第14讲 反比例函数与几何图形综合问题 同步培优讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学反比例函数与几何图形综合问题，系统梳理反比例函数与三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用，通过坐标化转化、面积等式建立、k的几何意义关联等方法构建解题支架，帮助学生从基础坐标表示过渡到复杂图形性质应用。 资料特色在于分题型提炼解题方法与技巧，如三角形问题中优先用k的几何意义简化计算，平行四边形问题巧用中点公式建立坐标关系，培养学生的几何直观和推理意识。典型例题与变式题结合，从静态图形到动态平移、存在性问题，提升数学思维的逻辑性和创新意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第14讲 反比例函数与几何图形综合问题 典 型 例 题 题型 反比例函数与三角形的综合问题 1 解题方法总结（3点） 1.坐标化转化：设反比例函数上关键点坐标（如y=k/x上点为(x, k/x)），将三角形边长、顶点转化为坐标关系。 2.用面积列等式：利用三角形面积公式（底×高/2），结合坐标表示底和高，建立关于k的方程求解。 3.结合函数性质：利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积为|k|/2）快速关联。 解题技巧总结（3点） 1.优先用k的几何意义：遇到与坐标轴垂直的三角形，直接用面积与k的关系，省去复杂计算。 2.巧设动点坐标：设横坐标为a，纵坐标用k/a表示，简化含参运算，聚焦面积或边长关系。 3.数形结合找关系：通过图象确定三角形顶点位置，明确底、高对应的横纵坐标差，避免坐标符号错误。 1 例 如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 1-1 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 1-2 变式变式 如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 题型 反比例函数与平行四边形的综合问题 2 解题方法总结（3点） 1.坐标化建模：设反比例函数y=\frac{k}{x}上顶点坐标为(x, \frac{k}{x})，结合平行四边形顶点坐标关系（如对边平行、中点重合）列等式。 2.用性质建方程：利用平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质，转化为坐标运算，结合反比例函数关系求k或顶点坐标。 3.结合面积关联：通过平行四边形面积公式（底×高），关联反比例函数k的几何意义，建立方程求解关键参数。 解题技巧总结（3点） 1.巧用中点公式：平行四边形对角线中点相同，快速建立不同顶点坐标间的等式，简化计算。 2.定边定高简化：固定一边为底，利用坐标轴转化高为横/纵坐标差，结合反比例函数坐标特征解题。 3.分类讨论顶点：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，避免漏解，结合图象验证坐标合理性。 2 例 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 2-1 变式变式 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是12． (1)求点的坐标及和的值； (2)若两函数图象另一个交点坐标的纵坐标为，请结合图象，直接写出不等式的解集； (3)若直线与有交点时，求的取值范围． 2-2 变式变式 如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． (1)求值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 题型 反比例函数与矩形的综合问题 3 解题方法总结（3点） 1. 坐标化顶点：设反比例函数y=\frac{k}{x}上的矩形顶点为(x, \frac{k}{x})，其余顶点结合矩形“边垂直坐标轴”特征确定坐标。 2. 用性质建等式：利用矩形对边相等、四角为直角的性质，结合坐标表示边长，或通过面积公式（长×宽）建立方程求k。 3. 关联k的几何意义：矩形一边平行坐标轴时，面积等于|k|（由双曲线几何意义推导），直接关联面积与k值。 解题技巧总结（3点） 1. 优先用k的几何意义：矩形顶点在双曲线且边平行坐标轴时，直接用面积=|k|秒求k，省去复杂运算。 2. 巧设单变量坐标：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为\frac{k}{a}，其余顶点坐标顺势推导，简化含参计算。 3. 结合边长验符号：根据矩形顶点所在象限，判断x、\frac{k}{x}的正负，确保k值符号与图象一致，避免错解。 3 例 如图，矩形的两边的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数 的图象经过点E，与交于点F． (1)若点B坐标为，求k的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； (2)若，求反比例函数的表达式． 3-1 变式变式 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 3-2 变式变式 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 题型 反比例函数与菱形的综合问题 4 解题方法总结（3点） 1.坐标化顶点与函数关联：设反比例函数y=\frac{k}{x}上的菱形顶点为(x, \frac{k}{x})，其余顶点结合菱形性质（四边相等、对角线垂直平分）确定坐标。 2.用性质建方程求解：利用对角线互相垂直平分、边长相等的性质，结合距离公式列等式，或通过面积（对角线乘积的一半）关联k值。 3.结合函数特征验证：利用反比例函数对称性，匹配菱形的中心对称特性，校验顶点坐标与k值合理性。 解题技巧总结（3点） 1.巧用对角线中点一致：菱形对角线中点相同，快速建立顶点坐标关系，简化参数计算。 2.优先用面积搭桥：通过菱形面积公式结合反比例函数k的几何意义，快速建立等式求k，减少复杂运算。 3.分类讨论顶点位置：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，结合菱形边长非负性，避免漏解或符号错误。 4 例 如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求点的坐标． 4-1 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 4-22 变式变式 如图，已知，，，，D为B点关于的对称点，反比例函数的图象经过D点． (1)证明四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在的图象（）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求M点的坐标． 题型 反比例函数与正方形的综合问题 5 解题方法总结（3点） 1.坐标化建模：设反比例函数y=\frac{k}{x}上正方形顶点为(x, \frac{k}{x})，其余顶点结合正方形“边垂直且相等、对角线相等平分”特征定坐标。 2.用性质建方程：利用边长相等（距离公式）或对角线关系列等式，或通过面积（边长²、对角线乘积/2）关联k值。 3.结合函数特性验证：借助反比例函数中心对称性，匹配正方形对称特征，校验k值与坐标合理性。 解题技巧总结（3点） 1.优先用边长/面积速算：若边平行坐标轴，正方形面积=|k|，直接求k；不平行则用坐标差表边长，简化运算。 2.巧设单变量简化：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为\frac{k}{a}，利用正方形边的垂直/相等关系推导其他顶点，减少参数。 3.锁定符号与象限：根据正方形顶点所在象限，确定x与\frac{k}{x}正负，确保k值符号符合图象，避免错解。 5 例 如图，四边形为正方形．点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)点A的坐标为______； (2)求反比例函数关系式． 5-1 变式变式 如图，正方形的边长为 7 ，以所在的直线为 x 轴， 以所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，反比例函数（）的图象与交于 E 点，与 交于 F 点． (1)求点E、F的坐标（用k表示） ； (2)若的面积为20 时，求反比例函数的解析式． 5-2 变式变式 已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)连接，求的面积． 课 后 练 习 1 练 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，且． (1)求经过点C的反比例函数的解析式； (2)设P是（1）中所求函数图象上一点，若的面积是的面积2倍，求点P的坐标． 2 练 如图，正方形的边分别与坐标轴平行，反比例函数 的图象过顶点 ，以点为圆心，长为半径画恰好经过坐标原点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的周长． 3 练 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，点、的坐标分别为、． (1)直接写出点、的坐标； (2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点同时落在反比例函数的图象上，求及此时的值． 4 练 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 5 练 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 6 练 已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 7 练 定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 8 练 如图中，平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像，在平面直角坐标系中有一矩形如图所示，在x轴与y轴上点坐标．图像并与反比例函数图像相交于点C；将矩形翻转，使与x轴平行并重合且平移图像使点D与原点O重合，翻转后的矩形图像与反比例函数图像相交于点F，连接并将两端同时延长交于x轴，y轴于点N和点M． (1)求直线和反比例函数图像的表达式； (2)求M，N两点的坐标． 9 练 已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 10 练 如图1，已知点，平行四边形的边与y轴交于点，且E为的中点，双曲线经过C、D两点． (1)求反比例函数表达式； (2)点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点P为对角线上一动点，连接，过点P作．交于点M，以、为邻边作矩形，连接．试探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出值的范围． 11 练 如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 12 练 在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”． 若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”． (1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数（）的图象经过点，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由． 第14讲 反比例函数与几何图形综合问题 典 型 例 题 题型 反比例函数与三角形的综合问题 1 解题方法总结（3点） 1.坐标化转化：设反比例函数上关键点坐标（如y=k/x上点为(x, k/x)），将三角形边长、顶点转化为坐标关系。 2.用面积列等式：利用三角形面积公式（底×高/2），结合坐标表示底和高，建立关于k的方程求解。 3.结合函数性质：利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积为|k|/2）快速关联。 解题技巧总结（3点） 1.优先用k的几何意义：遇到与坐标轴垂直的三角形，直接用面积与k的关系，省去复杂计算。 2.巧设动点坐标：设横坐标为a，纵坐标用k/a表示，简化含参运算，聚焦面积或边长关系。 3.数形结合找关系：通过图象确定三角形顶点位置，明确底、高对应的横纵坐标差，避免坐标符号错误。 1 例 如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，，∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，∵，∴，∴，∴， ∵反比例函数经过点，∴，解得：∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知，设直线的解析式为， 则，解得，∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）；∴， ∴． 1-1 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵反比例函数的图象经过点A， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， 解得，∴直线的解析式为， 设直线向左平移后的解析式为， 联立，整理得，， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则有两个相等的实数根， 即，解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，t的取值范围是． 1-2 变式变式 如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 点，，，即点坐标为， 又轴，，，把代入可得：，； （2）解：①在为等腰直角三角形中，，，， ∵过点A、B分别作y轴的垂线、，，， ，在和中，，∴， ②解：设点坐标为，则，，∵，，， ，设直线解析式为：，将两点代入得：则． 解得， 当时，，，，符合； 当时，，，，不符，舍去； ∴， ∴，∴直线解析式为， 把代入可得：，∴反比例函数， 联立，解得或，∴， 过作轴于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型 反比例函数与平行四边形的综合问题 2 解题方法总结（3点） 1.坐标化建模：设反比例函数y=\frac{k}{x}上顶点坐标为(x, \frac{k}{x})，结合平行四边形顶点坐标关系（如对边平行、中点重合）列等式。 2.用性质建方程：利用平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质，转化为坐标运算，结合反比例函数关系求k或顶点坐标。 3.结合面积关联：通过平行四边形面积公式（底×高），关联反比例函数k的几何意义，建立方程求解关键参数。 解题技巧总结（3点） 1.巧用中点公式：平行四边形对角线中点相同，快速建立不同顶点坐标间的等式，简化计算。 2.定边定高简化：固定一边为底，利用坐标轴转化高为横/纵坐标差，结合反比例函数坐标特征解题。 3.分类讨论顶点：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，避免漏解，结合图象验证坐标合理性。 2 例 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：过点作轴垂足为， 平行四边形的边在轴上，点的坐标为， ， 平行四边形的面积为．   ，，，； （2）解：∵点为的中点，点的坐标为，∴点的纵坐标为． 又∵点在上，∴．∴．∴ 设，∵平行四边形的面积为．∴．∴． 解得：或．∴点的坐标为或． 2-1 变式变式 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是12． (1)求点的坐标及和的值； (2)若两函数图象另一个交点坐标的纵坐标为，请结合图象，直接写出不等式的解集； (3)若直线与有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【详解】（1）解：令，则，∴，∴，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，∵轴，∴设， ∵平行四边形的面积是12，∴，即，∴，，即， ∵点在直线上，∴，∴； （2）解∶由（1）知：，∵的纵坐标为，∴，解得，∴， ∴由图象可知：不等式的解集为：或； （3）解：如图所示， 当直线经过点时，取最大值， 当直线经过点时，取最小值， 将点代入，得：，解得； 将点代入，得：，解得， ∴若直线与四边形有交点时，t的取值范围为． 2-2 变式变式 如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． (1)求值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：，且点为中点，∴， ∵在双曲线上，； （2）由（1）可得反比例函数解析式为∵在上，设 ∵四边形是平行四边形，，，∴∴ ∴，，设直线的解析式为，代入，∴ 解得：直线的解析式为，当时，，，， 设点的坐标为，轴，，，，， 解得：，点的坐标为； （3）由（1）知，反比例函数的解析式为，点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形，则，解得，此时，； 如图2，若为平行四边形，  则，解得，此时，； ②如图3，当为对角线时，  ，且；，解得， ，； 故点的坐标为或或． 题型 反比例函数与矩形的综合问题 3 解题方法总结（3点） 1. 坐标化顶点：设反比例函数y=\frac{k}{x}上的矩形顶点为(x, \frac{k}{x})，其余顶点结合矩形“边垂直坐标轴”特征确定坐标。 2. 用性质建等式：利用矩形对边相等、四角为直角的性质，结合坐标表示边长，或通过面积公式（长×宽）建立方程求k。 3. 关联k的几何意义：矩形一边平行坐标轴时，面积等于|k|（由双曲线几何意义推导），直接关联面积与k值。 解题技巧总结（3点） 1. 优先用k的几何意义：矩形顶点在双曲线且边平行坐标轴时，直接用面积=|k|秒求k，省去复杂运算。 2. 巧设单变量坐标：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为\frac{k}{a}，其余顶点坐标顺势推导，简化含参计算。 3. 结合边长验符号：根据矩形顶点所在象限，判断x、\frac{k}{x}的正负，确保k值符号与图象一致，避免错解。 3 例 如图，矩形的两边的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数 的图象经过点E，与交于点F． (1)若点B坐标为，求k的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； (2)若，求反比例函数的表达式． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵点B坐标为，∴， ∵矩形的两边的长分别为3、8，∴， ∴，点A的坐标为，∵E是的中点，∴，∴点E的坐标为， 把点代入得：； 设经过A、E两点的一次函数的表达式为， 把点，代入得：，解得：， ∴经过A、E两点的一次函数的表达式为； （2）解：如图， ∵矩形的两边的长分别为3、8， ∴，，∵E是的中点， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵反比例函数 的图象经过点E，，∴可设点E的坐标为， ∴点F的横坐标为，∵反比例函数 的图象经过点F，∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为． 3-1 变式变式 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3，， (2) 【详解】（1）解：∵顶点B的坐标为，点F 是的中点，∴点F的坐标为， ∴，∴反比例函数的解析式为，∵点D的横坐标为4，∴， ∴，同理可得：，∴，故答案为：3，； （2）解：由题可得：，，∴，∵ ∴，∴，∴． 3-2 变式变式 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（）不是，；（）；；（）；对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，见解析． 【详解】解：（）∵，∴点不是“美好点”， ∵点是第四象限内的一个“美好点”，∴，解得：， 故答案为：不是，； （）∵是“美好点”，∴，解得：，∴， 将代入双曲线，得，故答案为：； ∵第一象限内的“美好点”在直线上，∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，∴满足条件的点的坐标为； （）∵点是第一象限内的“美好点”，∴， 化简得：，由题意可得，∴，∴； 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，理由， ∵，∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 题型 反比例函数与菱形的综合问题 4 解题方法总结（3点） 1.坐标化顶点与函数关联：设反比例函数y=\frac{k}{x}上的菱形顶点为(x, \frac{k}{x})，其余顶点结合菱形性质（四边相等、对角线垂直平分）确定坐标。 2.用性质建方程求解：利用对角线互相垂直平分、边长相等的性质，结合距离公式列等式，或通过面积（对角线乘积的一半）关联k值。 3.结合函数特征验证：利用反比例函数对称性，匹配菱形的中心对称特性，校验顶点坐标与k值合理性。 解题技巧总结（3点） 1.巧用对角线中点一致：菱形对角线中点相同，快速建立顶点坐标关系，简化参数计算。 2.优先用面积搭桥：通过菱形面积公式结合反比例函数k的几何意义，快速建立等式求k，减少复杂运算。 3.分类讨论顶点位置：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，结合菱形边长非负性，避免漏解或符号错误。 4 例 如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点， 四边形为菱形，，即轴，， 轴．可设．， ，，． 在中，，． ．．．反比例函数的解析式为； （2）解：由题意，根据作一个角等于已知角，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）解：由题意，是的中点，，．轴， 的纵坐标为．在反比例函数，的横坐标为．．． 4-1 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【详解】（1）解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称，∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，，∴． （2）解：∵四边形是菱形，，∴，， ∴，∴，∴， 设点P坐标为，∴，解得：，∴或． 4-22 变式变式 如图，已知，，，，D为B点关于的对称点，反比例函数的图象经过D点． (1)证明四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在的图象（）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求M点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)M点的坐标为：（0，） 【详解】（1）证明：∵，，，∴，，， ∴在中，，∵，∴， ∵为点关于的对称点，∴，，∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形，∴，，∴D点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过D点，∴，∴，∴反比例函数的解析式为：； （3）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴是经过平移得到的， ∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点， ∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点， ∵M点在y轴正半轴，∴M点的横坐标为0， ∴即根据平移可知点的横坐标为3，代入，得，即N点坐标为， ∴根据平移的路径可知点的纵坐标为：，∴点的坐标为． 题型 反比例函数与正方形的综合问题 5 解题方法总结（3点） 1.坐标化建模：设反比例函数y=\frac{k}{x}上正方形顶点为(x, \frac{k}{x})，其余顶点结合正方形“边垂直且相等、对角线相等平分”特征定坐标。 2.用性质建方程：利用边长相等（距离公式）或对角线关系列等式，或通过面积（边长²、对角线乘积/2）关联k值。 3.结合函数特性验证：借助反比例函数中心对称性，匹配正方形对称特征，校验k值与坐标合理性。 解题技巧总结（3点） 1.优先用边长/面积速算：若边平行坐标轴，正方形面积=|k|，直接求k；不平行则用坐标差表边长，简化运算。 2.巧设单变量简化：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为\frac{k}{a}，利用正方形边的垂直/相等关系推导其他顶点，减少参数。 3.锁定符号与象限：根据正方形顶点所在象限，确定x与\frac{k}{x}正负，确保k值符号符合图象，避免错解。 5 例 如图，四边形为正方形．点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)点A的坐标为______； (2)求反比例函数关系式． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：点B的坐标为，点C的坐标为，，，， 四边形为正方形． ，轴，； （2）解：四边形为正方形，，轴，， 将的代入反比例函数得：，，反比例函数的解析式为： 5-1 变式变式 如图，正方形的边长为 7 ，以所在的直线为 x 轴， 以所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，反比例函数（）的图象与交于 E 点，与 交于 F 点． (1)求点E、F的坐标（用k表示） ； (2)若的面积为20 时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵正方形的边长为7，∴， 当时，，当时，，∴； （2）解：当的面积为20 时，即， 可得：，解得：（负值舍去）， ∴反比例函数的解析式是． 5-2 变式变式 已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：点恰好落在双曲线上，．解得． A、B坐标为，．将代入，得．反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）可知．如图，过点作轴的平行线， 过点分别作，交平行线于G、F． 可得，． 四边形是正方形，，． ． ，． ， ．点C坐标为，即． 设直线的解析式为， 则解得直线的解析式为． （3）解：如图．连接，，由（2）可知 ． 课 后 练 习 1 练 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，且． (1)求经过点C的反比例函数的解析式； (2)设P是（1）中所求函数图象上一点，若的面积是的面积2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为， 【详解】（1）解：由题意知，，在中， ， ∵四边形为菱形，，∴，∴． 设经过点C的反比例函数的解析式为，则，解得：． 故所求的反比例函数的解析式为； （2）解：设）∵，∴，， ∵的面积是的面积2倍，∴，∴，∴， 当时，，当时，， 故点P的坐标为或． 2 练 如图，正方形的边分别与坐标轴平行，反比例函数 的图象过顶点 ，以点为圆心，长为半径画恰好经过坐标原点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：反比例函数 的图象过顶点 ，∴，∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，∴， ∵以点为圆心，长为半径画 恰好经过坐标原点，∴， ∵四边形是正方形，∴，∵， ∴阴影部分的周长． 3 练 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，点、的坐标分别为、． (1)直接写出点、的坐标； (2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点同时落在反比例函数的图象上，求及此时的值． 【答案】(1)， (2)的值为，此时的值为9或45 【详解】（1）解：连接交于点， ∵菱形，且轴，∴轴， ∵点、的坐标分别为、， ∴，，∴， ∴，； （2）解：∵点，，，， ∴将菱形向下平移个单位长度后对应点的坐标依次为，，，， ∵轴，轴，∴，或，不能同时落在反比例函数图象上． 当，两点同时落在反比例函数图象上时，，∴，∴， ∴；当，两点同时落在反比例函数图象上时，．∴，∴，∴．故的值为，此时的值为9或45． 4 练 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）解：，、，四边形是平行四边形， ，，把点代入得：，解得， 反比例函数的解析式为； （2）设点，，，，，， ，，或． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查了待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积的计算方法、坐标与图形等，综合运用相关知识是解题的关键． 5 练 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图， ，，， 菱形中，， ，，， ，， ，，， 点在反比例函数的图象上．，反比例函数的表达式为； （2）∵菱形，∴， 又∵，，∴，即 设菱形向右平移个单位长度，此时， 在反比例函数的图象上．，解得． ，，平移后的坐标为，， 如图，扫过的面积梯形的面积． 6 练 已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点，， 反比例函数的图象经过的中点D，，反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：，∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为，过点M作轴交于点N， 设，则，， ，， 解得：，∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：，如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得，解得：，∴； 当四边形为平行四边形时，可得，解得：，∴； 当四边形为平行四边形时，可得，解得：，∴， 综上，的坐标为或或． 7 练 定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）证明：如图①，过点作于点， ， 在中，，，， ，， 中，，， ，即，是智慧三角形． （2）解：过作轴于，过作轴于，如图②， 是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ， ∵，，， ， ，，，， ，，，， 设，则，，， 点、在函数上的图象上，，解得：，． 8 练 如图中，平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像，在平面直角坐标系中有一矩形如图所示，在x轴与y轴上点坐标．图像并与反比例函数图像相交于点C；将矩形翻转，使与x轴平行并重合且平移图像使点D与原点O重合，翻转后的矩形图像与反比例函数图像相交于点F，连接并将两端同时延长交于x轴，y轴于点N和点M． (1)求直线和反比例函数图像的表达式； (2)求M，N两点的坐标． 【答案】(1)反比例函数图像的表达式为；直线的表达式为(2) 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形，∴，则，解得：， ∴反比例函数图像的表达式为；由旋转的性质得，四边形是矩形， ∴，设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）知直线的表达式为，令，则， 令，则，解得：，∴． 9 练 已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)最小值为； (2)这样的点有3个，，，． 【详解】（1）解：当时，，点的坐标为． 设直线的解析式为，将代入，，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则，， ，即．， 当时，取得最小值，此时最小值，最小值为，线段长度的最小值为． （2）解：由（1）可知，当最小时，点的坐标为． 点的横坐标为8，点的横坐标为4，，平移后点与点重合， 平移后点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，分三种情况考虑，如图所示： ①当为对角线时，，，，，解得：， 点的坐标为； ②当为对角线时，，，，，解得：， 点的坐标为； ③当为对角线时，，，，，解得：， 点的坐标为． 综上所述：符合题意的点有3个，点的坐标为，，． 10 练 如图1，已知点，平行四边形的边与y轴交于点，且E为的中点，双曲线经过C、D两点． (1)求反比例函数表达式； (2)点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点P为对角线上一动点，连接，过点P作．交于点M，以、为邻边作矩形，连接．试探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出值的范围． 【答案】(1)； (2)或或； (3)是，． 【详解】（1）解：∵，为中点，∴，设，又∵， ∴∵点，都在双曲线上，∴，∴， ∴；∴反比例函数表达式为：； （2）解：如图，当为对角线时，四边形为平行四边形； ∴，， 设，， ∴，解得：，∴， 如图，当为对角线时，四边形为平行四边形， ∴，， 设，，∴，解得：， ∴， 如图，当为对角线时，四边形为平行四边形， ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 综上：或或； （3）解：如图，作于，于， 点是正方形对角线上的点， ∴，，， ∵，∴四边形为正方形， ∴，∵，∴， ∴，， ，， ∴，∴矩形为正方形， 正方形和正方形，，，， ，，， ∴是定值． 11 练 如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；；；；(2) (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且，∴，∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴，∴反比例函数的解析式为，当时，，∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：，∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：，∴直线的解析式为，当时，得，∴； （3）设，，∵，， ①当，为对角线时，得：，解得：，∴； ②当，为对角线时，得：，解得：，∴； ③当，为对角线时，得：，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 12 练 在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”． 若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”． (1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数（）的图象经过点，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由． 【答案】(1)或（答案不唯一） (2)是，理由见解析 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时， ，解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 当一次函数图象过，时，，解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：或（答案不唯一）． （2）解：当点时，代入中得：，解得， ，把代入得，点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数是正方形的“函数”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $