3）解不等式组即可解答； （4）分类讨论，分为或两种情况，逐一计算即可解答． 【小问1详解】 解：根据图象可得当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； 【小问2详解】 解：根据题意可得， 可得， 解得或， ，为该函数图象上不同的两点， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， ， 可得，解得， 或可得，解得， 故答案为：或； 【小问4详解】 解：当时，此时， 可得或， 解得或，即 ， 当时，取最大值为； 当时，此时， 根据上述自变量取值范围，可得此时或， ， 当时，， 当时，， 当或，， 故函数的最大值为， 故答案为：． 18. 已知正方形，点 E，F，G 分别在边 上， 连接， （1）若于点H． ①如图 1，求证：； ②如图 2，将向下平移，当点G与D 重合时， 若E为的中点，连接 HC，求的值； （2）如图；若，且，请你求出的度数． 【答案】（1） ①过G作于M， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． ② （2） 【解析】 【分析】（1）①过G作于M，证明即可； ②过点H作于点M,不妨设,勾股定理，直角三角形的面积公式，分别计算，，计算比值即可． （2）以点D为原点，以所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据坐标系，解析式的确定，交点坐标的确定，勾股定理，等腰直角三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 ① 略． ②过点H作于点M, ∵E为的中点，不妨设 ∵正方形， ∴，， ∴， ∵于点H， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，以点D为原点，以所在直线为x轴建立平面直角坐标系， ∵，且， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为； 由此得， 解得， 故点, ∴， 设直线与x轴的交点为P， ∴点, ∴,， ∴, 过点E作于点Q， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标系的应用，待定系数法，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $