专题2.2 有理数的乘法和除法（10大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘法和除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负及多个数相乘符号规则）、运算律（交换律、结合律、分配律）、乘积符号确定方法，进而衔接除法法则（除以一个数等于乘其倒数），构建完整知识支架。 资料亮点在于“即学即练+典例变式”分层设计，通过阶梯水价计算等实际应用题培养模型意识，新定义题型提升抽象能力，数轴相关题目发展几何直观。课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

专题2.2 有理数的乘法和除法 教学目标 1. 理解有理数乘法法则，能熟练运用法则进行有理数乘法运算。 2. 探索并掌握有理数乘法运算律，如交换律、结合律和分配律 ，并能利用运算律简化运算。 3. 经历有理数乘法法则及运算律的探索过程，提升观察、归纳、猜想、验证等思维能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘法法则的理解与运用，准确确定积的符号与绝对值。 （2）掌握有理数乘法的运算律，能正确运用运算律进行简便运算。 2.难点 （1）理解有理数乘法中负数参与运算时积的符号确定，以及多个有理数相乘时积的符号判断。 （2）根据具体算式特点，灵活选择合适的乘法运算律进行简便计算 。 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【即学即练】1．计算的结果等于（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：. 2．计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 3．计算： 【答案】 【详解】 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 【即学即练】4．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 5．计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【答案】乘法交换律和结合律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键． 通过改变乘数的顺序和分组，使计算简便，依据是乘法的交换律和结合律． 【详解】解：原式计算中，将式子变形为先计算与的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便． 故答案为：乘法交换律和结合律． 6．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【即学即练】7．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 8．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 9．下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【即学即练】10．计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：． 11．计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 12．计算： ． 【答案】 【分析】先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型01 有理数的乘法运算 【典例1】（2026·四川德阳·一模）计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）若，，且，则_________ ． 【答案】7或 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴时；时， 则或． 题型02 有理数乘法的实际应用 【典例1】（25-26七年级上·四川广元·开学考试）六年级8个班进行篮球比赛，每两队之间都要赛一场，一共要赛（   ）场． A．28 B．30 C．64 D．32 【答案】A 【分析】本题属于单循环比赛场次计算问题，核心是避免重复计算场次，可通过先算所有队的比赛场次总和，再除以2得到实际场次（因每场比赛被两个队各算一次）． 【详解】解：∵六年级有8个班，每个班需和其余7个班各赛1场， ∴8个班初步计算的比赛场次为场， 又∵每场比赛会被参与的两个班各统计1次，存在重复计算， ∴实际比赛场次为场． 【变式1】（25-26七年级上·云南昆明·期末）居民生活用水通常按户计费．某城市居民生活用水的收费标准实行年度阶梯水价，计费标准如下表： 收费方式 年用水量 费用（元） 第一阶梯 第二阶梯 6 第三阶梯 240以上 8 若某用户居民当年用水量为，则该用户居民需缴纳水费（　　） A．1580元 B．1420元 C．1330元 D．1250元 【答案】C 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量260立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量260立方米＞240立方米，∴需分段计算： 第一阶梯水费：（元）， 第二阶梯水费：（元）， 第三阶梯水费：（元）， ∴总水费：（元）． 故选：C． 【变式2】（25-26六年级下·上海黄浦·期中）一件商品原价元，打九折后的价格为__________元． 【答案】 【详解】解：商品打九折指售价为原价的，根据题意列式计算得：． 【变式3】（25-26七年级上·河南·期末）联欢会有，，，四个节目需要彩排，所有演员到场后开始．一个节目完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下：已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按_____的先后顺序彩排． 节目 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 【答案】 【分析】本题考查了统筹优化问题，有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． 先确定在的前面，在前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：由题意得节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ②按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ③按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ④按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ⑤按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ⑥按照顺序，则候场时间为：（分钟）． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 题型03 有理数乘法运算律 【典例1】（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 【变式1】（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 【变式2】（25-26七年级上·广西南宁·期中）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了利用乘法分配律进行计算，熟练掌握有理数运算的运算法则及运算律是解题的关键． 根据乘法分配律，将分别与括号内的各项相乘，再求和即可． 【详解】解：原式   ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【乘法分配律】计算： ____________． 【答案】1 【分析】本题考查有理数乘法运算律，利用乘法分配律进行简便计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：1． 题型04 倒数 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 【变式1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列有理数中，没有倒数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵乘以任何数都等于，不可能等于， ∴不存在倒数． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）的倒数是______，______，的相反数是______． 【答案】 / 【分析】本题考查倒数、绝对值、相反数的定义，根据对应概念计算即可． 【详解】根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，可得 的倒数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得 ； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得 的相反数是． 【变式3】（25-26七年级上·江西萍乡·期末）若互为相反数，互为倒数，则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查倒数、相反数，代数式求值．根据相反数和倒数的性质，互为相反数，则；互为倒数，则，代入表达式计算即可． 【详解】解：互为相反数，互为倒数， ，， 故答案为：1． 题型05 有理数的除法运算 【典例1】（2026·天津东丽·二模）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果. 【详解】解：． 【变式1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知、、是有理数，且，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法，有理数加法和绝对值，学生必须熟练掌握才能正确解答． 根据，可得a，b，c三个数一定是两正一负，然后再进行化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 【变式3】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先把除法化为乘法，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 题型06 有理数的乘除混合运算 【典例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则，先算括号内运算，再从左到右依次计算乘除运算即可解答． 【详解】解：， 故选：． 【变式2】（上海市浦东新区部分学校2025-2026学年六年级上学期1月期末数学试题）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算：． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，再进行计算即可． 【详解】解：． 题型07 有理数乘除中的简便运算 【典例1】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 【变式1】（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 【变式3】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型08 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】（2026·江苏镇江·一模）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）甲、乙两地相距800千米，一辆汽车计划8小时由甲地到达乙地．汽车开出1小时后，由于情况紧急，速度提高，那么还要______小时才能到达． 【答案】 【分析】先求出原计划行驶速度，再求出行驶1小时后剩余的路程，接着计算提速后的速度，最后求出剩余路程所需的时间． 【详解】解：由题意得，原计划速度为（千米/时）， 汽车开出1小时后，剩余路程为 （千米）， 速度提高后，新速度为（千米/时）， 因此剩余路程所需时间为（小时）． 【变式2】（2026·北京西城·三模）社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 【答案】 0 284 【分析】（1）先算出商品总价值，目标是让两箱价值尽可能接近总价值的一半，同时满足单箱重量不超过，验证存在两箱价值相等的合规分装方案，即可得最小差值为； （2）属于限定件数的最值问题，优先选择单件价值高的商品，按价值从高到低枚举高价值商品的数量，结合重量不超过搭配剩余件数，对比计算即可得出最高总价值． 【详解】解：（1）所有商品的总重量为， 总价值为元， 要让两个纸箱的商品总价值之差最小，需尽量让两箱价值接近总价值的一半元，同时每箱重量不超过， 存在可行分装方案：第一箱装件洗衣液、件洗洁精和件香皂， 重量为， 价值为元； 第二箱装件洗衣液、件卷纸和件香皂， 重量为， 价值为元； 两箱价值相等，差值最小为元； （2）要求整箱总件数恰好件且不超重，求总价值最高值，优先选择单件价值更高的商品，按洗衣液、洗洁精、卷纸、香皂的价值从高到低枚举验证， 当选择件洗衣液时重量为，剩余件总重量需不超过，选择件洗洁精和件卷纸，总重量为，刚好符合不超过， 此时总价值为元； 若选择件洗衣液重量为，剩余件最高价值组合为件洗洁精加件香皂，总价值为元，低于元， 其余数量组合的总价值均更低，因此这箱商品总价值最高为元． 【变式3】（25-26六年级上·上海·开学考试）国家邮政局关于信函邮资的收费标准如下： 业务种类 计费单位 资费标准/元 本埠资费 外埠资费 信函 首重内，每重 （不足按计算） 续重，每重 （不足按计算） (1)一封信重，寄往本地，需付邮资多少元？ (2)一封的信函，寄往外地，需付邮资多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据“每重”计算价格即可； （2）先计算不超过的价格，再计算超过的价格，相加即可． 【详解】（1）解：∵， ∵不足按计算， ∴需按个计算， ∴元 答：需付邮资元； （2）解：首重内：， 需付费元， 续重：，， ∵不足按计算， ∴需付费元， ∴共需付费元， 答：需付邮资元． 题型09 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例1】（2026·福建·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 【变式1】（2026·北京东城·二模）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断的符号及绝对值的大小． 【详解】解：由数轴可知， ， ，故选项A错误，不符合题意； ， ，故选项B错误，不符合题意； 由数轴观察可知，b到原点的距离大于c到原点的距离，即， 故选项D正确，符合题意； ，且， ∴， ∴，故选项C错误，不符合题意． 【变式2】（2026·陕西西安·三模）如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据、、的大小关系，以及中点的位置情况，对各结论依次进行判断即可． 【详解】解：若， 则， 又∵点在中点右边， ∴， 故，结论①正确； 若， 则、异号， ∵， ∴， ∴， 即，故结论②正确； 若， 即到原点的距离大于到原点距离， 则原点可能在右侧，也可能在点到中点之间，故结论③错误； ∵， ∴，， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 题型10 有理数乘除中的新定义型问题 【典例1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 【详解】解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）若定义新运算：，如，请利用此定义计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新运算．解决本题的关键是根据新运算规定的运算法则把新运算转化为一般的有理数运算，然后根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·青海果洛·期末）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义．熟练掌握定义的新运算，倒数定义，有理数的除法运算法则是解题的关键．乘积是1的两个数互为倒数 把1化成，根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 【答案】(1)11 (2)7 (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）根据，由构造出4，由6构造出5，写出定义的新运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：要使得数字和6在你定义的新运算下运算的结果为20， 我定义的新运算为：， ∴，符合题意． 37． 一、单选题 1．（2026·吉林松原·模拟预测）的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数. ∵， ∴的倒数是． 2．（25-26七年级下·河南安阳·开学考试）已知某快递公司的收费标准为寄一件物品不超过5千克，收费12元；超过5千克的部分每千克加收2元，小张在该快递公司寄一件7千克的物品，需要付费（　　） A．19元 B．18元 C．17元 D．16元 【答案】D 【分析】根据总费用等于基础费用加上超出部分的加收费用列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，7千克的物品中，前5千克收费12元，超出5千克的部分重量为 （千克），超出部分每千克加收2元. ∵总费用等于基础费用加上超出部分的加收费用， ∴总费用为（元）. ∴需要付费16元． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【答案】B 【分析】本题根据绝对值、相反数、倒数的基本概念，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：对于A，的绝对值是，不是正数，故A错误，不符合题意； 对于B，若一个数的相反数等于它本身，满足，解得，相反数等于本身的数只有，故B正确，符合题意； 对于C，倒数等于本身的数有和，故C错误，不符合题意； 对于D，负数的绝对值是它的相反数，为正数，正数大于负数，因此负数的绝对值大于它本身，故D错误，不符合题意． 4．（2026·贵州遵义·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数轴的特征，正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，，， A.∵，故选项正确，不符合题意； B.∵， ∴，故选项正确，不符合题意； C.∵，∴，故选项错误，符合题意； D.∵，，，∴，，则，故选项正确，不符合题意． 5．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 二、填空题 6．（2026·江西·中考真题）有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 7．（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级下·重庆·自主招生）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 【答案】38 【详解】解：根据新运算的定义，， ． 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论： ；；；，其中正确的是______．（填序号） 【答案】 【分析】先根据、在数轴上的位置确定出、的符号，以及、的大小，再进行解答即可． 【详解】解：由数轴可知，，则，原结论错误，不符合题意； 由数轴可知，则，原结论错误，不符合题意； 由数轴可知，则，原结论正确，符合题意； 由数轴可知，则，原结论正确，符合题意； ∴正确的是． 10．（2026·北京海淀·二模）某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 【答案】 【分析】第一问，分别计算只装同一种农产品时，每箱最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值；第二问，根据每种农产品最多装2包的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）对于每箱只装同一种农产品的情况： 农产品A：总价值元； 农产品B：总价值元； 农产品C：总价值元； 农产品D：总价值元； 比较可知，一箱农产品的总价值最大为240元； （2）设装A，B，C，D的包数分别为a，b，c，d，满足，，，，a，b，c，d为非负整数， 且， 总价值，计算得： 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 其余符合重量限制的组合，总价值均小于223，因此第二问最大总价值为223元． 三、解答题 11．（26-27七年级·江苏·暑假作业）计算 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 12．（25-26七年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据各式可得； （2）根据新运算的定义列式，先计算乘法、去括号，再计算加减法即可得； （3）根据新运算的定义可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：观察各式可知，， 故答案为：． （2）解： ． ． （3）解：因为，， 所以， 所以这个新定义的运算满足交换律． 13．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）科技改变世界，快递分拣机器人发展迅猛．据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入．下表是该仓库月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期几，最少的一天是星期几，最多的一天比最少的一天多分拣了多少万件包裹？ (2)该仓库本周实际总共分拣了多少万件包裹？ 【答案】(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日，最多的一天比最少的一天多分拣了万件包裹 (2)该仓库本周实际总共分拣了万件包裹 【分析】（1）比较表中数据得到分拣最多和最少的星期，再由有理数加减运算得出最多比最少多分拣件数； （2）根据表中记录数据，由有理数加减及乘法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴本周内分拣最多的一天是周六，最少的一天是周日， ∴最多比最少多分拣（万件）， 答：该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日，最多的一天比最少的一天多分拣了万件包裹； （2）解：（万件）， （万件）， 答：该仓库本周实际总共分拣了万件包裹． 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)10 (2) (3)8 (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 15．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空： 0， 0； (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用数轴比较大小即可解答； （2）由数轴可得，，且，再利用有理数的加法、减法法则即可解答； （3）由数轴可知，，从而确定a、b的值，再根据相反数和倒数的定义得出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，，， ∴，， 故答案为：；； （3）解：由数轴得，，， 又∵，， ∴，， ∵c、d互为相反数，m、n互为倒数， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、相反数、倒数，有理数的大小比较，有理数的加法和减法，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下面是李老师今年8月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；    8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；    8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；    8月30日得加班费100元； 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 【答案】(1) 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)元； (3) 【分析】（1）收入用正数表示，支出用负数表示，据此求解即可； （2）将所有收入项目相加，计算得到总收入即可； （3）先将所有支出项目相加得到总支出，再用总支出除以总收入，计算即可得到对应的百分比． 【详解】（1）解：略 （2）解：元， 答：李老师8月份一共收入2950元； （3）解：， 答：李老师这个月的总支出占总收入的． 一、单选题 1．计算：（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．下面算式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加减乘除法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，错误，符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选A． 3．将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 4．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 5．定义一种新运算：  ．如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、倒数 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键； 根据可得，，，即可得解． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以； 故答案为：． 8．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 9．定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 10．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可求解； （2）原式从左到右依次计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把除法化为乘法，再根据乘法法则进行计算，即可作答． （2）先运算乘除，再运算加法，即可作答． （3）先运算小括号内，再运算中括号，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．在1，，3，，中任意取出两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，有理数加法计算，绝对值的非负性： （1）根据乘法计算法则可得要使得两个数的乘积最大，则这两个数一定要同号，且绝对值要满足是最大的两个数，要使得两个数的乘积最小，这两个数一定要异号，且绝对值要满足是最大的两个数，据此求解即可； （2）根据绝对值的非负性得到，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵要使得两个数的乘积最大， ∴这两个数一定要同号，且绝对值要满足是最大的两个数， ∴； ∵要使得两个数的乘积最小， ∴这两个数一定要异号，且绝对值要满足是最大的两个数， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律： （1）观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 15．阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错 (2)见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查了有理数的乘除运算． （1）根据有理数的乘除运算法则即可进行判断； （2）根据有理数的乘除运算法则写出解答过程即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算， 第二处是第三步，错误原因是符号弄错， 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错； （2）解：原式 ． 16．定义新运算“*”，对于任意有理数a，b满足，如：，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的加减和乘法混合运算，解题的关键是理解题目所给的定义中包含的运算及运算顺序． （1）利用新定义计算即可求出值； （2）利用新定义计算即可求出值． 【详解】（1）． （2）． 17．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，刚大学毕业的志强把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 七 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？并说明理由； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均1元，那么志强本周一共收入多少元？ 【答案】(1) (2)达到了，理由见解析 (3) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的应用等知识，读懂题意是关键． （1）用表格中最大的数减去最小的数即可； （2）将本周数据加起来，再与计划进行比较即可； （3）根据题意列式计算出志强本周收入即可． 【详解】（1）解：由表格可得：（斤）， 即销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售斤， 故答案为：； （2）解：达到了，理由如下： 实际销售总量：（斤）， ∵， ∴本周实际销售总量达到了计划数量． （3）解：（元）， 答：志强本周一共收入元． 18．观察下列计算： (1)______（根据规律写算式，不要直接写结果） (2)你能试一试找到下列各式的规律吗？ 则______（n为正整数） (3)计算： (4)计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，观察、归纳数列规律的能力，仔细观察，准确找出规律是解题关键． （1）根据观察找到规律即可得到答案； （2）根据观察找到规律即可得到答案； （3）根据（1）算式规律：，进行计算化简即可； （4）先把原式变形为，再仿照（3）求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：根据观察，算式规律为：， 即； （3）解：根据（1）算式规律可得： ； （4）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.2有理数的乘法和除法 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01有理数的乘法法则 知识点02有理数乘法运算定律 2.知识清单 知识点03确定乘积符号 知识点04有理数的除法法则 题型01有理数的乘法运算 题型02有理数乘法的实际应用 题型03有理数乘法运算律 有理数的乘法和除法 题型04倒数 题型05有理数除法运算 3.题型精讲 题型06有理数乘除混合运算 题型07有理数的乘除中的简便运算 题型08有理数四则混合运算的实际应用 题型09根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型10有理数乘除中的新定义型问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解有理数乘法法则，能熟练运用法则进行有理数乘法运算。 2. 探索并掌握有理数乘法运算律，如交换律、结合律和分配律，并能利用运算律简 教学目标 化运算。 3.经历有理数乘法法则及运算律的探索过程，提升观察、归纳、猜想、验证等思维 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力。 1.重点 (1)有理数乘法法则的理解与运用，准确确定积的符号与绝对值。 (2)掌握有理数乘法的运算律，能正确运用运算律进行简便运算。 教学重难点 2.难点 (1)理解有理数乘法中负数参与运算时积的符号确定，以及多个有理数相乘时积的 符号判断。 (2)根据具体算式特点，灵活选择合适的乘法运算律进行简便计算。 知识清单 知识点01有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 (2)任何数同0相乘，都得0. (3)多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【即学即练】1.计算-2×2的结果等于() A.4 B.-4 C.1 D.-1 2.计算： 3.计算： 3x125+0.75×75 知识点02有理数的乘法运算律 (1)乘法交换律：ab=ba;(2)乘法结合律：(ab)c=a(bc),(3)乘法分配律：ab+c)=ab+ac. 【即学即练】4.下列各式运用运算律不正确的是() A.（-4)×8=8×(-4) 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.[(-3)×2]×(-5)=(-3)×[2×(-5)] c.12写+=121212月 2 n.(x】(-+(-周 5.计算(-4)×8×(0.25)时，将式子变形为[(4)×(-0.25)]×8进行简便运算，这样做的依据是运用了 6.用简便方法计算： 1(48)+36)+(22)+3 (2)13.7x29 2.5x29 29 19.8× 31 31 31 知识点03确定乘积符号 (1)若a<0,b>0,则b<0:(2)若a<0,b<0,则b>0:(3)若b>0,则ab同号： (4)若ab<0,则、b异号；(5)若ab=0,则a、b中至少有一个数为0. 【即学即练】7.如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数() A.一定都是正数 B.一定都是负数 C.一定也异号 D.一定同号 8.我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是( A,0×(-2) B.2×2 c.（-2)x(-2) D.2×(-2) 9.下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；：②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积 为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 知识点04有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【即学即练】10.计算21÷(-3)的结果等于() A.7 B.-6 C.-7 D.6 1.计：动》— 2.计第[-+4引(4（ 题型精讲 题型01有理数的乘法运算 【典例1】(2026四川德阳·一模)计算(-2)×(-3)=() A.-5 B.5 C.6 D.6 【变式1】(26-27七年级·全国·暑假作业)下列式子中，积的符号为负的是（) B. n.〔引 【安式2】(267七年缓金国小柯商接)计：（引引 【变式3】(25-26七年级下河南南阳开学考试)若=3，=4，且y<0,则x-y= 题型02 有理数乘法的实际应用 【典例1】(25-26七年级上：四川广元开学考试)六年级8个班进行篮球比赛，每两队之间都要赛一场， 一共要赛()场， A.28 B.30 C.64 D.32 【变式1】(25-26七年级上：云南昆明·期末)居民生活用水通常按户计费.某城市居民生活用水的收费标 准实行年度阶梯水价，计费标准如下表： 4/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 收费方式 年用水量/m3 费用（元/m3) 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 若某用户居民当年用水量为260m3,则该用户居民需缴纳水费() A.1580元 B.1420元 C.1330元 D.1250元 【变式2】(25-26六年级下·上海黄浦·期中)一件商品原价80元，打九折后的价格为 元 【变式3】(25-26七年级上河南期末)联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排，所有演员到场后开 始.一个节目完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：in)如下：己 知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节 目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）·若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应 按的先后顺序彩排。 节目 A B D 演员人 10 2 10 数 彩排时 30 10 20 10 长 题型03 有理数乘法运算律 【典例1】(226河北害山装拟预测)在用运第律计某9}12时，思日变形合理的为() A.U 【宾式】加s网台=程式引小（以变为引xo1.保花《） A.乘法交换律B.分配律 C.移项 D.乘法结合律 5/17 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 357 【变式2】(25-26七年级上广西南宁期中)计算8+62X(-24) 【变式3】(2425七年级上河南郑州开学考试)【乘法分配律】计算： 题型04倒数 【典例1】(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)-3的倒数是() 1 A.3 B.3 C.3 D.3 1 【变式1】(2026：黑龙江绥化中考真题)下列有理数中，没有倒数的是() A.-2027 B.1 c.0 D.-1 【变式2】(25-26六年级下·黑龙江绥化阶段检测)-3的倒数是一，-3到= 3的相反数是 【变式3】(25-26七年级上江西萍乡期末)若a,b互为相反数，c,d互为倒数，则a+b+cd的值为 题型05有理数的除法运算 【典例1】(2026天津东丽二模)计算(-27)÷(9)的结果等于() A.3 B.-3 C.2 D.-2 【变式1】(25-26六年级上·上海·阶段检测)计算： 【变式2】(25-26七年级上全国期末)已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0,abc<0则 b+c a+c,a+b ab+4的值是 23.5 【变式3】(25-26六年级上·上海松江期末)计算： 3412 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06有理数的乘除混合运算 【典例1】(26-27七年级全国小升初衔接) A.2 B.-1 C.1 D.4 【变式1】(25-26七年级上·四川绵阳期末)计算： A.-1 B.1 C.5 【变式2】（上海市浦东新区部分学校2025-2026学年六年级上学期1月期末数学试题）计算： 4》 【变式3】(26-27六年级上海·小升初衔接)计算： （ 题型07有理数乘除中的简便运算 【典例1】(2425七年级上·安徽合肥开学考试)计算：1.25×17.6+36÷0.8+2.64×12.5 【变式1】(2024七年级上广西桂林·专题练习)用简便的方法计算 ①536-164+16 4 11711 as63+号 【变式2】(25-26七年级上·全国寒假作业)用简便方法计算： 0-7(19(动}5》： a(-15}5 【变式3】(25-26七年级上：辽宁鞍山期中)用运算律简便运算 四)* 4 3 7/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型08 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】(2026江苏镇江一模)《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四 问人数、物价各几何？”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为 除数，所得结果就是人数.则该问题中，物价是() A.41 B.45 C.53 D.59 【变式1】(23-24七年级上·陕西西安开学考试)甲、乙两地相距800千米，一辆汽车计划8小时由甲地 到达乙地.汽车开出1小时后，由于情况紧急，速度提高40%，那么还要小时才能到达. 【变式2】(2026北京西城三模)社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg, 所有商品均为独立包装、不可拆分.四种日用品单件重量与单件价值如下表： 洗衣 商品类型 卷纸 洗洁精 香皂 液 单件重量(kg) 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 (1)现有卷纸4件、洗衣液4件、 洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均 不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为， 元； (2)若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为 元 【变式3】(25-26六年级上·上海开学考试)国家邮政局关于信函邮资的收费标准如下： 资费标准元 业务种类 计费单位 本埠资费 外埠资费 首重100g内，每重 20g 0.80 1.20 (不足20g按20g计 算) 信函 续重101-1000g, 每重100g 1.20 2.00 (不足100g按100g 计算) 8/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)一封信重67g,寄往本地，需付邮资多少元？ (2)一封384g的信函，寄往外地，需付邮资多少元？ 题型09根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例1】(2026福建·中考真题)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 () b-1 0a1 A.a+b>o B.a-b<0 C.ab>0 D.8<0 【变式1】(2026北京东城：二模)实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 () a b 0c→ A.a-b>0 B.ab<0 C.a+b+c>0 D.>e 【变式2】(2026陕西西安·三模)如图，在数轴上，点A表示的数为a,点B表示的数为b,则a-b 0.(填“>”、“=”、或者“<”) A B 【变式3】(25-26七年级上·福建宁德阶段检测)如图，已知点A,B,C在数轴上对应的数分别是a, b,c,小明通过探究得到如下结论：①若a+c>0,则b>0:②若ab<0,则c>0;③若b>,则原 点一定在点C的右侧；④(c-ab-c)<0.其中正确的结论是 .(填写序号) A B C 题型10有理数乘除中的新定义型问题 【典例1】(25-26七年级上河北唐山期中)定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=ab-a;当 a<b时，a⊕b=b+a:按上述定义计算 、2 ⊕(-2)的值为() A B. C.-1 D.-3 【变式1】(2425七年级上广东深圳期中)若定义新运算：a*b=1-3ab,如 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5*(-1)=5-3×5×(-1)=20,请利用此定义计算：2*[()*3]=（) A.-61 B.-59 C.59 D.61 【变式2】(2425七年级上·青海果洛·期末)小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题： a÷b(b>0) 定义运算☆为：-3a☆b= -a÷b(b<0)则1☆(-2)的值为 【变式3】(2425七年级上甘肃武威期中)定义新运算：对于任意有理数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1, 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： 2⊕5=2×(2-5)+1 =2×(-3)+1 =-6+1 =-5 (①)求(-2)®3的值： ②对于有理数a,b,若定义运算：a⑧b=a-b, a+b,计算(4)⑧3的值等于 (3)请你定义一种新运算，使得数字-4和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026吉林松原·模拟预测)-5的倒数是（) 1 1 A.-5 B.5 C.-5 D.5 2.(25-26七年级下河南安阳开学考试)已知某快递公司的收费标准为寄一件物品不超过5千克，收费 12元：超过5千克的部分每千克加收2元，小张在该快递公司寄一件7千克的物品，需要付费() A.19元 B.18元 C.17元 D.16元 3.(25-26七年级上辽宁大连阶段检测)下列说法正确的是() A.绝对值一定是正数 B.相反数等于本身的数只有0 10117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.倒数等于本身的数只有1 D.负数的绝对值小于本身 4.(2026贵州遵义：二模)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论错误的是() b -3-2-10123 A.a<-1 B.3a<3b C.a+1>b+1 D.>a 5.(25-26七年级上陕西西安阶段检测)下列变形中，运用运算律正确的是() A.3+(-2)+5=(（-2+5)-3 B.(-25)×(-7)×(-4)=[(-25)x(-4)]×(-7) c.[6+(-3]+5=[6+(-5)]+3 n.（64到-(4r8( 二、填空题 6.(2026江西中考真题)有理数2的倒数为 7.(2627入年级上海者役作业)计京：(4)(》月 8.(25-26七年级下·重庆自主招生)定义新运算“⑧”，规定：a⑧b=a+b+7，则若21⑧b=38,则 b⑧21= 9.(25-26七年级下内蒙古呼和浩特开学考试)已知、b两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个 结论： ①a+h<0:②a-b>0:③6<0：④14+l以=la-小，其中正确的是 .（填序号) a 0 6 10.(2026·北京海淀·二模)某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分 各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量(kg) 7 12 8 5 价值（元) 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不 11/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 超过28kg. (1)若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是 元 (2)若每箱中每种农产品最多装2包，则一箱农产品的总价值最大是 元. 三、解答题 11.(26-27七年级江苏·暑假作业)计算 472+(3712》0s(-》g4】 11 12.(25-26七年级上山西晋城期中)阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务. ×年×月×日星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：2☆4=2×4-2-4=2：3☆(-1)=3x(-)-3-(-1)=-5:(（9)☆5=(-9)x5-(9)-5=41 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算：a☆b= 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换 律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有a☆b=b☆a. 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分：一 (②)根据材料，计算(-5)☆3与(-6)☆(-5). (3)请你补全小宇日记中的探究过程， 13.(25-26七年级上河南南阳阶段检测)科技改变世界，快递分拣机器人发展迅猛.据介绍，这些机器 人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹，没 电的时候还会自己找充电桩充电.某分拣仓库计划平均每天分拣10万件包裹，但实际每天的分拣量与计划 相比会有出入.下表是该仓库3月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的 部分记为负)· 星期 匹 五 六 日 分拣情况（单位：万件） +6 0 +7 -6 ()该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期几，最少的一天是星期几，最多的一天比最少的一天多分 12/17 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拣了多少万件包裹？ (2)该仓库本周实际总共分拣了多少万件包裹？ 14.(26-27七年级全国小升初衔接)计算： 024；}( ②35=15+6512x兮3-15； (3)12-(-18)+(-7)-15: ④6+(-2-(1)： ⑤(-65列(-2)((-5). 15.(25-26七年级上·江苏泰州阶段检测)点A,B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b. A b -3 0 a ()把a,b,-a,b这四个数用“<”连接起来：-： (2)用“>”或“<”填空：a+b_0,a-b_0; ⊙法-月，时=4，cd红为反数，双n互为微，求5m+(a+的值 c+d 16.(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末)下面是李老师今年8月份收入和支出的记录. 8月10日领取工资2400元：8月13日交电话费88元： 8月15日交水电费120元；8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元； 8月30日得加班费100元： 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：+2400元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中. 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 13/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 收支元 +2400 -88 -120 -467 +450 +100 -800 能力提升 一、单选题 1.计算：2×(-3)=() A.-5 B.-6 C.5 D.6 2.下面算式错误的是() A.2+(-3)=-2+3 B.2-3=2+(-3) C.(（-2)×(-3)=2×3 n.2+(3)-2x( 3.将下列运算符号填入算式-100÷10 0的“口”中，使运算结果最小的是() A.+ B- C.× D.÷ 4.己知表示有理数4，b的点在数轴上的位置如图所示，则日+份+2025的值是（） a b a 0 b A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 3 5.定义一种新运算： 如： C =A×B+B×C-C÷A 5 (6 =3×5+5×6-6÷3=43 则 的值为() A.18 B.20 C.28 D.32 二、填空题 6计算：-2÷ 2 7.若-1<a<0比较a,。a,-。四个数的大小，并用“”连接 8.如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 14117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ) >100 是 输出 否 9.定义：对于数对(a,b),如果a+b=ab,那么(a,b)称为“和积等数对”.如：因为2+2=2×2， -3+3所以2（到每是“和积等数对”.下列数对中，是“有积等数对的是一 (填序号) aLs:) 10下列法：@活+6=0则后=-，②若+力0且会0，则+训4-6：③E>州 a+b+C=-1.其中正确的有 则(a+b)(a-b)>0:④若a+b+c<0'b>0'c>0,则aib+c= (填序号) 三、解答题 11.计算： ②(-48)*2-12x 4 12.计算： 1+5+(8x(-0): e倒-8-7+1-12小(3到 13.在1，-2,3，-4，-5中任意取出两个数相乘，最大的积是4，最小的积是b. (1)求ab的值： (②)若k+a+y-b=0,求x+y的值. 14.阅读下列材料： 计算：店司 15117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.11.1,1.111 解法一：原式=2432442412241 1.431)1.2_1 解法二：原式=2412121224124： 二照式的侧为}产a目242424古24=8-6+2=4所思式 4 ()上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法 是错误的； 1.115 (2)请你运用合适的方法计算： 、48（6312: 15,阅读下面解短注程并解答问题：计算：)-(》名 解：原式=(（15) 25 6 ×6(第一步) =(-15)÷(-25)(第二步) =第三别 (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因 第二处是第 步，错误原因是 (2)请写出正确的解题过程 ab-2b(a≥b) 16.定义新运算“*，对于任意有理数a,b满足a*b= ab+2b(a<b),如：3*1=3x1-2x1=1' (-2)*4=(-2)×4+2×4=0」 ①四求(4)*2的值. (2)求[3*(-1]*2的值. 17.随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行 了网上销售，刚大学毕业的志强把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬 枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不 足记为负，单位：斤)： 16117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 星期 三 四 五 六 七 与计划量的差值 +4 -3 -5 +14 -8 +21 -6 (I)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售一斤： (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？并说明理由： (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均1元，那么志强本周一共收入多少元？ 18.观察下列计算： 111 2×323 111 3×434 1 (①)9x10 (根据规律写算式，不要直接写结果) (2)你能试一试找到下列各式的规律吗？ -传 1 则n(n+2)一(n为正整数) 1+1+1+1+1 (3)计算：1x2+2x33x44x55×6 +…十 99×100 ④计算：24+4x6+68+…+2022×2024 11,1 1 17117