山东济南市2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试题

2026一2027学年高中三年级摸底考试 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号12345678 答案BA A C B D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.7:18.；45 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)f(y=sin2x+√3cos2x=2 2x+9osa-2nfx引 1 2 所以T=2r」 2π 令-受+2<2x+号号+2必eZ,解得侣+ac径+k,eZ, 2 32 12 故华美猪区同为晋+虹是+刀。 a引，则2x+后] 当x=径时，最大值fx=2；当x=时，最小值fm=5. 12 16.【解析】(1)设事件A=“至少1架投送成功”，则事件A=“2架投送全部失败”. P风闭=0-学争-方所以R1-P团=1-云答 (2)由题意，X~B3,), 即得x的分布列为P(X==C×孕×-c空，k=0,1,2,3. 64 用表格表示X的分布列，如下表所示 0 1 2 3 9 27 27 64 64 64 64 E(X)=3x3-9 44 第1页，共4页 17.【解析】(1)(i)()=0,所以切点为(，0)， 又f=nx++1-1=nx+,所以f0=1, 所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0 (i)g(x)=f(x)-xf'(x)=lnx-x,x∈(0，+oo), 所以g闭=1-1=1-￥，令g=0,解得x=1, 当x变化时，g(x),g(x)的变化情况，如下表所示. (0,1) 1 (1,o∞) g'(x) + 0 g(x) 单调递增 -1 单调递减 当x=1时，g(x)有极大值，极大值为g(0)=-1,无极小值. 2了侧=nx+生-a=hx++1-a,所以闭=士-号， 令"(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时，∫”(x)<0,'(x)单调递减：当x>1时，f”(x)>0,'(x)单调递增. 所以当x=1时，∫(x)取得最小值，最小值为f"(I)=2-a; ①当2-a>0,即a<2时，f'(x)>0恒成立，所以∫'(x)无零点； ②当2-a=0,即a=2时，f'(1)=0,所以f'(x)有1个零点； ③当2-a<0,即a>2时，f'(1)<0；当x→+∞时，f'(x)→+o:当x→0时，f'(x)→+0， 所以∫(x)在(0,1)和(1，+∞)上各有一个零点，即∫'(x)有2个零点. 综上：当a<2时，'(x)无零点；当a=2时，'(x)有1个零点；当a>2时，'(x)有2个零点， 2a=4 a=2 18.【解析】(1)由已知得 a+284+25→8-万，得6=5，所以e:若+号-1 2》）由已知得m-:分 42 联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0, y=kxc+m X十X2= +21戈5=2m2-4 -4km 1+2k2,4>0, 设点0到1的距离为，。·h=+片-=+F82+西， 1+2k2 1+2k2 第2页，共4页 因为㎡--克所以S树西 2m2 2 (i)1:y=x+V2，设TG,0+V2),则M(-√2x,-V2x-2), 因为点M在E上，所以2上+5-2-1， 4 2 整理得3+42+2=0，解得%=-反或5-三 3 所-6g政929. 19.【解析】（1)若k=q,因为0≤a,≤q-1=0,1,,k), 所以n=a。+4,9+…+ag≤(g-1)+(g-1)9+…+(g-1)99=(g-101+9+…+9)=g--1, 故此时n的最大值为g1-1,当a,=a,=…=a。=q-1时，取等. (2)由a,=1十(=1,2，，k-1)知a,4,,4成等差数列， 2 又a,(t=0,l,2,,)为互不相同的整数几0≤a,≤g-1(i=0,1,,k),故其公差不为0，所以k≤g-1, 又因为g>g-1=(g-1)g+(g-1)g-2+…+(g-1)g+(g-1teN,), 要求最大值，所以a>a1>…>a>a,且k=g-l, 故n≤(g-1)q-+(g-2)g-2+…+2g2+g,① 令S=(g-1)g9-+(g-2)9-2+…+2g2+g② qS=(g-1)g9+(q-2)g1+…+2q3+g2③ ③式-②式知g-108=9-9”-(g1++g+g2+g）=g-g°_g4- 9-1 所以S=-29+9,即m≤2-29+9，当k=g-1且4，=6=0,5，g-》时取等 (g-1)2 (g-1)2 (3)存在最大值. 因为4<十型=1,2，k-1),所以a,-a4<a1-a=1,2,k-, 2 令b=au-a,=1,2,…,k-1),则b,,…,b1为严格递增数列。 若b,,,b1中至少四项为正，不妨设b43>b42>b1>b>00≤≤k-4),则b,≥1，b41≥2，b2≥3，h3≥4， 故a4-a,=b+b+b2+b43210,这与0≤a,≤7i=0,1,矛盾！故b,b,…,b-1中至多三项为正. 同理可得b,b,…,b-中至多三项为负.所以k≤7， 当k=7时，有b。<b<b<0,b=0,0<b,<b<b,由b,b,,b,为整数且严格递增知， b≤-3，b≤-2，b2≤-1，b=0,1≤b,2≤b,3≤b6, 故a≤7,4=b+a≤4,42=b+a≤2，a3=b2+a2≤1， a,≤7,46=a1-b。≤4,45=a6-b≤2，a4=a5-b≤1， 故n≤7+4×8+2×82+1×83+1×8+2×8+4×8+7×87. 第3页，共4页 验证知k=7,a。=7,a,=4,a42=2,a3=1,a4=l,a=2,a。=4,a,=7满足题日条件. 故n存在最大值，此时k=7，对应数组(ao,a,42,4,a4,as,6,a7)=(7,4,2,1,1,2,4,7). 第4页，共4页绝密★启用并使用完毕前 2026一2027学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数之=i(3一i),则x的虚部为 A.1 B.3 C.-i D.3i 2.记Sn为等差数列{an)的前n项和，若a2=2,S4=10,则a3= A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知向量a=(1,2),b=(2,m),若a⊥b,则|a+b|= A.√10 B.√13 C.√17 D.5 4.已知min(m,n)表示m,n中的最小者，则函数f(x)=min(4一x2,x+2)的最大值为 A.0 B.1 C.3 D.4 5.以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围 成的几何体的体积为 A路 B.162 π C.16π D.16√2π 6.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为圆x2一2x十y2一3=0的圆心，则C的标准方程为 A.x2=2y B.y2=2x C.x2=4y D.y2=4x 高三数学试题第1页（共4页） 7.已知正项等比数列{an}满足a2·a2m-2=4”(n≥2)，设bn=log,2,则数列(bn·bn+1)的前 2027项和为 2026 2027 A.2027 B.2028 c器 n 8.在直角△ABC中，AB=BC,P是△ABC内一点，PA=2PB=√2PC=4,则△ABC的面 积为 A.6 B.8 C.10 D.12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设m,n是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则 A.若m⊥a,m∥n,nCB,则a⊥B B.若m⊥a,aB,nB,则m⊥n C.若a⊥B,a∩B=m,n⊥m,则n⊥B D.若m⊥a,a⊥B,m在β，则mB 10.2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到 关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数y(万人) 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立y关于x的线性回归方程y=bx十1.08，则 A.6=0.16 B.当x=5时，残差为0.02万人 C.预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 D.表中数据y的第80百分位数为1.7 11,已知函数f(x)=g十a(c-lnx),其导函数为f'(c),则 A.当a=一e时，f'(x)有且只有1个零点 B.若f(x)≥0，则a≥e C.若f(x)恰有2个零点x1,x2,则x1x2<1 D.若f(x)恰有3个极值点x1,x2,x3,则x1十x2十x3>3 高三数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2x-1,x≥2， 12.已知函数f(x)= 则f[f(-1)]= x2-2x,x<2, 13.在正三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=AA1,则平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值 为 14.已知数列(an}满足a+2·a-1"=3”,记Tm为{an)的前n项积，若T2≤36，则a1的最大 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=sin2x十√3cos2x, (1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间； (2)若x∈[0，]，求f(x)的最值及相应x的取值。 16.(本小题满分15分) 2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施 投送任务.已知某救授队每架无人机投送生活物资的成功率为号，投送抢险设备的成功率为 各架无人机投送成功与否相互独立. 3 (1)救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； (2)救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量X,求X 的分布列和数学期望E(X) 高三数学试题第3页（共4页） 17.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=(x十1)lnx一a(x一1)，其导函数为f'(x). (1)当a=1时， (i)求曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (ii)若函数g(x)=f(x)一xf'(x),求g(x)的极值； (2)讨论f(x)零点的个数 18.(本小题满分17分) 包知椭圆卫多之 62=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4，E上一点与 F1,F2所构成三角形的周长为4十2√2】 (1)求E的方程； (2)设直线l:y=kx十m与E交于A,B两点，O为坐标原点. (i)若中心在原点且右焦点为(1,0)的等轴双曲线过点(m,),求△OAB的面积； ()若L过E的上顶点和F1,T为线段AB上一点，直线OT与E交于点M,且 Mi=(1十√2)Oi,求T的坐标. 19.(本小题满分17分) 已知对于给定q∈N且q>l,正整数n可唯一表示为n=ao十a1q十…十akg(a;∈N且 0≤a;≤g一1，其中i=0,1,2,…,,ak≠0)，此表达式称为n的q进制表示.例如 2026=2+5×8十7×82十3×83，此表达式称为2026的八进制表示.对n的g进制表示. (1)若k=q,求n的最大值（结果用q表示）； (2)若a:(i=0,1,2,…,)互不相同，且2a:=a-1十at1(i=1,2,…,k-1),求n的最大 值（结果用q表示）； (3)若q=8且2a;<a;-1十a+1(i=1,2,…,k一1)，n是否存在最大值，若存在，求出k的 值及对应数组(ao,a1,a2,…,a.),若不存在，说明理由. 高三数学试题第4页（共4页）