专题39 二次函数抛物线中线段、角和面积问题（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

专题39 二次函数抛物线中线段、角和面积问题 1. 熟练掌握二次函数图象与性质，掌握抛物线上线段、角度、面积三类几何问题的核心解题方法； 2. 会用坐标法、铅垂高法等工具解决动态定点、最值、存在性问题，熟练规范解答二次函数几何综合题型。 重点：坐标法求解线段、面积问题；铅垂高水平宽公式的灵活应用；特殊角存在性问题的转化思路。 难点：动态动点问题的分类讨论；线段、角度、面积综合压轴题的条件转化；复杂题型的建模与运算化简。 一、二次函数的图象和性质及解析式的三种表现形式 二、抛物线中的线段问题 1. 核心公式：水平线段（横坐标不同、纵坐标相同）：L=|x1-x2|；竖直线段（纵坐标不同、横坐标相同）：L=|y1-y2|；任意两点线段：两点间距离公式 L=。 2. 高频题型与解法 线段最值：竖直/水平线段最值直接利用二次函数顶点最值求解；斜线段最值常结合将军饮马、垂线段最短、二次函数配方法求解。 线段和差、定值、比例：通过坐标表示线段长度，代入解析式化简求解；平行、垂直线段问题，结合直线斜率、平行四边形、直角三角形性质分析。 三、抛物线中的角度问题 1. 核心解题思路：角度问题代数化 不直接求解角度大小，而是将角度关系转化为边长关系、斜率关系、全等三角形关系。 2. 常见特殊角模型 90°角：利用两直线垂直斜率之积为-1，或勾股定理逆定理、直角三角形求解；45°、30°、60°特殊角：构造直角三角形，利用特殊角三角函数值建立方程。 角度相等、角度和差、角度存在性：通过等角对等边、平行线同位角/内错角相等转化条件，分类讨论点的不同位置。 四、抛物线中的面积问题（重点） 1. 核心万能公式：铅垂高水平宽法（抛物线上三角形首选） S= ×铅垂高×水平宽 水平宽：三角形左右两个定点横坐标之差的绝对值；铅垂高：中间动点在竖直方向上与定点连线的高度差，适用于所有抛物线上斜三角形面积计算，规避复杂割补。 2. 常规解法 割补法：将不规则图形分割为规则三角形、四边形，或用矩形、大三角形减去多余小图形面积；坐标公式法：已知三点坐标直接代入面积公式计算。 3. 高频题型 面积最值：将面积表达式转化为二次函数，利用顶点求最值；面积定值、面积比例、面积等分：建立方程求解动点坐标，分类讨论图形形态。 题型01二次函数抛物线中的线段最值问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过轴上的两点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴于，交于，求最大时，点的坐标及的最大值．    【变式】已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 题型02二次函数抛物线与线段的交点问题 【典例】如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    【变式】如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线经过点A，点B，并与x轴有另一交点C． (1)依题，点A的坐标是______，点B的坐标是______． (2)求抛物线的解析式． (3)在直线下方的抛物线上有一点D，求四边形面积的最大值． (4)在x轴上有一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．直接写出线段与抛物线只有一个公共点时m的取值范围． 题型03二次函数抛物线中的面积最值问题 【典例】抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，一块直角三角形铁皮，,现要从这块铁皮上剪出一个矩形，且满足点D，E，F分别在上． (1)设，请用含x的代数式表示矩形的面积S． (2)当剪出的矩形面积最大时，求的长以及矩形面积． 题型04二次函数抛物线中的面积倍分问题 【典例】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，是顶点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图2，连接、、，在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得的面积等于的面积的2倍，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式】如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型05二次函数抛物线中的角度为定角问题 【典例】在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【变式】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 题型06二次函数抛物线中的角度倍分问题 【典例】如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式】在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【巩固训练】 1．如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为______． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 3．如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． (1)求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围 (2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少? 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合． (1)写出点C的坐标为______；线段的长为______． (2)写出的面积______． (3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标． 5．如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）. （1)求此函数的关系式； （2)作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； 6．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是______（可省略单位），水池2面积的最大值是_______； (2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_______，此时的值是_______； (3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_______； (4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； 7．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味． 下表是种酶对面粉拉伸面积的影响表． 种酶添加量 0 5 10 15 20 30 40 50 60 面粉拉伸面积 90 92.5 95 97.5 100 120 120 100 60 (1)根据表格中的数据，发现可以用函数刻画面粉拉伸面积和种酶添加量之间的关系， 当时，与满足 关系： 当时，与满足 关系； （填“一次函数”或“反比例函数”或“二次函数”） (2)当面粉拉伸面积不小于时，达到效果较好，结合（1）中的判断，请你求出面粉拉伸面积与种酶的添加量的函数关系式，并写出达到效果较好时的的取值范围． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式． (2)如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线段于点E，求的度数． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    9．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线l过点A与抛物线交于点P，当时，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与探究： 如图，抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点． （1）求A，B两点的坐标及直线l的函数表达式． （2）点D是直线l上方抛物线上一点，其横坐标为m，过点D作直线DE⊥x轴于点E，交直线l于点F．当DF＝2EF时，求点D的坐标． 【强化训练】 1．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________． 2．在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（点在点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． 已知抛物线的表达式为． (1)若点的横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为_____，“纵径”长为_____． (2)若点的横坐标为，用表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时的值． 3．已知二次函数的图象开口向上，且经过点． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 5．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，，点为抛物线与轴的交点，点的坐标为． (1)当，时． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的值最大时点的坐标； (2)若点，点在抛物线对称轴上． ①当，且取得最小值为时，直接写出的值和抛物线解析式； ②当，且取得最小值为时，直接写出抛物线解析式． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式及点的坐标； (2)平行于轴的直线交图象于点M，N（点在点的左边），交线段于点．当为线段的中点时，求点的坐标； (3)将线段先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段． ①若将抛物线向右平移个单位，此时抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； ②若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； (4)是抛物线上任意一点（不与点重合），点的横坐标为．过点作轴于点Q，E为轴上的一点，纵坐标为．以，为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 9．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，点在上，过点作交于点，交于点，交抛物线于点，连接，若，求点的坐标． 10．平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置． 我们先以抛物线为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点，其对称轴与x轴交于点D． (1)抛物线的表达式为：___________， (2)如图1，抛物线与抛物线的交点的坐标为：（   ，   ）．抛物线与轴交于两点，线段___________ (3)平移求解（参考图1、图2） ①如果把线段平移，线段的一个端点落在抛物线的对称轴上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点坐标为：（   ，   ） ②如果把线段平移，线段一个端点落在抛物线上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点的横坐标为：___________ (4)对于直线，通过对其上下平移可得直线，如果直线恰好与抛物线共有三个交点，则的值为：___________ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题39 二次函数抛物线中线段、角和面积问题 1. 熟练掌握二次函数图象与性质，掌握抛物线上线段、角度、面积三类几何问题的核心解题方法； 2. 会用坐标法、铅垂高法等工具解决动态定点、最值、存在性问题，熟练规范解答二次函数几何综合题型。 重点：坐标法求解线段、面积问题；铅垂高水平宽公式的灵活应用；特殊角存在性问题的转化思路。 难点：动态动点问题的分类讨论；线段、角度、面积综合压轴题的条件转化；复杂题型的建模与运算化简。 一、二次函数的图象和性质及解析式的三种表现形式 二、抛物线中的线段问题 1. 核心公式：水平线段（横坐标不同、纵坐标相同）：L=|x1-x2|；竖直线段（纵坐标不同、横坐标相同）：L=|y1-y2|；任意两点线段：两点间距离公式 L=。 2. 高频题型与解法 线段最值：竖直/水平线段最值直接利用二次函数顶点最值求解；斜线段最值常结合将军饮马、垂线段最短、二次函数配方法求解。 线段和差、定值、比例：通过坐标表示线段长度，代入解析式化简求解；平行、垂直线段问题，结合直线斜率、平行四边形、直角三角形性质分析。 三、抛物线中的角度问题 1. 核心解题思路：角度问题代数化 不直接求解角度大小，而是将角度关系转化为边长关系、斜率关系、全等三角形关系。 2. 常见特殊角模型 90°角：利用两直线垂直斜率之积为-1，或勾股定理逆定理、直角三角形求解；45°、30°、60°特殊角：构造直角三角形，利用特殊角三角函数值建立方程。 角度相等、角度和差、角度存在性：通过等角对等边、平行线同位角/内错角相等转化条件，分类讨论点的不同位置。 四、抛物线中的面积问题（重点） 1. 核心万能公式：铅垂高水平宽法（抛物线上三角形首选） S= ×铅垂高×水平宽 水平宽：三角形左右两个定点横坐标之差的绝对值；铅垂高：中间动点在竖直方向上与定点连线的高度差，适用于所有抛物线上斜三角形面积计算，规避复杂割补。 2. 常规解法 割补法：将不规则图形分割为规则三角形、四边形，或用矩形、大三角形减去多余小图形面积；坐标公式法：已知三点坐标直接代入面积公式计算。 3. 高频题型 面积最值：将面积表达式转化为二次函数，利用顶点求最值；面积定值、面积比例、面积等分：建立方程求解动点坐标，分类讨论图形形态。 题型01二次函数抛物线中的线段最值问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过轴上的两点，与轴交于点，直线的解析式为．    (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴于，交于，求最大时，点的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为1 【分析】（1）在中，令，则，令，则，即可求出A、C的坐标； （2）把A、C的坐标代入中，即可求出b，c的值，可得答案； （3）设，则，则，由二次函数的性质求解即可； 本题主要考查了一次函数与二次函数综合，求二次函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 令，则， ∴； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：点为直线上方的抛物线上的一点，轴， 设， 则， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为1， 此时． 【变式】已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为； 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及轴对称中最短路线问题， （1）分别求出当时及当时，y值及x值，即可得出交点坐标； （2）根据点A、B关于对称轴直线对称，得出点P为与对称轴的交点，进而求出最小值，再求出直线表达式从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点， ∴当时，， ； ∴当时，， 解得：， ； （2）解：∵抛物线， ∴此抛物线对称轴为直线，点A、B关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点P，此时， 此时的值最小，最小值为， 设所在直线表达式为，把代入， ， 解得：， ∴所在直线表达式为， 当时，， ． 题型02二次函数抛物线与线段的交点问题 【典例】如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】解：， 将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度， 平移后抛物线的解析式为，     当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 【变式】如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线经过点A，点B，并与x轴有另一交点C． (1)依题，点A的坐标是______，点B的坐标是______． (2)求抛物线的解析式． (3)在直线下方的抛物线上有一点D，求四边形面积的最大值． (4)在x轴上有一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．直接写出线段与抛物线只有一个公共点时m的取值范围． 【答案】(1)点A的坐标是，点B的坐标是 (2) (3)四边形面积最大值为8 (4)当或时，线段与抛物线只有一个公共点 【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标特点，用代入法求点的坐标． （2）用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式． （3）把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积． （4）根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点M，N恰好在抛物线上时m的值，从而得到m的取值范围． 此题（1）（2）是基础题型，（3）不规则图形的面积利用割补法是难点．（4）图形的旋转结合坐标特征，比较新颖，培养学生综合代数几何的综合运用能力． 【详解】（1）直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， 当时，． 当时，， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是． 故答案为：，． （2）把点，点分别代入解析式， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （3）作轴于点E，交直线于点F， 设，则， 则， ∴ , 令得，， 解得， 故点， ∴, 由点， ∴, ∴, ∴, , ∴当时，四边形面积最大，最大值为8． 故四边形面积最大值为8． （4）如图， ∵点，线段绕点P逆时针旋转得到线段． ，， 当点在抛物线上时，， 解得． 当点在抛物线上时，， 解得或． ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 题型03二次函数抛物线中的面积最值问题 【典例】如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式 (2)当时，的面积有最大值，最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）作轴于点D，交于点E，根据列出二次函数解析式，并求出最值即可； （3）过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E，求出，设，则，可求出，，根据题意有，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入，则， 解得：， ， 把代入， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式； （2）解：作轴于点D，交于点E， 设，则， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ； 综上所述，当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E， 在中，当时，， 解得：， ， ， ， ， 设，则， ， ， ∵的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得：或， ∴点M的坐标为或或或． 【变式】如图，一块直角三角形铁皮，,现要从这块铁皮上剪出一个矩形，且满足点D，E，F分别在上． (1)设，请用含x的代数式表示矩形的面积S． (2)当剪出的矩形面积最大时，求的长以及矩形面积． 【答案】(1)； (2)当，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 【分析】熟练掌握二次函数的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出，进而求出，再结合矩形的面积公式求解，即可解题； （2）根据二次函数的最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 则， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ， ∴． ∴矩形的面积； （2）解：∵矩形的面积 ； ∴当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 题型04二次函数抛物线中的面积倍分问题 【典例】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，是顶点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图2，连接、、，在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得的面积等于的面积的2倍，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数与面积问题； （1）把，代入计算即可； （2）先由解析式求出，，再证明是直角三角形，得到，再求出，得到，根据在直线上方的抛物线上存在一点，使得的面积等于的面积的2倍，得到点为过点且平行的直线与抛物线的交点，求出过点且平行的直线解析式再与二次函数解析式联立解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴顶点， ∵，， ∴，， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为， 令，解得， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵在直线上方的抛物线上存在一点，使得的面积等于的面积的2倍， ∴点为过点且平行的直线与抛物线的交点， ∴设点且平行的直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为或． 【变式】如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、三角形面积的计算，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入二次函数即可求出，根据二次函数的图像性质即可得出平移后的图像的函数表达式； （2）设直线的解析式为，将和代入即可求出解析式，再求出交点C坐标，根据即可求解； （3）设，根据面积等于的面积为求出，再代入抛物线求解即可． 【详解】（1）解：代入二次函数得， 解得， 向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式为：； （2）设直线的解析式为， 将和代入直线的解析式得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线得， 解得， 交点C坐标为， ； （3）设，要求面积等于的面积为， 得， 解得：，， 代入抛物线得， 点的坐标为或． 题型05二次函数抛物线中的角度为定角问题 【典例】在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)，，， 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． （3）解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型06二次函数抛物线中的角度倍分问题 【典例】如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 【变式】在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2； (2)①或且；②或 【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值； （2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案； ②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴且， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴当时，或且； ②联立得， ∵直线与该抛物线有且只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，取，作直线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，过点D作，过点D作交直线于I， ∴， ∴， ∵ ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可． 【巩固训练】 1．如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数与x轴和y轴的交点，几何概率，求出矩形的面积是解题的关键．首先求出，，得到，然后求出，求出矩形的面积为，然后利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴令，即 解得， ∴， ∴ 当时， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴ ∴矩形的面积为 ∵在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个， ∴阴影部分面积的近似值为． 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，求一次函数解析式，一次函数和二次函数交点的坐标，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线的解析式，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得、的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设，直线的解析式为， ∵将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点， ∴轴，， 中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴ 中，令，则， ∴， 同理，， ， …， 即的横坐标为，纵坐标为 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， …， ∴的坐标中，当n为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即 故答案为：． 3．如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． (1)求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围 (2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少? 【答案】(1) (2)当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及根据墙长求出的取值范围． （1）由时，，根据矩形的面积公式可得函数解析式； （2）将函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）解：， ， 则， ， ； （2）解：， ， 当时，取得最大值为250， 答：当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合． (1)写出点C的坐标为______；线段的长为______． (2)写出的面积______． (3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)6 (3)P的坐标或或 【分析】（1）将代入，求得出C点坐标，令求出，，即可得到线段的长； （2）由（1）得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）设，利用的面积等于的面积列方程求解即可． 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积求法，二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为， 当时，， 解得或， ∴，， ∴； （2）解：∵点C的坐标为， ∴， ∵， ∴的面积； （3）解：设， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得或或（舍去）， ∴P的坐标或或． 5．如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）. （1)求此函数的关系式； （2)作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； 【答案】；E(3，2) ；3 【详解】试题分析：1）∵的顶点为C（1，-2）， ∴，∴． 2）设直线PE对应的函数关系式为．由题意，四边形ACBD是菱形. 故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M． 由P(0，-1)，M（1，0），得．从而， 设E(，)，代入，得． 解之得，，根据题意，得点E(3，2) 6．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是______（可省略单位），水池2面积的最大值是_______； (2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_______，此时的值是_______； (3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_______； (4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； 【答案】(1)；9 (2)C，E；1或4 (3)或 (4)时，面积差的最大值为 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题； （2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可； （3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论； （4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为， ∵水池2的面积随长度的增加而减小， ∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是； （2）解：由图象得，两函数交于点C，E， 所以，表示两个水池面积相等的点是C，E； 联立方程组 解得： ∴x的值为1或4； （3）解：由（2）知，，， 又直线在抛物线上方时，或， 所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （4）解：在范围内，两个水池面积差， ∵ ∴函数有最大值， ∵ ∴当时，函数有最大值，为， 即，当时，面积差的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． 7．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味． 下表是种酶对面粉拉伸面积的影响表． 种酶添加量 0 5 10 15 20 30 40 50 60 面粉拉伸面积 90 92.5 95 97.5 100 120 120 100 60 (1)根据表格中的数据，发现可以用函数刻画面粉拉伸面积和种酶添加量之间的关系， 当时，与满足 关系： 当时，与满足 关系； （填“一次函数”或“反比例函数”或“二次函数”） (2)当面粉拉伸面积不小于时，达到效果较好，结合（1）中的判断，请你求出面粉拉伸面积与种酶的添加量的函数关系式，并写出达到效果较好时的的取值范围． 【答案】(1)一次函数；二次函数 (2)与的函数关系式为，达到效果较好时的的取值范围为． 【分析】（1）本题考查函数的实际运用，根据表格数据变化情况分析即可解题． （2）本题考查利用待定系数法分别求函数表达式，根据（1）的判断，利用表格中数据，结合待定系数法分别求出函数表达式，再根据“面粉拉伸面积不小于时，达到效果较好，”并结合二次函数解析式列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，当时，与满足随的增大而增大，且每次变化的大小一致，所以与满足一次函数关系； 当时，与满足，时，的值都为120，具有对称性，所以与满足二次函数关系； 故答案为：一次函数；二次函数． （2）解：当时，依据表格数据，设， 代入得，解得， ． 当时，依据表格数据，设， 代入和得， 解得． ， 综上所述，与的函数关系式为， 面粉拉伸面积不小于时，达到效果较好， 又，为二次函数部分， ，整理得，解得，， ，开口向下， 达到效果较好时的的取值范围为． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．    (1)求抛物线的解析式． (2)如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线段于点E，求的度数． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用一次函数求出B、C两点的坐标，然后将其代入抛物线解析式求解即可； （2）先作出相应图形，得出，可得等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 令，则，令，则， ∴点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线解析式； （2）解：如图，    ∵点B、C的坐标分别为、， ∴， 又∵， ∴等腰直角三角形， ∴， 根据圆周角定理可得：； （3）解：①当点P在x轴上方时，如图，      由（2）知， ∴， 令， 解得或， ∴， ∴． 过点B作于点H，设， 则， 由抛物线的对称性可得：， ， 由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴； ②当点P在x轴下方时， 同理可得． 综上可得，的值为16+8． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，求二次函数解析式，二次函数的对称性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线l过点A与抛物线交于点P，当时，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)P(6，7)或P(4，-5) (3)存在，(2，3)，(2，-7)，(2，1)，(2，-6) 【分析】（1）根据待定系数法直接求二次函数解析式即可； （2）过点P作PM⊥x轴于点M，则，由得：AM=PM ，用含m的代数式分别表示AM和PM，据此得到关于m的方程，求解即可； （3）根据二次函数的解析式得出，设设点，分类讨论当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）设，把代入得： ， 解得： ∴ ∴抛物线的解析式为：． （2）设P（m，）， 过点P作PM⊥x轴于点M，则，由得：AM=PM ， ∴ ， 即或 ， 解得：（不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）， ∴P（6， 7）或  P（4， -5）； （3）存在； 抛物线的解析式为：，，对称轴为直线， 设点 ， 当时，由勾股定理可得， 即，整理得， 解得或， 或； 当时，由勾股定理可得， 即，整理得， 解得 ， ； 当时，由勾股定理可得， 即，整理得， 解得 ， ； 综上，（2，3）， （2，-7）， （2，1）， （2，-6）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图形和性质、勾股定理及直角三角形的存在性，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．综合与探究： 如图，抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点． （1）求A，B两点的坐标及直线l的函数表达式． （2）点D是直线l上方抛物线上一点，其横坐标为m，过点D作直线DE⊥x轴于点E，交直线l于点F．当DF＝2EF时，求点D的坐标． 【答案】（1）y＝x+6；A（﹣4，0），B（12，0）；（2）D（8，6）． 【分析】（1）在y＝﹣x2+x+6中，令y＝0，可求得点A，B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式； （2）先分别表示出EF，DF的长，然后根据DF＝2EF列方程求解即可； 【详解】解：（1）在y＝﹣x2+x+6中， 令y＝0，得：﹣x2+x+6＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝12， ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣4，0），B（12，0）， 令x＝0，得y＝6， ∴C（0，6）， 设直线l的函数表达式为y＝kx+b， ∵直线l经过点B（12，0）和点C（0，6）， ∴， 解得：， ∴直线l的函数表达式为y＝x+6． （2）如图1， ∵DE⊥x轴，垂足为E，点D的横坐标为m， ∴E（m，0），D（m，﹣+m+6），F（m，﹣m+6）， ∴EF＝﹣m+6，DF＝﹣+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣+m， ∵DF＝2EF， ∴﹣+m＝2（﹣m+6）， 解得：m＝8或m＝12（舍去）， 把m＝8代入y＝﹣+m+6，得y＝6， ∴D（8，6）． 【点睛】本题考查了一次函数表达式的确定，函数图象上点的坐标特征，二次函数图象和性质，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理，分类讨论思想等，属于中考压轴题，解题关键是熟练掌握待定系数法，运用方程思想和分类讨论思想． 【强化训练】 1．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与轴交点的相关知识，判断出点是如何得到的是解决本题的关键． 把抛物线的顶点代入可得抛物线的解析式，取，求得对应的的值，即可求得点的坐标，进而求得直线的解析式，根据的面积与的面积相等可得点是过点与平行的直线与二次函数的交点，判断出过点与平行的直线，与二次函数联立可得点的坐标． 【详解】解：过点作的平行线，如图所示， 二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为， 二次函数的解析式为：， 当时，， 解得：，， 点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把点A和点 代入， 可得 解得， 直线的解析式为：， 的面积与的面积相等， 点是过点与平行的直线与二次函数的交点 点， 点是过点与平行的直线解析式为：， 解得，或 点的坐标为或． 故答案为：或． 2．在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（点在点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． 已知抛物线的表达式为． (1)若点的横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为_____，“纵径”长为_____． (2)若点的横坐标为，用表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时的值． 【答案】(1)； (2)纵径长为；的值为 【分析】（1）分别求出的坐标，得到半径和“横径”长，再求“纵径”长； （2）分别表示出的坐标，再用含的代数式表示出“横径”和“纵径”长度，最后根据“扁度”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：关于轴对称，点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， “抛物圆”的“横径”长为，圆的半径为， ∴“纵径”长为． 故答案为：． （2）解：关于轴对称，点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， “抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为． 它的“扁度”为， ， 解得，（舍去）， 即的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确理解题目条件，灵活运用新定义是解题的关键． 3．已知二次函数的图象开口向上，且经过点． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式中，转化为关于a，b，c的方程组求解，然后用含有a的代数式表示b； （2）先利用待定系数法求出的解析式，再求出向右平移后的线段的解析式，根据线段与抛物线在范围内仅有一个交点，转化为一元二次方程在范围内有两个相等的实数根，由此求出a的范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象开口向上，经过点， ∴， ； （2）解：设直线的解析式为， 直线过点， ∴ 解得：， ∴， 将线段向右平移2个单位得到线段，线段所在直线的解析式为：， 即，． 又抛物线的解析式为， ∴， ∵线段与抛物线在范围内仅有一个交点， 即方程在范围内有两个相等的实数根， 整理得在范围内有两个相等的实数根， 即抛物线 在范围内与轴仅有一个交点． 如图， 由图象知：只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于0即可． 时，，解得， 时，，解得． 综上，的取值范围为． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】(1)， (2)当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设 ，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设 ， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于． 5．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，，点为抛物线与轴的交点，点的坐标为． (1)当，时． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的值最大时点的坐标； (2)若点，点在抛物线对称轴上． ①当，且取得最小值为时，直接写出的值和抛物线解析式； ②当，且取得最小值为时，直接写出抛物线解析式． 【答案】(1)①，；②最大值为， (2)①② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标；②求出的解析式，进而表示出点的坐标，将的长转化为二次函数求最值即可； （2）①根据对称性得到，进行求解即可；②两点式写出解析式为，根据对称性得到，进而得到①，作点关于轴的对称点，连接，根据等边对等角，三角形的外角推出，进而得到②，求解即可. 【详解】（1）解：①当，时，， 把代入，得：，解得， ∴， 当时，解得， ∴； ②∵， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； （2）①∵，，， ∴， ∴当时，，即， ∵关于抛物线得对称轴对称， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∴，解得， ∴或（不合题意，舍去）； ②∵抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧， ∴点在轴的正半轴上，点在轴负半轴上， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵关于抛物线得对称轴对称， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∴①； 作点关于轴的对称点，连接， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②， 由①可知，，代入②，得， 解得或（舍去）， ∴，解得（负值舍去）； ∴. 6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②长度的最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线的表达式为，再确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可；②根据题意可得，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）可求出，，则可求出，讨论的取值范围，从而根据二次函数的性质确定的增减性，结合题意讨论求解即可， ． 【详解】（1）①解：当时，抛物线的表达式为， 在中，当时，， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ； 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； ②解：∵点为直线上的动点，且， ∴由（1）可知点在线段上，且不与点B，点C重合， 如图所示， 在中，当时，， 在中，当时，， ，， ， ∵，且， ∴当，长度有最大值，最大值为， 此时 ∴此时． （2）解：在中，当时，， ∴，即， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小，不符合题意； 当时，，则， ∴ ∵，即， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴， 解得； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴； 综上所述，m的取值范围是或； 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式及点的坐标； (2)平行于轴的直线交图象于点M，N（点在点的左边），交线段于点．当为线段的中点时，求点的坐标； (3)将线段先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段． ①若将抛物线向右平移个单位，此时抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； ②若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； (4)是抛物线上任意一点（不与点重合），点的横坐标为．过点作轴于点Q，E为轴上的一点，纵坐标为．以，为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①；②抛物线F平移的最短路程为 (4)或 【分析】（1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后令得出点A的坐标即可； （2）由题意易得点M，N，三点的纵坐标相同，且点M、N关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线，然后可得点P在抛物线的对称轴上，即横坐标为2，进而先得出直线的解析式为，则可知点P坐标，最后问题可求解； （3）①由（2）可知：当直线与二次函数相交于点M、N时，交点坐标分别为，设将抛物线向右平移个单位，此时抛物线与线段的两个交点分别为，然后可得当与重合时，；当点与重合时，则，进而问题可求解； ②由题意易得点分别为线段的三等分点的坐标，然后得出平移后的解析式，进而问题可求解； （4）由题意可分当和，然后分别画出图象，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意可把点代入二次函数解析式得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令时，则有， 解得：， ∴； （2）解：由平行于轴的直线交图象于点M，N（点在点的左边），交线段于点，可知：点M，N，三点的纵坐标相同，且点M、N关于抛物线的对称轴对称， 由（1）可知：二次函数解析式为，则有对称轴为直线， ∵为线段的中点， ∴点P在抛物线的对称轴上，即横坐标为2， 设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则， ∴，即点N的纵坐标为， 当时，代入二次函数得：， 解得：， ∴； （3）解：由（1）可知：，，即， ∵将线段先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段， ∴，，， ①由（2）可知：当直线与二次函数相交于点M、N时，交点坐标分别为，此时交点距离为， ∴线段在直线上， 设将抛物线向右平移个单位，此时抛物线与线段的两个交点分别为， ∴当与重合时，则； 当点与重合时，则， ∴当时，将抛物线向右平移个单位，此时抛物线与线段有两个交点； ②由题意得：， ∴点分别为线段的三等分点的坐标， 设平移后的解析式为，且点在该抛物线上， ∴，解得：， ∴平移后的解析式为，其顶点坐标为， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴平移前后两抛物线的顶点之间的距离为， ∴抛物线F平移的最短路程为； （4）解：由题意得：点H的坐标为，， ∵轴， ∴， 当时，且点Q在点E上方，如图所示： 此时满足抛物线F在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，且点E在点Q上方，如图所示： 此时不满足题意； 当时，且点E在点Q上方，如图所示： 此时满足抛物线F在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∵， ∴， 当时，且点Q在点E上方，如图所示： 或 由图象可知此时不满足题意； 综上所述：n的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，注意分类讨论． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 【答案】(1) (2)存在；最大值为；此时 (3)①；②或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）①分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出结果即可； ②根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上，得出边在点右侧，与抛物线相交，，再根据点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ①当时，点在点上方，如图3，图4， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方，如图5． 同理可得：， ， ∴不论为何值，点坐标为． ②∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交，，解得：； 如图4，点在抛物线上，∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得：（正值舍去）； 如图5，当时，点在抛物线上． ， 解得：（负值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 9．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，点在上，过点作交于点，交于点，交抛物线于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把原抛物线解析式化为交点式，即可得点，点，把点代入直线得，从而知，故，可得结论； （2）设点，确定直线的解析式为，可得结论； （3）先证明，再过点作轴交的延长线于点，证明，作于点，由三线合一性质可知，证明得，即，解得，所以，作轴于点，因为，从而，所以，设点，则有，解得或（舍去），从而得点坐标． 【详解】（1）解：∵， 当时，； 当时，， 解得：； ∴，，， ∵直线经过、两点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵的长为， ∴； 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程等知识点，熟练掌握以上内容并作出恰当的辅助线是解题的关键． 10．平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置． 我们先以抛物线为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点，其对称轴与x轴交于点D． (1)抛物线的表达式为：___________， (2)如图1，抛物线与抛物线的交点的坐标为：（   ，   ）．抛物线与轴交于两点，线段___________ (3)平移求解（参考图1、图2） ①如果把线段平移，线段的一个端点落在抛物线的对称轴上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点坐标为：（   ，   ） ②如果把线段平移，线段一个端点落在抛物线上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点的横坐标为：___________ (4)对于直线，通过对其上下平移可得直线，如果直线恰好与抛物线共有三个交点，则的值为：___________ 【答案】(1) (2)，4 (3)①或；②或 (4)或 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）联立抛物线和抛物线即可求出；当时，，求出，，即可求出的长度； （3）①首先求出抛物线的对称轴为直线，然后分两种情况讨论，分别根据平移的性质求出点F的横坐标，然后代入解析式求解即可； ②首先求出，然后根据题意分两种情况讨论，然后设出点G和点H的坐标，根据纵坐标相等列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论：当直线与抛物线只有一个交点和当直线经过抛物线与抛物线的交点时，然后分别求解即可． 【详解】（1）解：∵把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线 ∴抛物线的表达式为：； （2）联立抛物线和抛物线得， 解得 将代入 ∴； ∵抛物线 ∴当时， 解得， ∴， ∴； （3）①∵抛物线 ∴对称轴为直线 ∴当点A平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上 ∵ ∴点F的横坐标为 ∴将代入 ∴； ∴当点B平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上 ∵ ∴点F的横坐标为 ∴将代入 ∴； 综上所述，点F的坐标为或； ②根据题意得，， ∴ 当点D平移到抛物线上的点G时，则点B平移到抛物线上的点H时， 设，则，即 根据题意得， 解得 ∴ ∴点的横坐标为； 当点B平移到抛物线上的点G时，则点D平移到抛物线上的点H时， 设，则，即 根据题意得， 解得 ∴ ∴点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或； （4）如图所示，当直线与抛物线只有一个交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点， ∴联立直线与抛物线得 ，即 根据题意得， ∴； 如图所示，当直线经过抛物线与抛物线的交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点， ∴将代入得， 解得 综上所述，的值为或． 【点睛】此题考查了二次函数的平移，一次函数和二次函数的综合应用，二次函数和x轴交点问题等知识，解题的关键是掌握以上知识点． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $