山东青岛市2026-2027学年高三年级期初调研检测数学试题

2026年高三年级期初调研检测 数学试题 2026.09 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据2，4，1，8，6的80%分位数为 A．4 B．5 C．6 D．7 2．若单位向量，的夹角为60°，则 A． B． C． D． 3．若集合，则的真子集个数为 A．3 B．4 C．7 D．15 4．若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为 A． B． C． D． 5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为 A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 7．若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则 A． B． C． D． 8．设集合．从中随机抽取一个元素，记随机变量，则的数学期望为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知（），则 A． B．展开式中二项式系数的和为 C． D．展开式中系数最大的项是第项 10．已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的3倍，则 A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 11．已知函数，则 A． B．， C．在内存在极小值点 D．有2个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________． 13．甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球．掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球．则摸到2个白球的概率为________． 14．已知函数在内存在5个极值点，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在中，，．将绕边旋转到的位置，使，点为中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分） 已知的内角，，的对边分别是，，，． （1）求； （2），边上的中线，交于点，，，求的余弦值． 17．（15分） 游乐园有一项基于如图所示的高尔顿板设计的游戏．游客支付一定的乐园积分即可参与一次游戏，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到钉子后都等可能地向左或向右落下，最终落入底部从左到右依次编号为1，2，…，7的7个格子中．当小球落入号格子时，游客可获得积分；若落入奇数号格子还可获得一件礼品． （1）求游客在一次游戏中获得礼品的概率； （2）商家希望游客在一次游戏中获得的积分不超过支付积分的75%，求一次游戏的最低支付积分（支付积分为整数）； （3）在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差．经统计，100次游戏后共送出32件礼品．某工作人员认为装置存在偏差，需调试．请结合正态分布的原则，判断此工作人员的说法是否合理并说明理由． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足．记的轨迹为． （1）求的方程； （2）设直线交于，两点，交轴于点，为线段的中点．线段的垂直平分线经过点，且与轴交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的取值范围． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $