专题13 二次函数中的最值问题（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数中的最值问题这一核心知识点，系统梳理从概念（开口方向与顶点关系）、求解方法（配方法、公式法）到几何图形线段、两线段和、面积、周长等八大题型的应用脉络，搭建由基础到综合的学习支架。 资料通过“典例+变式”设计，结合正方形、抛物线等几何图形及矩形花园等实际情境，培养学生几何直观与模型意识，提升推理能力与运算能力。如几何图形线段最值问题引导学生从图形观察建立函数模型，课中助力教师分层教学，课后学生可通过巩固训练查漏补缺，强化知识应用。

专题13 二次函数中的最值问题 1. 掌握二次函数最值问题的基本概念和求解方法，了解其在现实生活中的应用 2. 培养学生分析问题、建立数学模型和解决实际问题的能力，提高学生的数学素养和综合素质 3. 激发学生的学习兴趣和探究形式，培养学生严谨求实，勇于创新的科学态度。 重点和难点： 重点：1.掌握二次函数最值的求法；2.理解二次函数图象与最值的关系。 难点：灵活运用不同方法求解二次函数最值问题 一、二次函数最值的概念 当二次函数的图象开口向上时，其最小值在顶点处取得，开口向下时，其最大值在顶点处取得。 顶点的横坐标为x=- ，代入函数解析式求最值。 二、配方法求最值 将二次函数y=ax2+bx+c通过配方转化为顶点式y ,其中h=- ,k为顶点的纵坐标。 三、公式法求最值 直接利用顶点坐标公式得到最值,二次函数y=ax2+bx+c中，顶点是(-，) 如果a＞0时，那么当x=-时，y最小值= 如果a＜0时，那么当x=-时，y最大值= 题型01几何图形中线段最值问题。 【典例】2．如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式】【提出问题】 如图1，在中，，，求的最小值． 【分析问题】 下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识 小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接 【解决问题】 求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路) 【深入探究】 如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ． 题型02两线段和的最值问题 【典例】已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【变式】抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图，当时，求正方形的面积； ②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 题型03面积的最值问题 【典例】阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式】如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积． 题型04周长的最值问题 【典例】在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． (1)若，求点的坐标； (2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 【变式】如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 题型05线段和差倍分的最值 【典例】已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，其中，，抛物线的对称轴是直线， (1)求抛物线的表达式； (2)平分交轴于，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，交直线于点，点是线段上一动点，连接，当线段取最大值时，求的最小值； 题型06 由二次函数性质求二次函数的最值 【典例】如图，抛物线与抛物线交于点，，若无论取任何值，总取，中的最小值，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C．2 D．1 【变式】已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 题型07由二次函数的最值求字母的值 【典例】已知二次函数． (1)若该函数的图象过原点． ①求的值． ②点在该函数图象上，当时，，求的范围． (2)已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【变式】已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 题型08二次函数的最值求字母的取值范围。 【典例】已知抛物线的对称轴是直线，请解答下列问题： (1)抛物线的解析式为___________； (2)此抛物线与直线恰好只有一个交点，则的值为___________； (3)当时，的取值范围是___________； (4)若自变量取值范围为，且时，取最大值；时，取最小值．则的取值范围是___________． 【变式】如图，抛物线，抛物线，图像与图像组合成图像． (1)求的顶点坐标，并直接写出中函数值随增大而减小时的取值范围； (2)求图像上到轴的距离为3的点的坐标； (3)在图像上取点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为．，之间的图像记为，当图像对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【巩固训练】 1．若二次函数在时，y取最小值，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 3．二次函数的开口方向及最值分别为（   ） A．向下，最大值2 B．向上，最小值 C．向下，最大值4 D．向上，最小值 4．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ________________． 5．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式和顶点坐标． (2)坐标平面内存在点，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离． (3)在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，经过点，的抛物线（、为常数）与轴交于点，顶点为，点为点右侧抛物线上的一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使取得最小值，求点的坐标； 7．已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 8．已知抛物线与轴交于不同的两点 (1)求的取值范围； (2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标； (3)当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的值． 9．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． (1)求点B的坐标； (2)延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； (3)沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 10.【问题情境】某数学兴趣小组在探究正方形中的动点问题时，进行了如下操作： 如图，在边长为8的正方形中，点、分别是边、上的动点，且满足．连接、交于点，连接，取中点，连接． 【探究发现】 (1)小力在探究中发现无论点、在、边上如何运动，总有．以下是小力的部分证明过程： 证明：四边形是正方形， ，， ． 请你帮助小力完成上述证明过程． (2)小旺在探究的最小值时，发现由（1）可知，又为的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得，因此求的最小值可转化为求的最小值． 小明提供了以下两种思路： 方法一：设，利用勾股定理建立相关函数表达式进行求解； 方法二：过点作平行且等于（和在同侧），连接，通过构造平行四边形进行求解． 请你结合以上思路，或自己思考其他方法，求出的最小值为________，则的最小值为________． 【强化训练】 1．二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 2．二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　） A．3或 B． C．或1 D．3 3．已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______． 4．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数，a≠0）． （1）若该二次函数图象经过A （1，1），B（﹣1，4），C（﹣3，12）三点中的一个点，求该函数表达式． （2）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位，平移后的图象的函数y′在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求a，k值． 5．已知二次函数（m为常数）． (1)求该二次函数的对称轴（用含m的代数式表示）； (2)若，当时，y的最小值为5．求m的值； (3)若对满足的任意实数x，都使得成立，求此时m的取值 范围．    6．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标． (2)将抛物线右移5个单位，下移个单位得到新抛物线，当自变量x在的范围时，求的最小值． (3)在x轴正半轴上有一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点P，交抛物线于点Q，若的面积为20，求m的值． 7．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 8．新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 9．如图，二次函数（a，b为常数）的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线位于第三象限图象上的动点，过点P作x轴的平行线交y轴于点N，交直线于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点M． (1)求二次函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点G是抛物线对称轴的一个动点，过点G向y轴做垂线，垂足为H，连接，，求的最小值． 10．综合与实践：综合与实践数学活动课上，老师给出了这样一个问题：已知二次函数，当时，则的取值范围是多少？ 【问题初探】 经探究发现：对于求二次函数区间范围内的最值时，需要对二次函数图象的对称轴与自变量的取值范围的位置关系（区间在对称轴左侧、对称轴右侧以及对称轴在区间内）进行讨论；再通过“数形结合”思想找出在区间取值范围内的最大值与最小值． 【问题解决】 （1）首先确定的对称轴为___________；并通过，2和对称轴的大小关系，分别确定了最大值和最小值，则的取值范围为___________． 【类比探究】 （2）二次函数，当时，的取值范围为___________； （3）二次函数，当时，函数的最小值为，的取值范围为___________． 【拓展应用】 （4）已知二次函数，当时，其对应的函数值的最小值为3，求常数的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 二次函数中的最值问题 1. 掌握二次函数最值问题的基本概念和求解方法，了解其在现实生活中的应用 2. 培养学生分析问题、建立数学模型和解决实际问题的能力，提高学生的数学素养和综合素质 3. 激发学生的学习兴趣和探究形式，培养学生严谨求实，勇于创新的科学态度。 重点和难点： 重点：1.掌握二次函数最值的求法；2.理解二次函数图象与最值的关系。 难点：灵活运用不同方法求解二次函数最值问题 一、二次函数最值的概念 当二次函数的图象开口向上时，其最小值在顶点处取得，开口向下时，其最大值在顶点处取得。 顶点的横坐标为x=- ，代入函数解析式求最值。 二、配方法求最值 将二次函数y=ax2+bx+c通过配方转化为顶点式y ,其中h=- ,k为顶点的纵坐标。 三、公式法求最值 直接利用顶点坐标公式得到最值,二次函数y=ax2+bx+c中，顶点是(-，) 如果a＞0时，那么当x=-时，y最小值= 如果a＜0时，那么当x=-时，y最大值= 题型01几何图形中线段最值问题。 【典例】2．如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．． 过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，过点N作， ∵正方形， 正方形，正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 同理可得：， ，， ∴， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：B． 【变式】【提出问题】 如图1，在中，，，求的最小值． 【分析问题】 下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识 小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接 【解决问题】 求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路) 【深入探究】 如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ． 【答案】【解决问题】的最小值为2；【深入探究】；【拓展提升】线段的最小值为1 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； [解决问题] 小明：根据勾股定理表示出，根据二次函数的性质求最值，即可求解； 小红：延长至点，使得，则点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而求得的最小值； [深入探究] 设，则，勾股定理表示出，进而根据二次函数的性质求得的最小值，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出的最小值； 【详解】[解决问题]小明：设，则，在中，， ， 当时，有最小值， 的最小值为； 小红：如图1，延长至点，使得， 此时，且为等腰直角三角形， ， 点在过点且与的夹角为的直线上运动， 当于点时，最小， 此时， 的最小值为        [深入探究]； 设，则， ∵， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵是的中点， ∴ ∴的最小值为 题型02两线段和的最值问题 【典例】已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 【变式】抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图，当时，求正方形的面积； ②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①8；② (3)， 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）①由点B，C的坐标得到，，再利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式求解即可； ②过点作轴，垂足为，通过“”证明，得到，，设，可得点，代入抛物线解析式，即可求解； （3）过点，分别作，的平行线交于点，即，，则四边形为平行四边形，，，连接，由，得到当，，三点共线时，的最小值等于的长，根据勾股定理求出，得到的最小值．运用待定系数法求出直线的表达式，再求出点D的坐标后，求出点E的坐标，即可解答． 【详解】（1）解∶∵抛物线过点，点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由点，可得，， ， ， ， ． ②如图，过点作轴，垂足为， 则． 四边形为正方形， ，， ∵， ∴， ，，， ∴， ， 设，则， 点 点在抛物线上， ，解得，（不满足，舍去）， 点． （3）解：如图，过点，分别作，的平行线交于点，即，， 四边形为平行四边形， ，． 连接， ， 当，，三点共线时，，如图， 即的最小值等于的长． 令时，， 解得，，， 点， ∴点． 点， ， ， ∴在中，， 的最小值为 设直线的表达式为， ∵直线过点，， ，解得， 直线的表达式为， 点， ， 点， 当取最小值时，． 题型03面积的最值问题 【典例】阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为 ，花园的面积为 ．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【变式】如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，又两点之间线段最短，得此时取最小值，最小值为线段的长度．令，求解即可； （3）过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示．先求出直线的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，进而利用面积公式构造二次函数即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入，得 解得 ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图，作关于轴对称点，连接交轴于点， 中，令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵两点之间线段最短， ∴此时取最小值，最小值为线段的长度． 令， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示． 设直线的解析式为（）， ∵点，． ∴解得 ∴直线的解析式为． ∵该抛物线的解析式为， ∴设点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴ ， ∵， ∴当时，点的坐标为，取最大值，为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求二次函数，求一次函数解析式，两点之间，线段最短，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 题型04周长的最值问题 【典例】在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． (1)若，求点的坐标； (2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 【答案】(1)点C的坐标为或或或； (2)13 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴交点问题、二次函数点的坐标特征、二次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点E坐标，进而利用面积公式求出点C纵坐标，代入二次函数求解即可； （2）设点D的横坐标为m，用m表示出矩形的长和宽，然后利用矩形的周长计算公式列出函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：令得，或6， ∴，即， ∴， 解得， 当时，即， 解得， ∴或； 当时，即， 解得或4， ∴或； 综上，点C的坐标为或或或； （2）解：设点， ∴． 又抛物线的对称轴是直线， ∴C的横坐标为． ∴． ∴矩形的周长． ∴当时，周长L有最大值13． 故答案为：13． 【变式】如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设，则：， ∵均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点， 则：， ∴，， ∴为定值， ∴当的长最小时，的周长的值最小， ∵， ∴当时，最小为，此时最小为， ∴的周长的最小值为：； 故选：A． 题型05线段和差倍分的最值 【典例】已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标为，这个最小值为 【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可； （2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可； （3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标； （2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时点E符合题意， ∵F为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 同理根据，可得直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴点E的坐标为； （3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，其中，，抛物线的对称轴是直线， (1)求抛物线的表达式； (2)平分交轴于，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，交直线于点，点是线段上一动点，连接，当线段取最大值时，求的最小值； 【答案】(1) (2)的最小值 【分析】（1）根据可得，根据对称轴可得，运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，分别求出点的坐标，确定直线的解析式为，可得，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，且，可得，设，用含的式子表示出的值，根据二次函数求最值的方法确定点的坐标及，如图所示，连接，根据三角形三边数量关系可得当轴时，即点与点重合时，的值最小，即时的值最小，由此即可求解； 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴是直线， ∴，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：已知，对称轴为， ∴，即， 解得，， ∴， 在抛物线中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，，且， ∴，则， ∵是的角平分线， ∴， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，且， ∵，轴，， ∴， ∴在中，， 已知点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设，则，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∵，对称轴为， ∴当时，有最大值， ∴，即， 如图所示，连接，且， ∴在中，， 当轴时，即点与点重合时，的值最小，即时的值最小， ∴的最小值为； 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数，二次函数解析式，二次函数与图形的综合，含角的直角三角形的性质，解直角三角形的运用，三角形三边数量关系确定线段最小值，二次函数图象的平移，二次函数与二元一次方程组计算交点等问题的综合运用，掌握二次函数图象的性质，与几何图形的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 题型06 由二次函数性质求二次函数的最值 【典例】如图，抛物线与抛物线交于点，，若无论取任何值，总取，中的最小值，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【分析】观察函数图象找出函数y图象的最高点，由此即可得出y的最大值，此题得解． 【详解】解：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点， ∵点A坐标为， ∴y的最大值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，观察函数图象，找出二次函数的最高点是解题的关键． 【变式】已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【答案】(1)直线 (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论． （1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）令a分别等于，得出，，联立两个式子得出，根据，的值与a无关，得出，求出x的值即可； （3）分四种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：令a分别等于，得： ，， 联立两式子得：， 化简得：， ∵，的值与a无关， ∴， 解得：，， ∴． （3）解：当时，原式：，对称轴为直线， ①当时，，， 根据题意得：， 即， 解得； ②当时，，， 根据题意得：， 即， 解得：； ③当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， ④当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：或． 题型07由二次函数的最值求字母的值 【典例】已知二次函数． (1)若该函数的图象过原点． ①求的值． ②点在该函数图象上，当时，，求的范围． (2)已知．当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2)的值为或． 【分析】（1）①直接将代入函数解析式计算即可； ②求出函数解析式，进而求出函数与x轴交点横坐标，根据二次函数的性质作答即可； （2）先求出二次函数对称轴，进而得到对称轴的取值范围，分两种情况根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：①∵该函数的图象过原点， ∴， 解得：； ②∵， ∴， 当时， 解得：， ∵， ∴函数开口方向向下， ∵点在该函数图象上，当时，， ∴或， ∴或； （2）解：二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 当即时， ∵， ∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大， 可知当时，最大值， 当时，最小值， ∵函数最大值与最小值的差为， ∴， 解得：； 当即时， ∵， ∴函数开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大， 可知当时，最大值， 当时，最小值， ∵函数最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为或． 【变式】已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)正确 (3)或 【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可； （2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为确定的值，由的符号判断是否为最小值即可； （3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对的值分类讨论即可． 【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴． （2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为． 令，则． ∵， ∴该值为最小值，即亮亮的判断正确． （3）解：或， 理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为， 平移后新二次函数的表达式为，顶点坐标为， ①若， ∵， ∴新二次函数图象的对称轴位于直线和轴之间， 当时，时取得最大值． ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，时取得最大值， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ②若 ， 则新二次函数在的范围内的最大值始终为， 根据题意，得， 解得，与题设矛盾，故此种情况的值不存在． 综上可知，m的值为或． 题型08二次函数的最值求字母的取值范围。 【典例】已知抛物线的对称轴是直线，请解答下列问题： (1)抛物线的解析式为___________； (2)此抛物线与直线恰好只有一个交点，则的值为___________； (3)当时，的取值范围是___________； (4)若自变量取值范围为，且时，取最大值；时，取最小值．则的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴列方程求出，再代入原抛物线解析式即可； （2）联立抛物线与直线方程，消去后得到一元二次方程，再结合抛物线与直线恰好只有一个交点，可知其判别式，进而求解即可； （3）先对抛物线解析式因式分解，求出与轴的交点坐标，再结合函数图像分析即可； （4）抛物线开口向上，对称轴是最小值点，因此需包含对称轴，又因为时取最大值，根据二次函数对称性，的对称点为，所以不能超过3，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 解得， 将代入，得， 抛物线的解析式为． （2）解：将代入， 得到， 整理得， 抛物线与直线恰好只有一个交点， ， 解得． （3）解：当时，即， ， 二次函数开口向上，与轴交点为和， 当时，在两个交点之间，即． （4）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 时，取最小值， ， 又 时，取最大值， 根据二次函数对称性，关于对称轴得对称点为， ， ． 【变式】如图，抛物线，抛物线，图像与图像组合成图像． (1)求的顶点坐标，并直接写出中函数值随增大而减小时的取值范围； (2)求图像上到轴的距离为3的点的坐标； (3)在图像上取点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为．，之间的图像记为，当图像对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【分析】（1）根据，可得顶点坐标和随增大而减小的值的范围； （2）分，两种情况解答； （3）根据顶点和函数与y轴交点 ，可知图像K的函数值范围为，最大值最小值不受自变量变化影响，根据时，，当时，，得，得，或，即得． 【详解】（1）解：∵， 开口向上，对称轴为直线，的顶点坐标为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴随增大而减小的x取值范围是； （2）解：对，令，则， 解得，，， ， 对，令，则， 解得，（舍），； ， 综上，满足图像上到轴的距离为3的点的坐标有，，； （3）解：对，，，开口向上，顶点， ∴当时y有最小值2，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵当时，， ∴图像与y轴交点 ； 对，，，开口向下，顶点不在范围，当时，y随x的增大而增大； ∴当图象K的函数取值范围为，最大值和最小值不受自变量变化而变化， 当时， 解得或（舍去）， 当时， 解得， 当时，解得或， 若，则，不合题意， 若，则，此时，不合题意， ∴， 或， 即， 综上，的取值范围为． 【点睛】本题考查分段二次函数．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的对称性和增减性，点到x轴的距离，二次函数与一元二次方程，分类讨论，是解本题的关键． 【巩固训练】 1．若二次函数在时，y取最小值，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求得二次函数对称轴为直线，开口向上，当时，y取最小值，根据二次函数图象和性质，即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为，开口向上，当时，y取最小值， 根据二次函数图象和性质：m只需满足即可， 故选：B 【点睛】本题考查了顶点式的二次函数图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解决本题的关键． 2．对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的取值范围和函数图象的性质，找到函数取得最大值和最小值时的的取值是解答本题的关键．先判断对称轴和开口方向，再根据的取值范围，结合二次函数的图象，得出最大值和最小值时的的取值，即可得出函数的最大值和最小值． 【详解】解：， 二次函数图象的对称轴为，且开口向上， 在范围内，当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 故选：C． 3．二次函数的开口方向及最值分别为（   ） A．向下，最大值2 B．向上，最小值 C．向下，最大值4 D．向上，最小值 【答案】D 【详解】解：对二次函数配方得， ∵ 二次项系数， ∴ 二次函数开口向上，函数存在最小值， ∵ 的顶点坐标为， ∴ 取得最小值， 综上，该二次函数开口向上，最小值为． 4．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求对称轴，先作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接，根据确定最小值，再求出点A，C的坐标，然后根据对称性求出点D的坐标，最后根据两点之间距离公式求出答案． 【详解】解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接 ， 则， 令， 解得，， ∴． 令，则， ∴． 又∵抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 5．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式和顶点坐标． (2)坐标平面内存在点，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离． (3)在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别将代入即可求出二次函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据题意可设，可知，求解即可； （3）求出点C坐标，根据题意分情况得到的纵坐标，再代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：分别将代入得： ， 解得： ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：∵点满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上， ∴点在对称轴上，设， ∴点向右平移个单位后的坐标为， ∴， 解得（舍去），； （3）解：当时，，即， 当D在C左侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为4， 此时， 解得（舍去），， ∴点的坐标为； 当D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为5， 此时， 解得（舍去），， 点的坐标为； 当D在C右侧且在对称轴左侧时，此时二次函数的最大值为，不符合题意，舍去； ∴综上所述，点的坐标为或． 6．如图，在平面直角坐标系中，经过点，的抛物线（、为常数）与轴交于点，顶点为，点为点右侧抛物线上的一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使取得最小值，求点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点、是关于对称轴的对称点，连接点与点，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． 【详解】（1）解：把，点分别代入抛物线， 得， ， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，解方程与，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为； 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及轴对称中最短路线问题， （1）分别求出当时及当时，y值及x值，即可得出交点坐标； （2）根据点A、B关于对称轴直线对称，得出点P为与对称轴的交点，进而求出最小值，再求出直线表达式从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点， ∴当时，， ； ∴当时，， 解得：， ； （2）解：∵抛物线， ∴此抛物线对称轴为直线，点A、B关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点P，此时， 此时的值最小，最小值为， 设所在直线表达式为，把代入， ， 解得：， ∴所在直线表达式为， 当时，， ． 8．已知抛物线与轴交于不同的两点 (1)求的取值范围； (2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标； (3)当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的值． 【答案】(1)且 (2)证明见解析； (3)的面积有最大值，最大值为，此时 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用： （1）根据根的判别式求出m的取值范围： （2）根据题意可得y的值与m无关，把原函数关系式变形为，令，求出x的值，即可求解； （3）先求出抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于不同的两点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， ∴，解得：， 又∵， ∴， 综上，且； （2）解：∵ ∴， 即， ∵该抛物线一定经过非坐标轴上的一点， 此时y的值与m无关， ∴， 解得：， 当时，，此时抛物线过点； 当时，，此时抛物线过点（舍去）； 综上所述，此时点P的坐标为； （3）解：的面积有最大值． 当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 根据题意得：的面积为， ∴当最大时，的面积有最大，最大值为，此时． 9．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． (1)求点B的坐标； (2)延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； (3)沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】（1）先求出对称轴，再根据对称性可得点坐标； （2）由题易得，进而可得点、、坐标，进而可证出，所以三角形的面积和三角形的面积相等，据此求解； （3）由题易得，．作点关于直线的对称点为，点在直线上，四边形和四边形是平行四边形，则，所以，当，，三点共线时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为直线， 点和点关于对称轴对称，， ； （2）将点代入抛物线得：， 点的坐标为． 如图， ，且点在该抛物线对称轴上， 点的坐标为． 点关于轴的对称点为， 点的坐标为． 点，关于对称， 与互相平分． 四边形是平行四边形． ． 三角形的面积和三角形的面积相等． 且， ； （3）点关于轴的对称点为，点在轴上， ． 同理，． 作点关于直线的对称点为，点在直线上， ．点的坐标为． ． 又， 四边形是平行四边形． ． 沿轴平移线段至， ，且， 四边形也是平行四边形． ， ， 当，，三点共线时，取得最小值． ，且， 解得：． ， 解得：． ，， 直线的解析式为， 点的坐标为．． 将点向右平移个单位长度可得点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数点的坐标特征、平行四边形的判定和性质、二次函数的几何变换等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10.【问题情境】某数学兴趣小组在探究正方形中的动点问题时，进行了如下操作： 如图，在边长为8的正方形中，点、分别是边、上的动点，且满足．连接、交于点，连接，取中点，连接． 【探究发现】 (1)小力在探究中发现无论点、在、边上如何运动，总有．以下是小力的部分证明过程： 证明：四边形是正方形， ，， ． 请你帮助小力完成上述证明过程． (2)小旺在探究的最小值时，发现由（1）可知，又为的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得，因此求的最小值可转化为求的最小值． 小明提供了以下两种思路： 方法一：设，利用勾股定理建立相关函数表达式进行求解； 方法二：过点作平行且等于（和在同侧），连接，通过构造平行四边形进行求解． 请你结合以上思路，或自己思考其他方法，求出的最小值为________，则的最小值为________． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； (2)； 【分析】（1）证明，推出，在中，证明，即可得到； （2）方法一：设，则，．在中，由勾股定理得到，再根据二次函数的性质和直角三角形的性质即可求解； 方法二：过点作平行且等于（和在同侧），连接，证明是等腰直角三角形，得到点在的角平分线上，当时，取得最小值，即取得最小值，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：方法一：设，则，． 在中， 由勾股定理得： ， ∵， ∴当时，有最小值32； ∴的最小值为； ∵，M为的中点， ∴． ∴的最小值为， 答：的最小值为；的最小值为． 方法二：过点作平行且等于（和在同侧），连接， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即点在的角平分线上， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， 此时是等腰直角三角形， ∵， ∴的最小值为； 同理的最小值为． 【强化训练】 1．二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 直接根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y最大； 当时，y最小． 故选：C． 2．二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　） A．3或 B． C．或1 D．3 【答案】A 【分析】把二次函数解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而得到当时，二次函数取最小值，最小值为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∵，且， ∴当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵在的范围内有最小值为， ∴， 解得：或3． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单． 3．已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先利用交点式写出抛物线解析式为，再利用配方法得到，则当时，y有最小值为，再解方程得，，即自变量为或7时，函数值为12，然后利用该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线解析式为， 即， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 解得，， ∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12， ∴． 故答案为：． 4．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数，a≠0）． （1）若该二次函数图象经过A （1，1），B（﹣1，4），C（﹣3，12）三点中的一个点，求该函数表达式． （2）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位，平移后的图象的函数y′在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求a，k值． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）a＝1，k＝2 【分析】（1）当x＝1时，y＝0；x＝﹣3时，y＝0；所以抛物线过点A； （2）根据题意当x＝﹣1 时，y＝﹣4，代入y＝ax2+2ax﹣3a求得a＝1，得到抛物线为y＝x2+2x﹣3经过（0，﹣3），进而得出将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位后也经过（0，﹣3），根据二次函数的对称性即可求得平移前的对应点为（﹣2，3），从而求得k＝2． 【详解】解：（1）把点B（﹣1，4）代入y＝ax2+2ax﹣3a得a＝﹣1； 把点A（1，1）代入y＝ax2+2ax﹣3a 得0＝1，∴A不在抛物线上； 把点C（﹣3，12）代入y＝ax2+2ax﹣3a 得0＝12，∴C不在抛物线上， 故函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由已知得抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣1 时，y＝﹣4， ∴a﹣2a﹣3a＝﹣4， ∴a＝1， ∴y＝x2+2x﹣3经过点（0，﹣3）． ∵抛物线向右平移k（k＞1）个单位后y′的对称轴直线x＞0， 又∵y′在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3， ∴y′也经过点（0，﹣3）， ∴由对称性可得平移前的对应点为（﹣2，3）， ∴a＝1，k＝2． 【点睛】本题考查了二次函数图象性质及二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．数形结合便于理解． 5．已知二次函数（m为常数）．    (1)求该二次函数的对称轴（用含m的代数式表示）； (2)若，当时，y的最小值为5．求m的值； (3)若对满足的任意实数x，都使得成立，求此时m的取值 范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)； (3)． 【分析】（1）利用对称轴公式求解； （2）由题意得：当时，在时，取得的最小时是5，进而求解； （3）分类讨论，函数图像与轴有一个交点和没有交点时，的任意实数x，都使得成立；若函数图像与轴有两个交点，则需满足两交点的横坐标均不大于1，列出不等式即可求m的取值 范围． 【详解】（1）解：， ，，， 抛物线的对称轴为直线； （2）抛物线的对称轴为直线，且， 当时，随的增大而减小， 当时，函数值取得的最小值是5， 即当时，， 解得：； （3）①二次函数的图像开口向上， 当二次函数的图像与轴没有交点或只有1个交点时，总有成立（如图1），    此时，即， 即， 解得； ②当二次函数的图像与轴有2个交点时， ，可得或， 设此时两交点为，， 则，， 要使的任意实数，都有，需，， 即，（如图2）， 且， 即 代入得 解得：， 此时， 综上，对满足的任意实数，都使得成立，则． 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与轴的交点，涉及二次函数的性质、解不等式、根和系数的关系等知识，解题的关键是数形结合，分类列不等式解决问题． 6．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标． (2)将抛物线右移5个单位，下移个单位得到新抛物线，当自变量x在的范围时，求的最小值． (3)在x轴正半轴上有一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点P，交抛物线于点Q，若的面积为20，求m的值． 【答案】(1)，点C的坐标为 (2) (3)2或4或 【分析】（1）将点和点代入函数解析式，解方程可得抛物线的解析式，利用抛物线与y轴交于点C，令x=0，即可求点C的坐标； （2）将化为顶点式，根据平移方式（括号内左加右减，括号外上加下减）得到新抛物线，通过函数图象，分析新抛物线的增减性，即可在的范围内，得到最小值； （3）根据P、Q的坐标特点得到用含m的式子表示的P、Q的坐标，利用的面积为20，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得解得 抛物线的解析式为． ∵点C是与y轴的交点， ∴点C的坐标为． （2）化为顶点式：， 将其右移5个单位，下移个单位后，得， 如图，在的范围内，时，有最小值， 令，， ∴的最小值为． （3）如图所示，过点作直线轴，交抛物线于点P，交抛物线于点Q， ∴P点坐标为，Q点坐标为， ∴PQ的长度为． ∵的面积为20， ∴， ∴或 解得：，，，（舍去） ∴m的值为2或4或． 【点睛】本题考查二次函数的性质．涉及待定系数法求二次函数解析式、利用平移方式求新函数的解析式． 7．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【答案】(1)2 (2)（a）或；（b）2 【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为，代入直线解析式求解即可． （2）（a）分，，三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位置点，建立方程求解即可； （b）根据平移，得到新抛物线的表达式为．确定对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数在的范围内有最大值2，判定不在中，，判定一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大，得到在处取得最大值，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 8．新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答； （2）结合图象即可求解； （3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为， ∵抛物线M经过和点和， ∴，解得 ∴抛物线M的解析式为， ∴抛物线M的开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， ∵， 由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大，即不存在最大值， ∴抛物线M上不存在最值点． （2）解：∵直线交抛物线M于，两点， ∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为． （3）解：对于直线，有 ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴直线的最值点为． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键． 9．如图，二次函数（a，b为常数）的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线位于第三象限图象上的动点，过点P作x轴的平行线交y轴于点N，交直线于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点M． (1)求二次函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点G是抛物线对称轴的一个动点，过点G向y轴做垂线，垂足为H，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）将，代入，待定系数法即可求解； （2）首先确定点C的坐标，求出直线的函数表达式，设，则，得，证明 ，得，由此得方程，解方程即可求出坐标； （3）将点沿水平方向向右平移至，使，连接，作点关于轴的对称点，连接，，得，由，推出三点共线时，最小，由得，由抛物线的对称轴为直线，得，根据两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ； （2）解：当时，， ， ， ， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， ， 设，则， ， 轴， ， 轴， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 解得， ， ； （3）解：将点沿水平方向向右平移至，使，连接，作点关于轴的对称点，连接，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 中，， 三点共线时，最小， ， ， ， ， ， ， 即的最小值是． 10．综合与实践：综合与实践数学活动课上，老师给出了这样一个问题：已知二次函数，当时，则的取值范围是多少？ 【问题初探】 经探究发现：对于求二次函数区间范围内的最值时，需要对二次函数图象的对称轴与自变量的取值范围的位置关系（区间在对称轴左侧、对称轴右侧以及对称轴在区间内）进行讨论；再通过“数形结合”思想找出在区间取值范围内的最大值与最小值． 【问题解决】 （1）首先确定的对称轴为___________；并通过，2和对称轴的大小关系，分别确定了最大值和最小值，则的取值范围为___________． 【类比探究】 （2）二次函数，当时，的取值范围为___________； （3）二次函数，当时，函数的最小值为，的取值范围为___________． 【拓展应用】 （4）已知二次函数，当时，其对应的函数值的最小值为3，求常数的值． 【答案】（1）对称轴为，的取值范围为 （2）的取值范围为 （3）的取值范围为 （4）的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，包括对称轴公式、二次函数在区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论是解题的关键． （1）先根据二次函数对称轴公式求出对称轴，再判断对称轴与给定区间的位置关系，分别计算区间端点和对称轴处的函数值，从而确定的取值范围． （2）先求对称轴，判断其与区间的位置关系，再计算区间端点和对称轴处的函数值，确定的取值范围． （3）先求对称轴，找到函数最小值为时的值，再根据区间确定的取值范围． （4）根据二次函数顶点式的性质，分对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况讨论，求出的值． 【详解】解：（1）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为， 故答案为：直线，； （2）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为． （3）， ∴对称轴为直线， 当时，． ∵当时，函数最小值为， ∴． （4）二次函数的顶点为，且，抛物线开口向上． 当时，在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 当时，的最小值为，不符合题意． 当时，在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 综上，的值为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $