精品解析：山东省青岛市2025-2026学年高三上学期期初调研检测数学试题

2025年高三年级期初调研检测 数学试题 2025.09 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，进而根据集合的包含关系列式求解即可. 【详解】由，得， 根据集合中元素的互异性可得，所以或，解得. 此时，满足题意. 故选：C 2. 若复数，则（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，结合复数乘法运算求解 【详解】因为，所以. 因此. 故选：A 3. 随机变量的分布列为，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数学期望的公式求解即可. 【详解】. 故选：B. 4. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A. 横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C. 横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换直接可得. 【详解】将函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到函数的图象， 再将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. 故选：C 5. 设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设满足条件p，q的集合分别为集合，，由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，根据集合的包含关系可得答案. 【详解】由得或，设. 设满足的集合为，则， 由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，所以的取值范围是. 故选：B 6. 已知关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程变形转化为，将方程的实数解的问题转化为函数与，交点个数的问题，再利用函数导数分析函数的极值（最值），结合函数的图象分析即可得. 【详解】由题意知，所以方程变形为：，. 设函数，. 则关于的方程恰有两个互异的实数解的问题转化为直线与函数的图象有两个不同的交点， 由， 当时，由，，此时，所以函数在上单调递减， 当且时，由，，此时，所以函数在和上单调递增. 所以函数在处有极小值，也即函数的最小值. 当时，，，且，.所以且. 当从左侧时，且，.所以函数且. 当从右侧时，且，.所以函数且. 当，，，所以函数， 所以函数大致图象如图所示： 由图可知，与函数的图象有两个不同的交点，得. 故的取值范围是. 故选：C. 7. 已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，则（　　） A. 230 B. 201 C. 157 D. 119 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设令，则，令，即，又，进而由累加法得，所以，所以，然后利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由， 得，又， 令，则， 令，即，又， 所以， 所以，所以，所以， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（　　） A. B. 若为中点，则平面 C. 存在点使得平面平面 D. 存在点使得平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】A线面垂直的性质定理可得；B取线段的中点，先证明为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；C利用反证法以及面面平行的性质定理即可；D当为中点时，先求证平面，再结合B选项即可求出. 【详解】因和都垂直于平面，则，故A正确； 取线段的中点，连接， 因为中点，则，， 又，则，，故,， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面，故B正确； 假设存在点使得平面平面， 因平面平面，平面平面，则， 显然是不成立的，故假设不成立，故C错误； 当点为中点时，平面平面，证明如下： 因，则， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 由B选项可知，则四点共面， 又平面，则平面平面，故D正确. 故选：ABD 10. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一、书中有如下问题：把100个面包分给5个人，每人分得面包数均为正整数且构成等差数列，则（　　） A. 五人中必有一人分得20个面包 B. 五人中若有一人分得16个面包，则必有一人分得24个面包 C. 若分得面包较多的三份之和是较少两份之和的3倍，则最少的一人分得10个面包 D. 某人最多分得36个面包 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可设5人得到的面包数分别为，，结合题设可得，即可判断A；对于B，分和两种情况讨论求解即可判断；对于C，根据题意列方程可得，进而判断即可；对于D，结合题意可得，，进而求解判断即可. 【详解】根据题意可设5人得到的面包数分别为，， 则，即， 所以五人中必有一人分得20个面包，故A正确； 对于B，若，则， 此时这5人得到的面包数分别为， 若，则， 此时这5人得到的面包数分别为， 所以五人中若有一人分得16个面包，则必有一人分得24个面包，故B正确； 对于C，若分得面包较多的三份之和是较少两份之和的3倍， 则， 即，则， 此时这5人得到的面包数分别为，故C正确； 对于D，由于每人分得面包数均为正整数， 则，且，即， 则时，最多一人分得个面包，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（　　） A. 若，则为奇函数 B. 若，则恰有1个零点 C. 若，则方程在上有3038个解 D. 若，则为的极小值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇函数的性质判断A的真假；求导，分析函数的单调性，得到函数的零点，可判断B的真假；结合函数的单调性，利用复合函数单调性的判断方法，判断函数的单调性，再结合函数的周期性，数形结合，可求方程在给定区间内零点的个数，判断C的真假；求导，判断导函数在两侧的符号，判断D的真假. 【详解】对A：当时，，定义域为，因为，所以函数不是奇函数，故A错误； 对B：当时，，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以恰有1个零点，故B正确； 对C：当时，，所以. 方程，显然是方程的解. 显然是以为周期的周期函数. 当时，且单调递增，在上单调递增，根据复合函数单调性的判断方式，可得在单调递增，且，； 当时，且单调递减，在上单调递增，根据复合函数单调性的判断方式，可得在单调递减，且； 当时，且单调递减，在上单调递减，根据复合函数单调性的判断方式，可得在单调递增，且； 当时，且单调递增，在上单调递减，根据复合函数单调性的判断方式，可得在单调递减，且. 做函数草图如下： 由图可知，方程在上有3个解. 所以方程在上有个解，在上有2个解， 所以方程在上有个解，故C正确； 对D：当时，， 所以. 当从左侧接近时，，，，所以，所以在左侧单调递减； 当从右侧接近时，，，，所以，所以在右侧单调递增. 所以当时，为的极小值点，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中项的系数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得展开式的通项，结合多项式的运算法则，求得的展开式中项，进而得到答案. 【详解】由二项式展开式的通项为， 则的展开式中项为 所以的展开式中项的系数为. 故答案为：. 13. 在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 【答案】5 【解析】 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E， 在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 故持续时间为小时． 故答案为：5． 14. 已知函数，若使得对，都有，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，再由性质可，可得的最大值，验证即可. 【详解】令，则， 当时，，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，所以在上的最大值为， 又因为，则，使， 当时，，， ，令， ，令， ， 在上递增，而， 在上，在上，， 在单调递减，在上单调递增， 注意到， 则在上；在上；在上， 在上单调递增；上单调递减；上单调递增， ，符合题意。 因此的最小值为1. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 下表是某公司从2020年至2024年某种产品盈利额的近似值（单位：万元） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 盈利额 50 56 64 72 83 （1）求关于的相关系数的值（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系（如果，则认为与的线性相关关系较强，否则认为线性相关关系较弱）； （2）求关于的线性回归方程，并预测2025年该种产品的盈利额． 附： ①相关系数； ②经验回归方程中的和的最小二乘估计公式为 ③． 【答案】（1），因为，所以与具有较强的线性相关关系； （2），万元. 【解析】 【分析】（1）利用给定的相关系数公式计算相关系数，通过与比较判断线性相关关系强弱； （2）根据最小二乘估计公式计算线性回归方程的系数和，得到线性回归方程，最后利用该方程进行预测. 【小问1详解】 已知，，则， ，则， ， ，所以， 已知，， 将以上值代入相关系数公式， 可得：， 因为，所以与具有较强的线性相关关系. 【小问2详解】 根据， 而，， 所以. 由，已知，，，则. 所以关于的线性回归方程为. 2025年年份代号，将代入线性回归方程（万元）. 16. 已知双曲线的离心率为为上一点． （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）设，根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程求出两点的坐标，求出，利用点到直线的距离公式求出的高，代入公式求解即可. 【小问1详解】 由题得:， 解得， 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 设，如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：， 整理得：， 所以， 所以 所以 又因为点到直线的距离为： ， 所以的面积为. 17. 如图，四棱锥中，底面为矩形，为中点，为的交点，点在上，且．直线与平面所成的角分别为． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面角得到点在平面上的射影为与的交点，从而平面； （2）根据正切值，不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而利用线面角的正弦公式进行求解，得到答案. 【小问1详解】 直线与平面所成的角分别为， 故在平面上的射影为，故点在平面上的射影在上， 同理可得点在平面上的射影在上， 所以点在平面上的射影为与的交点， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， 不妨设， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 其中，则，，， ， 故，， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 又，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的最大值为4，所有零点之和小于16． （i）求的值； （ii）若非负实数满足，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，求出函数导数，进而求出图像上一点得切线方程； （2）（i）根据函数导数与函数最值的关系，求出导数，讨论单调性，根据函数最值求出参数的值； （ii）构造函数，证明不等式，根据不等式的取值范围，求出代数式的最大值. 【小问1详解】 当时，，则， 可得，则切线方程为，化简得. 【小问2详解】 （i）令，即，解得或， 由所有零点之和为小于16，得，解得； 由，得， 可知和在单调递减，所以在单调递减， 令，设解为，即 则当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得最大值，即， 由，得， 代入得，解得或， 当时，，解得， 则，所以舍； 同理当时，，则， 所以，. （ii）设，当时， ， 则； 设，当时，，则 展开得，即， 得，当且仅当或时等号成立， 因为，即，解得， 所以， 所以， 展开得，即， 因为的最大值为4，所以，当且仅当， 即（或其他同类型情况）时等号成立； 所以的最大值为3. 19. 有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂1次，每次分裂生成1个细胞的概率为，生成2个细胞的概率为，生成3个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立，假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞，记分裂次后共有个细胞的概率为. （1）求； （2）求； （3）已知：若和均为离散型随机变量，则．证明：． 【答案】（1） （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出一个细胞分别分裂出个细胞的概率，根据第二次分裂出现3个细胞的所有情况，由独立事件概率的乘法公式，求出事件概率； （2）分析出第次分裂后只有个细胞的情况，根据独立事件概率的乘法公式，求出结果； （3）根据分裂出细胞数和此情况的概率，求出一次分裂后细胞数的期望，根据离散型随机变量的期望的性质，和等比数列求和公式，证明不等式即可. 【小问1详解】 由，得，解得； 由 ，得，解得， 所以， 若第二次分裂出现3个细胞，有三种情况： 第一种情况：第一次1个细胞分裂成3个，第二次3个细胞各分裂成1个； 第二种情况：第一次1个细胞分裂成1个，第二次1个细胞各分裂成3个； 第三种情况：第一次1个细胞分裂为2个，第二次2个细胞中，有1个分裂成2个、有1个分裂成1个； 则； 【小问2详解】 第次分裂后只有个细胞，则这次分裂中，有1次由1个细胞分裂成2个细胞，有次由1个细胞分裂成1个细胞； 设第次由1个细胞分裂成2个细胞，后面的次都是由1个细胞分裂成1个细胞；则； 则； 同理可得，第次分裂后只有3个细胞，则次分裂后有1个或2个或3个细胞， ， 可知，， 所以； 化简得， 以此类推，， ， ， 累加得， 由，代入得， 当时，，符合条件， 所以； 【小问3详解】 记分裂次后细胞个数为，令， 设表示第次分裂后生成的第个新细胞，经过第次分裂后增加的细胞个数，即分裂产生1个细胞时，分裂产生2个细胞时，分裂产生3个细胞时，可得； 可知，得； 可知，； 得， 求得，得， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，即， 当时，， ， 累加可得， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三年级期初调研检测 数学试题 2025.09 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 若复数，则（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 随机变量的分布列为，则（　　） A. B. C. 2 D. 4. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A. 横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C. 横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 5. 设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则（　　） A. 230 B. 201 C. 157 D. 119 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（　　） A. B. 若为中点，则平面 C. 存在点使得平面平面 D. 存在点使得平面平面 10. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一、书中有如下问题：把100个面包分给5个人，每人分得面包数均为正整数且构成等差数列，则（　　） A. 五人中必有一人分得20个面包 B. 五人中若有一人分得16个面包，则必有一人分得24个面包 C. 若分得面包较多的三份之和是较少两份之和的3倍，则最少的一人分得10个面包 D. 某人最多分得36个面包 11. 已知函数，则（　　） A. 若，则为奇函数 B. 若，则恰有1个零点 C. 若，则方程在上有3038个解 D. 若，则为的极小值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中项的系数是___________． 13. 在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 14. 已知函数，若使得对，都有，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 下表是某公司从2020年至2024年某种产品盈利额的近似值（单位：万元） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 盈利额 50 56 64 72 83 （1）求关于的相关系数的值（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系（如果，则认为与的线性相关关系较强，否则认为线性相关关系较弱）； （2）求关于的线性回归方程，并预测2025年该种产品的盈利额． 附： ①相关系数； ②经验回归方程中的和的最小二乘估计公式为 ③． 16. 已知双曲线的离心率为为上一点． （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 17. 如图，四棱锥中，底面为矩形，为中点，为的交点，点在上，且．直线与平面所成的角分别为． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的最大值为4，所有零点之和小于16． （i）求的值； （ii）若非负实数满足，求的最大值． 19. 有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂1次，每次分裂生成1个细胞的概率为，生成2个细胞的概率为，生成3个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立，假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞，记分裂次后共有个细胞的概率为. （1）求； （2）求； （3）已知：若和均为离散型随机变量，则．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $