重难点07 反比例函数与几何 综合专项讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理反比例函数与几何综合的知识体系，将基础性质、图像对称性、k的几何意义及综合模型等核心知识点分层呈现，并用表格归纳常考考点与命题风向，清晰展现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分梯度题型攻坚设计，如“k的几何意义”题型结合矩形、直角三角形面积模型培养几何直观，错题复盘模块通过集错因、重订正提升推理意识。综合演练分基础、中档、拔高层级，适配不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

重难点07 反函数与几何综合专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 反比例函数基础性质与图像对称性 知识点二 反比例函数k的几何意义及几何综合模型 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 由反函数对称性求点的坐标 题型2 判断反函数的增减性 题型3 反比例函数系数k的几何意义 题型4 求反函数解析式 题型5 反比例函数与几何综合 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 反比例函数基础性质：解析式求解，图像象限分布，增减性判断，自变量取值范围。 · 反比例函数图像对称性：中心对称、轴对称特征，利用对称性求解点坐标。 · 系数k的几何意义：图像上点向坐标轴作垂线形成矩形、直角三角形面积与\(|k|\)的对应关系；拓展斜线型面积模型。 · 坐标转化能力：借助反比例函数设点，实现坐标、线段长度互相转化。 · 反比例函数与几何图形综合：结合三角形、矩形、平行四边形、特殊直角图形，求点坐标、参数k、图形面积。 · 数形结合探究：动点背景下面积定值、线段等量、存在性探究问题。 · 基础层级：选择、填空高频考查，侧重函数图像判断、增减性辨析、利用对称性直接写出点坐标、基础k面积模型，得分门槛适中。 · 中档层级：以k几何意义为核心，结合直角三角形、矩形面积计算，已知图形面积反向求k值，是校内统考固定考题，常设正负符号陷阱。 · 拔高层级：反比例函数与几何图形综合大题，融合平行、垂直、全等、相似，多出现填空压轴、解答中档压轴，重视数形转化。 · 命题特征：不出现复杂偏难运算，重点考察符号判断；经常设置跨象限图像，考生容易忽略k正负；偏爱不规则图形割补求面积，强调画图分析。 考情解码： · 模块地位：反比例函数两大核心板块之一，承接反比例函数基础、一次函数综合，是九年级上册几何与代数融合关键专题，也是期末、中考填空压轴热门考点。 · 分值与考频：期中期末必考，选择填空 3～6 分，综合解答题 6～8 分；试卷区分度集中在几何综合题型。 · 高频失分点：忽略图像所在象限导致k正负取值错误；不熟悉对称性结论，重复复杂计算；不规则图形不会割补；机械套用基础面积模型，无法应对变形图形。 · 备考核心：牢记对称性结论，吃透k几何意义多种变式，养成 “先定点坐标，再转化线段、面积” 的解题思路。 知识点一 反比例函数基础性质与图像对称性 1. 反比例函数标准形式，可变形为； k>0，图像位于一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小； k<0，图像位于二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大。 ⚠️易错提醒：增减性必须强调在同一象限内，不能跨象限讨论。 2. 图像对称特征 中心对称：反比例图像关于原点中心对称；若A(a,b)在图像上，则对称点(-a,-b)也在图像上。 轴对称：图像关于直线y=x、y=-x对称；若A(a,b)在图像上，则(b,a)、(-b,-a)在图像上。 3. 求解析式：只需图像上一个点坐标，代入求出参数k即可。 知识点二 反比例函数k的几何意义及几何综合模型 1. 基础模型：过双曲线上任意一点，向x轴、y轴作垂线段。 形成矩形面积 S=|k|；形成直角三角形面积 S=1/2|k|。 2. 拓展变形模型：两点在双曲线上、平行线构造、斜三角形面积、梯形面积等变式图形，利用割补法转化为基础模型求解。 3. 函数与几何综合核心方法： 设双曲线上动点坐标；依靠坐标表达线段长度；结合全等、相似、平行四边形性质建立方程求解参数、点坐标。 题型1 由反函数对称性求点的坐标 【例1】如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 【变式训练1-1】点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故A选项不符合题意； 因为反比例函数的图象不关于y轴对称， 故B选项不符合题意； 因为点在函数图象上， 则， 所以， 所以点和点都在图象上， 故C选项符合题意； 当时，， 故D选项 不符合题意． 【变式训练1-2】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，结合图象上点的坐标满足，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中． ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，A错误． ∵， ∴只有在每个象限内，随的增大而增大，并非在整个的取值范围内随增大而增大，B错误． 若点在该函数图象上，则， 整理得， 配方得，等式左边恒大于0，无实数解， 因此该点不可能在函数图象上，C错误． 若点在函数图象上，则， 对于点，有，满足的关系， 因此点也在该函数图象上，D正确． 【变式训练1-3】在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 题型2 判断反函数的增减性 【例2】下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 【变式训练2-1】已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 【变式训练2-2】已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据反比例函数的增减性，结合求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且， 分两种情况讨论： （1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件； （2）当时，令，， 解得， 在第三象限，y随着x的增大而减小， 时， 综上，自变量的取值范围是或． 【变式训练2-3】在下列函数图象上任取不同两点、，当时，的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目要求当时，即函数在给定区间内随的增大而减小，只需根据一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵ 题目要求时，即函数在给定区间内随的增大而减小. 对选项A：是一次函数，， ∴ 随的增大而增大，不符合要求； 对选项B：，开口向上，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大，不符合要求； 对选项C：是反比例函数，， ∴ 当时，随的增大而减小，符合要求； 对选项D：，开口向下，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大，不符合要求． 题型3 反比例函数系数k的几何意义 【例3】如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式训练3-1】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 【变式训练3-2】如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 【变式训练3-3】如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），反比例函数（＞）的图象经过点且与边交于点，连接． (1)连接，若的面积为，则________； (2)连接，与是否平行？请说明理由； (3)是否存在点，使得点关于的对称点在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)结论： 理由：连接，如图，设，则， ∴， 则，， ， ， 又， ， ， ； (3) 【分析】（1）求出，代入函数解析式即可求出答案； （2）连接，证明，则，即可证明结论； （3）假设存在点满足条件．设，，则，，，．作，垂足为；证明，则，得到，由勾股定理得，，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点E，E在边上，如图， 所以E的横坐标为4， 设, 面积为3， ， 代入，得 则； （2）略 （3）假设存在点满足条件．设，则， 则，，，． 作，垂足为； 在矩形中，， 由折叠可知，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，， ， 解这个方程得，（舍去），， ∴满足条件的点存在，的坐标为 题型4 求反函数解析式 【例4】如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 【变式训练4-1】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设点C的坐标为，可得，再由，可得，从而得到，从而得到点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】取的中点D，连接，求出点坐标，斜边上的中线求出的长，根据，得到当O，C，D三点共线时，取得最小值，求出的解析式，设点C坐标为，根据两点间距离公式列出方程求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：取的中点D，连接，如图所示： ∵线段的端点A、B的坐标分别为， ∴点D坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴当O，C，D三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，代入点，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点C坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C坐标为， 将C点坐标代入双曲线，得． 题型5 反比例函数与几何综合 【例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】（1）先利用点坐标求解反比例函数解析式，进而求出点坐标，再通过、两点确定一次函数表达式． （2）先求解出直线与轴的交点，设出轴上点的坐标，运用分割法，以为公共底，将拆分为、，结合、两点的横坐标作为两个三角形的高，进而表示出的面积，列方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，解得， 故反比例函数的表达式为． 点在反比例函数图象上，且纵坐标为， 将代入，解得， 故点的坐标为． 、两点经过一次函数图象，将两点坐标代入， 得到，解得， 故一次函数的表达式为． 答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． （2）解：令一次函数中的，得，则点的坐标为， 设点的坐标为，则线段的长度为， ， ． ， ，即， 解得或， 的坐标为或． 答：的坐标为或． 【变式训练5-1】利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】(1)解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； (2)证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； (3)解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得和是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得，最后利用角之间的关系和等量代换，易得，，从而，，进而可得，； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，求直线的解析式，可证点在直线上，再证四边形是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证，，，，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作轴，交函数的图象于点，作矩形，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，作矩形，根据反比例函数的几何意义，即可得到，在轴上截取，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式训练5-2】如图，菱形的面积为，且对角线轴，边交x轴于点F，、两点在轴上，点在上，双曲线经过、两点，设点的横坐标为． (1)直接写出点的坐标（用含、的代数式表示）； (2)结合以上信息，从①；②两个条件中任选一个作为补充条件，求的值．你选择的条件是______．（只填序号） 【答案】(1) (2)①； 【分析】（1）根据题意可得关于轴对称，表示出点的坐标，即可求解； （2）作垂直于y轴，垂直于x轴，垂足分别为T、G、H，设点E横坐标为n，点B横坐标为m，根据和k的几何意义求出m与n的关系，再通过m表示菱形面积求解． 【详解】（1）解：∵菱形的对角线轴，、两点在轴上， ∴关于轴对称， ∵点B坐标为 ∴点的坐标为 （2）解：选条件① 作垂直于y轴，垂直于x轴，垂足分别为T、G、H，设交于点，点横坐标为m，点横坐标为n， ∴点B坐标为，点E坐标为． ∵轴，，   ∴， ∴， ∴，即． ∴点B坐标为， ∵， ∴ ∴， ∵菱形的面积为， ∴． ∴ ∴． 【变式训练5-3】如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为2或6 【分析】（1）求出点，利用待定系数法即可求出答案； （2）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点C， 是等边三角形， ，， ∵， ， ，， ∴， 把点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：分两种情况讨论： ①如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E， 由题意得， 是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 把代入，得， ， ； ②如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H． 由题意得， ，， 在中，， ∴，， 把代入，得， ， ， 综上所述，a的值为2或6． 1．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，分段讨论点在和上运动时的取值范围，找出公共范围并验证选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，，点在点右侧， ∴，， ∴， 设，反比例函数解析式为，则， 当点在线段上运动时，，， ∴，即； 当点在线段上运动时，，， ∴，即， 若图象经过某点两次，则该点对应的值在两段运动中均能取到，且对应不同的点， ∴， 、，不在范围内，不符合题意； 、，在范围内，符合题意； 、，不在范围内，不符合题意； 、，不在范围内，不符合题意． 4．如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点、分别作轴的垂线，构造直角三角形，利用等边三角形性质表示出、坐标，代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 设，则． 为边长为5的等边三角形， ，． 在中，，， ，． 点在第三象限， ． 在中，，， ，． ，点在第三象限， ． 点、在反比例函数图象上， ． ． ， ． ，解得． ． 5．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先求出C，B坐标，从而求出OC，OB长度，由得，据此可求A点横坐标，代入即可求出A点纵坐标，将A点坐标代入即可得到k的值． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得． 6．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质得到，可知，，进而求出，将代入计算即可． 【详解】解：点的坐标为，绕点逆时针旋转， ∴， ，， 故， 将代入中，得． 7．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 8．如图，点，，以线段为边在第二象限作矩形，双曲线（）过点D，连接，若四边形的面积为6，则k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过D作轴于M，根据相似三角形的性质和判定求出．设，则，根据三角形的面积求出x，即可求出和，得出答案即可． 【详解】解：∵点，， ∴，， 过D作轴于M，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 设，则， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， 解得：， 则，，， 即D点的坐标为， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，动点在边上，且不与点重合，连结，把沿翻折得到，点落在双曲线上，当长度最小时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，判断出当且仅当点，，三点共线时，最小；借助勾股定理求出；过点作于点，证出，求得，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ， 当且仅当点，，三点共线时，最小， ，， ， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ， 解得，， ， ， 点在双曲线上， ， 故选：B． 10．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的顶点的坐标为，可求得，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得的值． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 12．如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 【答案】6 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，利用平行四边形性质表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到的关系，再结合建立关于的方程求解． 【详解】解：设，其中 ， 边经过原点，且在反比例函数图象上 ， 点与点关于原点对称 ， ，且为中点 ． 四边形是平行四边形， ∴， 设，其中， ∴， ∴， ∴，， ． 点在反比例函数图象上， ， ， ， ，即 ． 连接， 四边形是平行四边形 ， 点到的距离等于平行四边形边上的高，设为， 又 将代入上式得 ． 13．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为， 把代入得：，结论符合题意 点在双曲线的一支上，点在双曲线的一支上， ，， ，， 阴影部分的面积为，结论不符合题意． 当时，是矩形， 不一定等于, 与不一定全等， 不一定等于，结论不符合题意． 连结交轴于点， 四边形是菱形， ，， 点、关于轴对称， 如图所示的两个图像关于轴对称， 双曲线和各自关于原点对称， 两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，结论符合题意． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出的的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为：； (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解函数解析式； （2）由函数图象可得，当反比例函数图象在一次函数图象的上方，即，进行解答，即可； （3）先求出点、的坐标，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，在反比例函数上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：由函数图象可得，当反比例函数图象在一次函数图象的上方，即， ∴或． （3）解：当时，， ∴点， ∴， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ． 16．已知过原点的一条直线l与反比例函数的图像交于A，B两点，且A的横坐标为，是反比例函数图像上位于A点上方的一点，连接并延长交y轴于点D，连接交y轴于点E．，． (1)直接写出B点坐标（用a，k表示）． (2)当，时， ①求的面积． ②求的值． (3)当点在A点上方运动时，请说明是定值． 【答案】(1) (2)①24；② (3)解：过点分别作轴的垂线，垂足分别为，，，如图所示： ， ， ，， ∵，， ， ， ， ， ， 则， ∵关于原点对称， ∴， ， ∴， ， ∴是定值． 【分析】（1）把代入，求出点A的坐标，然后根据对称性，求出点B的坐标即可； （2）①先根据当，时，求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，再根据求出结果即可； ②过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，证明，得出，求出，从而得出，最后求出结果即可； （3）过点分别作轴的垂线，得出，根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点A的坐标为， ∵过原点的一条直线l与反比例函数的图像交于A，B两点， ∴点B的坐标为； （2）解：①当，时，，反比例函数解析式为：， 则点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵， ∴点C为的中点，， ∴点C的横坐标为， ∵点C在反比例函数图象上， ∴点C的坐标为， ∴根据中点坐标公式得：点D的坐标为， ∴ ； ②过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 17．如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点C为点O关于的对称点，连接，双曲线的图象经过的中点D，．    (1)求双曲线的解析式及n的值； (2)为上方双曲线上的一点，过P作y轴的垂线交直线于点E，连接．求证：； (3)在（2）的条件下，若的延长线交双曲线于另一点Q，分别过P，Q两点作直线的垂线，垂足分别为M，N，试判断是否为定值，若是，请求出该定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)，； (2)证明：设，延长、交于点，如图，    则，， ∴，， 在中， ， 由（1）得直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴，即； (3)是定值，定值为． 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义可求得，再证明四边形是正方形，求得，据此求解即可； （2）设，延长、交于点，在中，用表示出，再求得，利用两点之间的距离公式用表示出，即可证明结论成立； （3）过点作轴的垂线，交直线于点，同（2）理，可证得，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵与坐标轴交于A，B两点， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点C为点O关于的对称点， ∴， ， ∴四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∵双曲线位于第一象限， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：略 （3）解：是定值，如图，过点作轴的垂线，交直线于点，    同（2）理，可证得， ∵， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴轴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 18．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 19．如图，已知点，点，以为边作正方形（两点均在第一象限），反比例函数的图象经过点，射线交该图象于点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作轴交x轴于点F，证明，则，即可求出答案； （2）过点E作轴交x轴于点H，由（1）同理可得，再求出，由、E都在反比例函数图像上列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：过点D作轴交x轴于点F， 在正方形中，， ， 又 ∴， ， 又， ， ， ； （2）解：过点E作轴交x轴于点H， 由（1）同理可得 ∵，， ∴， ∴， 为中点， ∴， ∴， ， ∴， ， 又、E都在反比例函数图像上． ，得， （舍）． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q，D是y轴上任意一点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为 (2)面积的最大值是4 【分析】（1）由，的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，确定反比例函数的关系式； （2）根据题意，要使的面积最大，可用点P的横坐标表示的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可． 【详解】（1）解：把，代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的关系式为， 当时，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得 ∴反比例函数的关系式为， 答：一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； （2）解：∵点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q， ∴点，点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大， 答：面积的最大值是4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点07 反函数与几何综合专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 反比例函数基础性质与图像对称性 知识点二 反比例函数k的几何意义及几何综合模型 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 由反函数对称性求点的坐标 题型2 判断反函数的增减性 题型3 反比例函数系数k的几何意义 题型4 求反函数解析式 题型5 反比例函数与几何综合 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 反比例函数基础性质：解析式求解，图像象限分布，增减性判断，自变量取值范围。 · 反比例函数图像对称性：中心对称、轴对称特征，利用对称性求解点坐标。 · 系数k的几何意义：图像上点向坐标轴作垂线形成矩形、直角三角形面积与\(|k|\)的对应关系；拓展斜线型面积模型。 · 坐标转化能力：借助反比例函数设点，实现坐标、线段长度互相转化。 · 反比例函数与几何图形综合：结合三角形、矩形、平行四边形、特殊直角图形，求点坐标、参数k、图形面积。 · 数形结合探究：动点背景下面积定值、线段等量、存在性探究问题。 · 基础层级：选择、填空高频考查，侧重函数图像判断、增减性辨析、利用对称性直接写出点坐标、基础k面积模型，得分门槛适中。 · 中档层级：以k几何意义为核心，结合直角三角形、矩形面积计算，已知图形面积反向求k值，是校内统考固定考题，常设正负符号陷阱。 · 拔高层级：反比例函数与几何图形综合大题，融合平行、垂直、全等、相似，多出现填空压轴、解答中档压轴，重视数形转化。 · 命题特征：不出现复杂偏难运算，重点考察符号判断；经常设置跨象限图像，考生容易忽略k正负；偏爱不规则图形割补求面积，强调画图分析。 考情解码： · 模块地位：反比例函数两大核心板块之一，承接反比例函数基础、一次函数综合，是九年级上册几何与代数融合关键专题，也是期末、中考填空压轴热门考点。 · 分值与考频：期中期末必考，选择填空 3～6 分，综合解答题 6～8 分；试卷区分度集中在几何综合题型。 · 高频失分点：忽略图像所在象限导致k正负取值错误；不熟悉对称性结论，重复复杂计算；不规则图形不会割补；机械套用基础面积模型，无法应对变形图形。 · 备考核心：牢记对称性结论，吃透k几何意义多种变式，养成 “先定点坐标，再转化线段、面积” 的解题思路。 知识点一 反比例函数基础性质与图像对称性 1. 反比例函数标准形式，可变形为； k>0，图像位于一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小； k<0，图像位于二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大。 ⚠️易错提醒：增减性必须强调在同一象限内，不能跨象限讨论。 2. 图像对称特征 中心对称：反比例图像关于原点中心对称；若A(a,b)在图像上，则对称点(-a,-b)也在图像上。 轴对称：图像关于直线y=x、y=-x对称；若A(a,b)在图像上，则(b,a)、(-b,-a)在图像上。 3. 求解析式：只需图像上一个点坐标，代入求出参数k即可。 知识点二 反比例函数k的几何意义及几何综合模型 1. 基础模型：过双曲线上任意一点，向x轴、y轴作垂线段。 形成矩形面积 S=|k|；形成直角三角形面积 S=1/2|k|。 2. 拓展变形模型：两点在双曲线上、平行线构造、斜三角形面积、梯形面积等变式图形，利用割补法转化为基础模型求解。 3. 函数与几何综合核心方法： 设双曲线上动点坐标；依靠坐标表达线段长度；结合全等、相似、平行四边形性质建立方程求解参数、点坐标。 题型1 由反函数对称性求点的坐标 【例1】如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【变式训练1-2】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【变式训练1-3】在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 题型2 判断反函数的增减性 【例2】下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【变式训练2-2】已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【变式训练2-3】在下列函数图象上任取不同两点、，当时，的是（     ） A． B． C． D． 题型3 反比例函数系数k的几何意义 【例3】如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【变式训练3-1】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【变式训练3-2】如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练3-3】如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），反比例函数（＞）的图象经过点且与边交于点，连接． (1)连接，若的面积为，则________； (2)连接，与是否平行？请说明理由； (3)是否存在点，使得点关于的对称点在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4 求反函数解析式 【例4】如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 题型5 反比例函数与几何综合 【例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 【变式训练5-1】利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【变式训练5-2】如图，菱形的面积为，且对角线轴，边交x轴于点F，、两点在轴上，点在上，双曲线经过、两点，设点的横坐标为． (1)直接写出点的坐标（用含、的代数式表示）； (2)结合以上信息，从①；②两个条件中任选一个作为补充条件，求的值．你选择的条件是______．（只填序号） 【变式训练5-3】如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 1．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 3．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 4．如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 6．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 8．如图，点，，以线段为边在第二象限作矩形，双曲线（）过点D，连接，若四边形的面积为6，则k的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，动点在边上，且不与点重合，连结，把沿翻折得到，点落在双曲线上，当长度最小时，的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 12．如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 13．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出的的取值范围； (3)求的面积． 16．已知过原点的一条直线l与反比例函数的图像交于A，B两点，且A的横坐标为，是反比例函数图像上位于A点上方的一点，连接并延长交y轴于点D，连接交y轴于点E．，． (1)直接写出B点坐标（用a，k表示）． (2)当，时， ①求的面积． ②求的值． (3)当点在A点上方运动时，请说明是定值． 17．如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点C为点O关于的对称点，连接，双曲线的图象经过的中点D，．    (1)求双曲线的解析式及n的值； (2)为上方双曲线上的一点，过P作y轴的垂线交直线于点E，连接．求证：； (3)在（2）的条件下，若的延长线交双曲线于另一点Q，分别过P，Q两点作直线的垂线，垂足分别为M，N，试判断是否为定值，若是，请求出该定值，若不是请说明理由． 18．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，已知点，点，以为边作正方形（两点均在第一象限），反比例函数的图象经过点，射线交该图象于点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)若点为的中点，求的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q，D是y轴上任意一点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $