专题05 有理数的乘、除法 同步讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负，多个因数符号由负因数个数决定）、运算律，倒数概念，除法法则（转化为乘法）及混合运算。以“符号”与“转化”为学习支架，串联乘法定符号算绝对值、倒数乘积为1、除法化除为乘的递进脉络。 资料特色在于14种题型覆盖基础运算与实际应用（如奶茶质量计算），通过元代数学文献引入培养抽象能力，结合水位变化等实例提升应用意识。易错提醒强化运算能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

专题05 有理数的乘、除法 同步培优讲义 ✺知识框架 ●有理数的乘法 乘法法则：同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0 符号规律：几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定 —— 奇数个为负、偶数个为正 运算律：交换律、结合律、分配律在有理数范围内仍成立，可使计算简便 ●有理数的除法 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数 除法法则：同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0 除以非零数得 0 转化思想：除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数，乘除混合统一为乘法再计算 ✅本节以"符号"与"转化"为钥匙，串起三个层次：① 乘法——先定符号（同号得正、异号得负，多个因数由负因数的个数定号），再算绝对值；② 倒数——乘积1的两个数互为倒数，0没有倒数；③ 除法——"除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数"，化除为乘，乘除混合统一为乘法再计算。 ✺学习目标 1.理解有理数的乘法法则，能正确进行两个有理数的乘法运算。 2.掌握多个有理数相乘时积的符号确定方法（由负因数的个数决定），并能正确计算。 3.理解乘法交换律、结合律、分配律在有理数范围内仍然成立，能运用运算律简化乘法运算。 4.理解倒数的概念，会求一个有理数的倒数。 5.理解有理数的除法法则，会把除法转化为乘法进行计算。 6.会进行有理数的乘除混合运算，体会转化思想与分类讨论思想。 ✺题型归纳 题型1.两个有理数的乘法运算 题型2.多个有理数的乘法运算 题型3.有理数乘法的实际应用 题型4.倒数 题型5.有理数乘法运算律 题型6.有理数的除法运算 题型7.有理数除法的应用 题型8.有理数乘除混合运算 题型9.有理数乘除中的简便运算 题型10.有理数四则混合运算 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 题型12.根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型13.数轴上的翻折 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、有理数的乘法法则 1.同号得正，异号得负：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 同0相乘：任何数与0相乘，都得 0。 特殊因数：一个数与 1 相乘等于它本身，与 −1 相乘等于它的相反数。 计算要点：先确定积的符号，再计算积的绝对值。 例：(−5)×(−3)＝+15；(−5)×(+3)＝−15；(+5)×(−3)＝−15；(−5)×0＝0。 2.多个有理数相乘的符号规律 几个不等于 0 的数相乘：积的符号由负因数的个数决定 —— 负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；积的绝对值等于各因数绝对值的乘积。 几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为 0。 例：(−2)×(−3)×(−4)＝−24（负因数 3 个，积为负）；(−2)×(−3)×4＝+24（负因数 2 个，积为正）。 3.有理数的乘法运算律 交换律：ab＝ba；结合律：(ab)c＝a (bc)；分配律：a (b+c)＝ab+ac。 运算律在有理数范围内仍成立， 常用技巧：先算能凑成整十、整百的组合，或运用分配律拆开相乘。 例：(−25)×(−4)×7＝100×7＝700；12×(−)＝12×−12×＝6−4＝2。 4.倒数 定义：乘积等于1的两个数互为倒数。 求法：a（a≠0）的倒数是，求分数的倒数即把分子、分母互换位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 0没有倒数；倒数等于它本身的数是1和−1。 例:﹣的倒数是﹣；−3的倒数是﹣；0没有倒数。 知识点二、有理数的除法法则与乘除混合运算 法则一（转化）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b＝a×（b≠0）。 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 计算要点：先定符号，再定绝对值；能整除时直接相除，不能整除时转化为乘法后约分。 乘除混合运算：按从左到右的顺序计算，可先统一为乘法，再按乘法法则确定符号、计算绝对值。 补充：a÷1＝a，a÷(−1)＝−a，a÷a＝1（a≠0）。 例：(−18)÷(−3)＝+6；(−18)÷3＝−6；(﹣)÷(﹣)＝(−)×(−)＝2。 【易错提醒】 1.多个数相乘要先定符号、再算绝对值，负因数的个数要数准（0 除外）。 2.0不能作除数；0没有倒数；0乘任何数都得 0，0除以任何非零数都得 0。 3.相反数与倒数勿混淆：符号相反的是相反数，乘积为1的是倒数。如−2的相反数是 2，−2的倒数是 −。 3.除法没有交换律、结合律，须先把除法统一为乘法，再运用乘法运算律简化计算。 4.除法转化时 "被除数不变、除号变乘号、除数变倒数" 三处要同步完成，尤其是除以分数时不要漏掉变倒数这一步。 ✺题型精讲 题型1.两个有理数的乘法运算 1．元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．两个连续奇数的积是323，这两个数分别是______和______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2.多个有理数的乘法运算 1．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．腾讯公司将等级用四个图标展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级图标为2个皇冠，则其等级为__________级． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3.有理数乘法的实际应用 1．内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 2．从一张长2109毫米，宽627毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是_______毫米． 3．有一小筐苹果，甲取出一半零1个，乙取出余下的一半零1个，丙取出最后剩下的一半零1个，这时小筐里只剩下1个苹果，这小筐苹果共值6元6角，问：平均每个苹果多少钱？ 题型4.倒数 1．的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 2．的倒数是___________． 3．写出下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5.有理数乘法运算律 1．（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． 题型6.有理数的除法运算 1．若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)． 题型7.有理数除法的应用 1．小亮看了一本书的 ，正好看了35页，这本书有（　　）页． A．63 B．175 C．315 D．238 2．一根木头，锯成5段要付费2.2元，如果要锯成10段应付费( )元． 3．下表记录的是黑河本周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米，（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）   星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） (1)本周最高水位是______米，最低水位是______米； (2)与上周末相比，本周末河流的水位是______； （填“上升了”或“下降了） (3)由于下周将有大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到米时，就要开闸泄洪，请你计算一下，再经过多少个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 题型8.有理数乘除混合运算 1．（    ） A． B． C． D． 2．周末小明和爸爸去体育馆练习骑自行车，体育馆有一个如图所示的长为200m的环形跑道，跑道上有A，B，C，D四个起始点，把跑道分成长度相等的四段，小明和爸爸分别从两个起始点同时出发，沿箭头方向相向而行，平均速度分别为，．当他们第35次相遇时，相遇的位置离最近的起始点的跑道长度为___________m． 3．计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 题型9.有理数乘除中的简便运算 1．的值为________． 2．用适当方法计算 (1) (2) 3．简便计算： (1)； (2)． 题型10.有理数四则混合运算 1．甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 2．对于任意两个数、，规定，则________． 3．计算：． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 1．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 2．有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 3．学校篮球队要买50个篮球，张老师去了甲、乙、丙三家专卖店，单价都是75元，但促销方式各不相同．甲专卖店：买十送二；乙专卖店：打八折；丙专卖店：每满100元返现金20元．如果只在一家专卖店买，张老师选择哪家专卖店买最省钱？ 题型12.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．已知，，三个数在数轴上，对应点的位置如图所示，下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 3．有理数、、在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0； (2)比较的大小． 题型13.数轴上的翻折 1．如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 2．在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 3．数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前4章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴． (1)小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点C为折点对折，使点A和点B重合．已知点A，B表示的数分别为a，b．若a，b满足，则折点C表示的数为_______； (2)小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在A，B两点各添加一块挡板，在C点添加一块减速板，动点M在A，B之间来回运动，遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．点M从A点出发，以5个单位长度每秒的速度向B点运动，设运动的时间为t秒．当点M对应的数是2时，求t的值； (3)小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字k的整数，制作了一个“缺数字k的数轴”：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数字k．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33… ①在某“缺数字k的数轴”上表示100的点到原点的距离为_______； ②已知正整数m，n满足，且某“缺数字k的数轴”上有分别表示和的两个点，则这两点之间的距离为_______．（用含m，n的代数式表示） ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．9不是有理数 B．的倒数是5 C．0的相反数与绝对值都是它本身 D．，则 2．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 3．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 5．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．有理数在数轴上的位置如图所示，则___________．（填“”“”或“”） 7．天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 8．______． 9．如图，A，B，C 是数轴上的三点，且A，B 两点之间的距离为8，以 C 为折点，将此数轴向右对折，此时点A和点B 恰好重合．若点C 表示的数为，则点A 表示的数与点B 表示的数的和为_________ 三、解答题 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 12．某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 13．已知a，b，c三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：_______0；_______0；_______0；（填“”“”或“”） (2)已知，表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数，求的值． 14．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的乘、除法 同步培优讲义 ✺知识框架 ●有理数的乘法 乘法法则：同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0 符号规律：几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定 —— 奇数个为负、偶数个为正 运算律：交换律、结合律、分配律在有理数范围内仍成立，可使计算简便 ●有理数的除法 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数 除法法则：同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0 除以非零数得 0 转化思想：除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数，乘除混合统一为乘法再计算 ✅本节以"符号"与"转化"为钥匙，串起三个层次：① 乘法——先定符号（同号得正、异号得负，多个因数由负因数的个数定号），再算绝对值；② 倒数——乘积1的两个数互为倒数，0没有倒数；③ 除法——"除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数"，化除为乘，乘除混合统一为乘法再计算。 ✺学习目标 1.理解有理数的乘法法则，能正确进行两个有理数的乘法运算。 2.掌握多个有理数相乘时积的符号确定方法（由负因数的个数决定），并能正确计算。 3.理解乘法交换律、结合律、分配律在有理数范围内仍然成立，能运用运算律简化乘法运算。 4.理解倒数的概念，会求一个有理数的倒数。 5.理解有理数的除法法则，会把除法转化为乘法进行计算。 6.会进行有理数的乘除混合运算，体会转化思想与分类讨论思想。 ✺题型归纳 题型1.两个有理数的乘法运算 题型2.多个有理数的乘法运算 题型3.有理数乘法的实际应用 题型4.倒数 题型5.有理数乘法运算律 题型6.有理数的除法运算 题型7.有理数除法的应用 题型8.有理数乘除混合运算 题型9.有理数乘除中的简便运算 题型10.有理数四则混合运算 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 题型12.根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型13.数轴上的翻折 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、有理数的乘法法则 1.同号得正，异号得负：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 同0相乘：任何数与0相乘，都得 0。 特殊因数：一个数与 1 相乘等于它本身，与 −1 相乘等于它的相反数。 计算要点：先确定积的符号，再计算积的绝对值。 例：(−5)×(−3)＝+15；(−5)×(+3)＝−15；(+5)×(−3)＝−15；(−5)×0＝0。 2.多个有理数相乘的符号规律 几个不等于 0 的数相乘：积的符号由负因数的个数决定 —— 负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；积的绝对值等于各因数绝对值的乘积。 几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为 0。 例：(−2)×(−3)×(−4)＝−24（负因数 3 个，积为负）；(−2)×(−3)×4＝+24（负因数 2 个，积为正）。 3.有理数的乘法运算律 交换律：ab＝ba；结合律：(ab)c＝a (bc)；分配律：a (b+c)＝ab+ac。 运算律在有理数范围内仍成立， 常用技巧：先算能凑成整十、整百的组合，或运用分配律拆开相乘。 例：(−25)×(−4)×7＝100×7＝700；12×(−)＝12×−12×＝6−4＝2。 4.倒数 定义：乘积等于1的两个数互为倒数。 求法：a（a≠0）的倒数是，求分数的倒数即把分子、分母互换位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 0没有倒数；倒数等于它本身的数是1和−1。 例:﹣的倒数是﹣；−3的倒数是﹣；0没有倒数。 知识点二、有理数的除法法则与乘除混合运算 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b＝a×（b≠0）。 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 计算要点：先定符号，再定绝对值；能整除时直接相除，不能整除时转化为乘法后约分。 乘除混合运算：按从左到右的顺序计算，可先统一为乘法，再按乘法法则确定符号、计算绝对值。 补充：a÷1＝a，a÷(−1)＝−a，a÷a＝1（a≠0）。 例：(−18)÷(−3)＝+6；(−18)÷3＝−6；(﹣)÷(﹣)＝(−)×(−)＝2。 【易错提醒】 1.多个数相乘要先定符号、再算绝对值，负因数的个数要数准（0 除外）。 2.0不能作除数；0没有倒数；0乘任何数都得 0，0除以任何非零数都得 0。 3.相反数与倒数勿混淆：符号相反的是相反数，乘积为1的是倒数。如−2的相反数是 2，−2的倒数是 −。 3.除法没有交换律、结合律，须先把除法统一为乘法，再运用乘法运算律简化计算。 4.除法转化时 "被除数不变、除号变乘号、除数变倒数" 三处要同步完成，尤其是除以分数时不要漏掉变倒数这一步。 ✺题型精讲 题型1.两个有理数的乘法运算 1．元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干给出的“同号相乘为正，异号相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求． 故选：D． 2．两个连续奇数的积是323，这两个数分别是______和______． 【答案】 17或 或 【分析】分类讨论：①当这两个连续奇数为正数时，先确定两个连续奇数在到之间，再根据乘积为求解即可；②当这两个连续奇数为负数时，先确定两个连续奇数在到之间，再根据乘积为求解即可． 【详解】解：①当这两个连续奇数为正数时， ， 两个连续奇数在到之间， 则两个连续奇数可以是或或或， ， 两个连续奇数是． ②当这两个连续奇数为负数时， ， 两个连续奇数在到之间， 则两个连续奇数可以是或或或， ， 两个连续奇数是． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型2.多个有理数的乘法运算 1．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 2．腾讯公司将等级用四个图标展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级图标为2个皇冠，则其等级为__________级． 【答案】128 【分析】本题考查了乘法的意义． 根据等级的“满四进一”制，一个皇冠相当于级，因此两个皇冠的等级为级． 【详解】解：由题意，一个皇冠等于4个太阳，一个太阳等于4个月亮，一个月亮等于4个星星，一个星星为1级， 因此一个皇冠的等级为级， 故两个皇冠的等级为级． 故答案为：128． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型3.有理数乘法的实际应用 1．内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】结合砖茶汤占比条件先排除牛奶质量过大的选项，再计算牛奶占比时的基准质量，匹配最接近的选项． 【详解】解：砖茶汤占整锅奶茶质量左右，总质量为千克，则砖茶汤质量约千克． 牛奶占比左右，小于砖茶占比，故牛奶质量小于千克，排除A、B选项．（千克），剩余选项中千克更接近千克，C符合要求． 2．从一张长2109毫米，宽627毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是_______毫米． 【答案】57 【详解】解：依据题意可知，， ， ， ． 故最后剪得的正方形的边长是57毫米． 3．有一小筐苹果，甲取出一半零1个，乙取出余下的一半零1个，丙取出最后剩下的一半零1个，这时小筐里只剩下1个苹果，这小筐苹果共值6元6角，问：平均每个苹果多少钱？ 【答案】每个苹果是3角钱． 【分析】最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是（个），4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以甲取出后余下的就是（个），10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以全筐苹果的总数是（个），据此计算即可． 【详解】解：如图： 从上面的线段图可以看出， 最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半， 即2个是再余下的一半， 因此，再余下的就是（个）， 4个再加上乙取出的1个就是余下的一半， 所以甲取出后余下的就是（个）， 10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半， 所以全筐苹果的总数是（个）， （角）． 答：每个苹果是3角钱． 题型4.倒数 1．的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 2．的倒数是___________． 【答案】 【详解】解：将化为分数，得， ∵互为倒数的两个数乘积为， ∴的倒数为． 3．写出下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：的倒数是； （2）解：∵， ∴的倒数是4； （3）解：∵， ∴的倒数是； （4）解：∵， ∴的倒数是． 题型5.有理数乘法运算律 1．（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将101拆分为后，利用乘法分配律展开即可得到结果． 【详解】解：． 2．计算：________． 【答案】 9999900000 【分析】观察算式，将变形为，构造相同因数，再利用乘法结合律和乘法分配律进行简便计算． 【详解】 ． 3．请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． 【答案】 乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律 【分析】根据每一步运算的变形形式，对应有理数乘法的运算律判断填空即可. 【详解】略 题型6.有理数的除法运算 1．若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵被除数为负数，运算结果为负数， ∴内的数应为正数，且不为0， 观察选项，只有B选项的符合要求． 2．计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型7.有理数除法的应用 1．小亮看了一本书的 ，正好看了35页，这本书有（　　）页． A．63 B．175 C．315 D．238 【答案】A 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，已知单位“1”的几分之几对应的具体数量，求单位“1”用除法计算． 【详解】解：∵ 这本书总页数的对应数量是35页， ∴ 总页数为 （页）． 因此这本书总页数为63页． 2．一根木头，锯成5段要付费2.2元，如果要锯成10段应付费( )元． 【答案】 【分析】锯木头问题中，锯的次数等于段数减1，先计算锯1次需要的费用，再计算锯成10段的总费用． 【详解】解：锯成5段需要锯的次数为． 锯1次需要付费（元）． 锯成10段需要锯的次数为． 总付费为（元）． 3．下表记录的是黑河本周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米，（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）   星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） (1)本周最高水位是______米，最低水位是______米； (2)与上周末相比，本周末河流的水位是______； （填“上升了”或“下降了） (3)由于下周将有大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到米时，就要开闸泄洪，请你计算一下，再经过多少个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 【答案】(1)； (2)上升了 (3)再经过个小时工作人员就需要开闸泄洪 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出每一天的水位，进行判断即可； （2）由（1）进行判断即可； （3）用泄洪水位减去现在的水位，再除以每小时的上升速度，进行计算即可． 【详解】（1）解：周一：， 周二：， 周三：， 周四：， 周五：， 周六：， 周日：， 周五水位最高是，周一水位最低是． 故答案为：；； （2）， 和上周末相比水位上升了， 故答案为：上升了； （3）（小时）， 答：再经过个小时工作人员就需要开闸泄洪． 题型8.有理数乘除混合运算 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将除法转化为乘法后按从左到右的顺序计算即可． 【详解】解： ． 2．周末小明和爸爸去体育馆练习骑自行车，体育馆有一个如图所示的长为200m的环形跑道，跑道上有A，B，C，D四个起始点，把跑道分成长度相等的四段，小明和爸爸分别从两个起始点同时出发，沿箭头方向相向而行，平均速度分别为，．当他们第35次相遇时，相遇的位置离最近的起始点的跑道长度为___________m． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．先计算得到小明和爸爸均骑行了，再计算求得小明骑行了圈还多，相当于小明从开始逆时针骑行了，即在处，据此结合图形即可求解． 【详解】解：第一次相遇时，两人的路程和为， 以后每一次相遇时，两人的路程和为， ∴他们第35次相遇时，路程和为， 相遇时间为，即小明和爸爸均骑行了， ∴小明从开始逆时针骑行了， 圈…，即小明骑行了圈还多， 相当于小明从开始逆时针骑行了，即在处， ∵段段， ∴段，段， ∵， ∴相遇的位置离最近的起始点的跑道长度为， 故答案为：． 3．计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 【答案】 解：不正确. 错误之处：乘除为同级运算，应从左到右依次计算，原解法错误地先计算后两个数的乘法，违背了同级运算的顺序． 正确解答： ． 【详解】略 题型9.有理数乘除中的简便运算 1．的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 2．用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆分为两部分求和，分别计算后作差得结果； （2）先化简找出规律，再用裂项相消法抵消中间项，计算剩余项得结果． 【详解】（1）解： ∵，，，，共项，和为， ，，，，共项，和为， ∴原式； （2）解：对于第项，， ∴分母乘积为， ∴第项为， ∴ ． 3．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 题型10.有理数四则混合运算 1．甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把甲数代入“乙数甲数”中，得： 乙数 乙数 乙数 乙数 乙数． 2．对于任意两个数、，规定，则________． 【答案】 【分析】根据题中已知运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算小括号，再算中括号，中括号内先算乘法，再算减法． 【详解】 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 1．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 2．有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 【答案】 【分析】正方形赛道周长 4000米，则边长为 1000 米．甲从 B 出发，乙从 A出发，顺时针行驶，初始甲在乙前方 1000米．甲速度 100 米/秒，乙速度 88 米/秒，甲比乙快，当甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米时，相当于乙在甲前方 0到 1000米之间，此时若甲刚进入某条边且乙未离开该边，则两车在同一条边上．甲到达顶点的时间为 10 的倍数，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形的周长为4000米， ∴正方形的边长为米， ∵甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米，且， ∴要使时间最少，则甲刚到某个顶点时，此时乙在该顶点所在的边上，且此时甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米， ∵，， ∴需要的时间满足大于秒，且小于秒， ∵甲每秒钟行驶100米，且， ∴甲每过10秒就从一个顶点运动到另一个顶点， ∴运动的时间一定要是10的倍数， ∴至少经过170秒钟后，两辆车在同一条边上行驶． 3．学校篮球队要买50个篮球，张老师去了甲、乙、丙三家专卖店，单价都是75元，但促销方式各不相同．甲专卖店：买十送二；乙专卖店：打八折；丙专卖店：每满100元返现金20元．如果只在一家专卖店买，张老师选择哪家专卖店买最省钱？ 【答案】张老师选择乙专卖店买最省钱 【分析】分别计算三家专卖店购买50个篮球的总花费，比较花费大小即可确定最省钱的方案． 【详解】解：甲专卖店：付10个的钱可获得：（个）篮球， ， ∴需付费购买的篮球数量为：（个）， 总花费为：（元）， 乙专卖店：总花费为（元）， 丙专卖店：50个篮球总原价为（元）， ， ∴可返现金额为（元）， 实际花费为（元）， ∵， ∴乙专卖店花费最少， 答：张老师选择乙专卖店买最省钱． 题型12.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．已知，，三个数在数轴上，对应点的位置如图所示，下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用在数轴上的位置，确定符号和绝对值，进而对各个选项做出判断． 【详解】解：由题意得，，，且，， 、，故本选项正确，不符合题意； 、，故本选项错误，符合题意； 、，故本选项正确，不符合题意； 、，故本选项正确，不符合题意． 2．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 3．有理数、、在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0； (2)比较的大小． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，熟练掌握数轴上的数右边的比左边的大是解题的关键： （1）根据点的位置，判断数的大小关系，进而判断式子的符号即可； （2）根据点的位置，判断大小即可． 【详解】（1）解：由图可知：，， ∴，，； （2）∵，， ∴； 故． 题型13.数轴上的翻折 1．如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 2．在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，折叠的性质，先求出折叠前，再结合折叠后得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可得，折叠前， ∵折叠后， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 3．数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前4章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴． (1)小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点C为折点对折，使点A和点B重合．已知点A，B表示的数分别为a，b．若a，b满足，则折点C表示的数为_______； (2)小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在A，B两点各添加一块挡板，在C点添加一块减速板，动点M在A，B之间来回运动，遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．点M从A点出发，以5个单位长度每秒的速度向B点运动，设运动的时间为t秒．当点M对应的数是2时，求t的值； (3)小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字k的整数，制作了一个“缺数字k的数轴”：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数字k．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33… ①在某“缺数字k的数轴”上表示100的点到原点的距离为_______； ②已知正整数m，n满足，且某“缺数字k的数轴”上有分别表示和的两个点，则这两点之间的距离为_______．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)5 (2)2.4或16或40 (3)①81 ②． 【分析】本题考查了数轴的折叠与中点公式，动点在数轴上的运动问题，用数轴表示有理数，非负性的性质，以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意并由数轴表示有理数． （1）根据非负性的性质可求解a与b的值，即可求解点A，B表示的数，再由数轴的中点公式求解即可； （2）分当点M从点A向点C运动时，从点C向点A运动时，以及再次从点A向点C运动三种情况分别讨论，由此可求解； （3）①根据0到100的数轴上的数，某“缺数字k的数轴”上共少个长度，由此可求解； ②分别求出10到100，100到1000，1000到10的距离，得出规律即可． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴，， 解得，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为20， ∵数轴以点C为折点对折，使点A和点B重合， ∴折点C表示的数为； 故答案为：5； （2）解：由（1）知，点A表示的数为，点B表示的数为20，点C表示的数为5， 第一次到点C时，此时用时秒， ∵点M对应的数是2， 当点M从点A向点C运动过程中，运动到点M对应的数时，此时未经过减速板， ∴，解得秒； 当点M从点C向点B运动时，此时第一次经过减速板，速度为3个单位长度每秒， 此时用时秒， 当点M从点B向点C运动时，依然用时5秒，共用时秒， 当点M从点C向点A运动过程中，再次运动到点M对应的数时，此时第二次经过减速板，速度为1个单位长度每秒， 此时用时秒，共用时秒，即秒； 当点M继续向点A运动时，用时秒， 当点M再次从点A向点M对应的数运动时，依然用时12秒，共用时秒； 综上，t的值为2.4或16或40； （3）解：①某“缺数字k的数轴”上表示100的点到原点的距离为； 故答案为：81； ②正常数轴原来距离为10的，现在距离为9， 原来距离为100的， 现在距离为， 原来距离为1000的， 现在距离为， 10到100距离为：， 100到1000距离为：， 1000到10距离为：， 和相比，缺的数不含2，故不缺数； 和相比，缺的数含两个数：2和12，故实际距离为， 当m，n为正整数， 时，和的两个点之间的距离： 故答案为：． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．9不是有理数 B．的倒数是5 C．0的相反数与绝对值都是它本身 D．，则 【答案】C 【详解】解：A、9是整数，属于有理数，故本选项说法错误； B、的倒数是，故本选项说法错误； C、0的相反数与绝对值都是0，即都是它本身，故本选项说法正确； D、若，则，故本选项说法错误． 2．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 3．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 4．地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算山顶与山脚的海拔差，再根据气温垂直递减规律计算山顶相对山脚的气温下降量，最后根据山顶气温求出山脚气温即可． 【详解】解：∵山脚海拔为，山顶海拔为 ∴山顶与山脚的海拔差为 根据题意，海拔每升高气温下降 ∴山顶相对山脚的气温下降量为 ∵山顶海拔高于山脚，气温比山脚低，且山顶气温为 ∴山脚气温为 ． 5．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 二、填空题 6．有理数在数轴上的位置如图所示，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由数轴可知，，，即可判断． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴． 7．天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 【答案】丙午 【分析】先根据年份尾数确定天干，再计算年份除以12的余数确定地支，最后组合得到干支纪年结果. 【详解】解：确定天干：2026年的尾数为，由天干对应序数表可知，序数对应的天干为“丙”； 确定地支：计算，可得，即余数为，由地支对应序数表可知，序数对应的地支为“午”； 将天干与地支组合，可得2026年为丙午年. 8．______． 【答案】 【分析】令，，则，将所求式子进行变形，计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则， ∴ ． 9．如图，A，B，C 是数轴上的三点，且A，B 两点之间的距离为8，以 C 为折点，将此数轴向右对折，此时点A和点B 恰好重合．若点C 表示的数为，则点A 表示的数与点B 表示的数的和为_________ 【答案】 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是理解数轴上点的含义；根据数轴上点表示的数，及为的中点，且，求出点表示的数，再求出点表示的数，然后求和即可． 【详解】解：由题意可知，为的中点，， 若点表示的数为，则点表示的数为，点B表示的数为， 则点表示的数与点表示的数之和为； 故答案为：； 三、解答题 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用乘法交换律调整计算顺序，简化运算即可； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算即可； （3）利用乘法分配律展开计算，注意符号变化； （4）利用乘法交换律调整计算顺序，约分后计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 11．怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算括号里的乘法和减法，再计算括号外的除法； （2）能凑整的先运算，然后再进行加减计算即可； （3）用乘法分配律的逆运算简便计算； （4）先将除法转化为乘法，再用乘法分配律进行简便计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 【答案】这批苹果一共有500千克 【分析】先计算出这些苹果的原利润及降价后的利润，进而可得总售价、成本价，然后计算重量即可． 【详解】解：原来需要这些苹果获利（元）， 降价后需要这些苹果获利（元）， 价格降低，少获利（元）， 则这些苹果总售价为（元）， 成本为（元）， 这批苹果一共有（千克）， 答：这批苹果一共有500千克． 13．已知a，b，c三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：_______0；_______0；_______0；（填“”“”或“”） (2)已知，表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴及数轴上点的特征，绝对值的意义，相反数和倒数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置关系及有理数的加减运算判定即可； （2）根据绝对值的意义，相反数和倒数的定义得到，，，代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可得，，所以，，． 故填：，，． （2）解：因为表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数， 所以，，， 所以． 14．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】(1)2，3 (2)①1.5；②0.75或2或3.5． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）根据两点之间的距离公式解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． （2）①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $