专题 2.4 有理数的除法 基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数除法核心知识点，系统梳理两大法则（符号+绝对值法、化除为乘）、乘除混合运算规则及高频易错点，作为有理数运算体系的关键组成，承接乘法运算，为后续复杂运算构建从基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计与核心素养融合，通过夯实基础（直接计算、法则辨析）与综合提升（混合运算、实际应用）的题型精析，结合巡逻机器人路程、食品质量平均等实例，培养运算能力与应用意识，同步检测分层练习助力课中教学与课后查漏，强化推理意识。

专题 2.4 有理数的除法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点1】有理数除法法则一（符号+绝对值法） 2 【知识点2】有理数除法法则二（化除为乘法） 2 【知识点3】有理数乘除混合运算规则 2 【知识点4】高频易错总结 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接运用除法法则计算 3 【题型2】化除为乘运算（分数连除） 3 【题型3】除法法则正误辨析 4 四.题型精析（综合提升） 4 【题型4】有理数乘除混合运算 5 【题型5】有理数除法实际应用 5 五.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解有理数除法是乘法的逆运算，自主掌握有理数除法两大法则； 2. 熟练掌握有理数除法运算步骤，能准确进行整数、小数、分数除法计算； 3. 掌握“化除为乘”的核心方法，规范完成有理数乘除混合运算； 4. 能运用有理数除法知识解决基础实际应用问题。 （二）重难点 重点：有理数除法运算法则；除法转化为乘法（乘倒数）；有理数乘除混合简便运算。 难点：乘除混合运算的符号判定；0的特殊性辨析；规避除法无分配律的易错点。 二.知识梳理与解读 【知识点1】有理数除法法则一（符号+绝对值法） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，结果都为0。 【要点提示】 0可以作为被除数，但0绝对不能作为除数，无意义。 例：；； 【知识点2】有理数除法法则二（化除为乘法） 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 公式： 【要点提示】 化除为乘“一不变两变”：被除数不变，除号变乘号，除数变为它的倒数。该法则适用于所有分数、小数除法及混合运算。 例： 【知识点3】有理数乘除混合运算规则 1. 运算顺序：乘除属于同级运算，无括号时从左至右依次计算；有括号先算括号内； 2. 统一转化：将所有除法全部转化为乘法，统一为连乘算式； 3. 定号计算：统计负因数个数，偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，最后约分计算绝对值。 【知识点4】高频易错总结 1. 概念误区：混淆被除数和除数，误将0当作除数； 2. 运算误区：化除为乘时，错误将被除数取倒数； 3. 符号误区：乘除混合运算中，数错负因数个数，导致符号错误； 4. 定律误区：除法没有分配律，严禁拆分被除数分别相除。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接运用除法法则计算 解题技巧：先定符号（同正异负），再算绝对值相除；0除以非零数，结果直接为0。 【例题1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）（____）＝____； （2）（____÷____）＝____． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2） ． （3）． 【题型2】化除为乘运算（分数连除） 解题技巧：所有除法统一转化为乘法，除数全部变倒数，再根据负因数个数定符号，约分求解。 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C．4 D． 【变式2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）计算：______． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 【题型3】除法法则正误辨析 解题技巧：牢记除法无分配律、0不能做除数、同号异号符号规则，精准判断对错。 【例题3】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）计算时，方方同学的计算过程如下： 原式请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【变式1】（23-24七年级上·河北唐山·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成计算．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示：    接力中，自己负责的一步正确的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全都正确 【变式2】（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）小明在做除法运算时，将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果为，则（    ）中的数为_______，正确的结果为_______． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算，方方同学的计算过程如下： 原式=． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】有理数乘除混合运算 解题技巧：从左至右运算，全部化除为乘，先定符号，后算数值，能约分先约分，简化计算。 【例题4】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（23-24七年级上·河北邯郸·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是________． 【变式3】（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： （1）； （2）． 【题型5】有理数除法实际应用 解题技巧：已知积和其中一个因数，求另一个因数，用除法计算。 【例题5】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． （1）在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ （2）已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 【变式1】（四川绵阳市安州区2025-2026学年七年级下学期学情自测数学试题）小亮看了一本书的 ，正好看了35页，这本书有（　　）页． A．63 B．175 C．315 D．238 【变式2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 【变式3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）岳阳楼区某中学积极倡导阳光体育运动，为提高中学生身体素质，举行了排球垫球比赛．如表为七年级某班50人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球30个． 垫球个数与标准数量的差值 0 8 10 15 人数 5 16 11 5 9 4 （1）求这个班50人平均每人垫球多少个？ （2）规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？ 【题型6】有理数乘除简便运算 【例题6】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【变式1】（25-26七年级上·广东·期中）计算： （1） （2） 【变式2】（24-25七年级上·广东中山·开学考试）计算下列各题 （1） （2） 【变式3】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： （1）上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） （2）在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） （3）请你进行简便计算：． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·天津红桥·三模）计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，数轴上的点A，B对应实数a，b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·北京·期末）如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 7．（24-25七年级上·云南·期中）下列算式中，（1），（2），（3），（4），（5），正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（25-26七年级上·全国·期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为正数 C．若，则互为倒数 D．若，则 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算：_______ 12．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）七年级（1）班第一组有8个同学，在某次数学测试中以93分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，组长小亮统计如下：，，，，，，，，他很快算出本组实际平均成绩是_________分． 13．（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：__________． 14．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算，则______________． 15．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）数轴上两个有理数a，b的位置如图所示，则______（用“”，“”或“”填空） 16．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则（ ）． 17．（25-26七年级上·河北沧州·期末）计算：_____． 18．（25-26七年级上·全国·期末）小明与小刚规定了一种新运算：，则_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）计算 （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·陕西榆林·期中）某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … （1）观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； （2）当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： （1） （2） 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． （1）比较：　　0，　　0；（填“”或“”） （2）在数轴上标出的相反数和； （3）点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测），，， （1）第5个式子是______，第个式子是______． （2）从计算结果中找规律，利用规律计算： （    ）； （3）计算：（由此拓展写出具体过程）： ①；         ②． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 有理数的除法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点1】有理数除法法则一（符号+绝对值法） 2 【知识点2】有理数除法法则二（化除为乘法） 2 【知识点3】有理数乘除混合运算规则 2 【知识点4】高频易错总结 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接运用除法法则计算 3 【题型2】化除为乘运算（分数连除） 5 【题型3】除法法则正误辨析 7 四.题型精析（综合提升） 9 【题型4】有理数乘除混合运算 9 【题型5】有理数除法实际应用 10 五.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 20 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 23 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解有理数除法是乘法的逆运算，自主掌握有理数除法两大法则； 2. 熟练掌握有理数除法运算步骤，能准确进行整数、小数、分数除法计算； 3. 掌握“化除为乘”的核心方法，规范完成有理数乘除混合运算； 4. 能运用有理数除法知识解决基础实际应用问题。 （二）重难点 重点：有理数除法运算法则；除法转化为乘法（乘倒数）；有理数乘除混合简便运算。 难点：乘除混合运算的符号判定；0的特殊性辨析；规避除法无分配律的易错点。 二.知识梳理与解读 【知识点1】有理数除法法则一（符号+绝对值法） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，结果都为0。 【要点提示】 0可以作为被除数，但0绝对不能作为除数，无意义。 例：；； 【知识点2】有理数除法法则二（化除为乘法） 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 公式： 【要点提示】 化除为乘“一不变两变”：被除数不变，除号变乘号，除数变为它的倒数。该法则适用于所有分数、小数除法及混合运算。 例： 【知识点3】有理数乘除混合运算规则 1. 运算顺序：乘除属于同级运算，无括号时从左至右依次计算；有括号先算括号内； 2. 统一转化：将所有除法全部转化为乘法，统一为连乘算式； 3. 定号计算：统计负因数个数，偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，最后约分计算绝对值。 【知识点4】高频易错总结 1. 概念误区：混淆被除数和除数，误将0当作除数； 2. 运算误区：化除为乘时，错误将被除数取倒数； 3. 符号误区：乘除混合运算中，数错负因数个数，导致符号错误； 4. 定律误区：除法没有分配律，严禁拆分被除数分别相除。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接运用除法法则计算 解题技巧：先定符号（同正异负），再算绝对值相除；0除以非零数，结果直接为0。 【例题1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【变式1】（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 解： 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）（____）＝____； （2）（____÷____）＝____． 【答案】 11 0.96 0.06 16 【分析】本题考查的是有理数的除法运算，根据有理数除法运算法则计算即可． 解：（1）； 故答案为：；11； （2）； 故答案为：0.96；0.06；16． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：（1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键； （1）将除法化为乘法进行计算； （2）将带分数换为假分数，将除法换为乘法进行计算； （3）将分数和小数进行统一后把除法化为乘法进行计算. 解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【题型2】化除为乘运算（分数连除） 解题技巧：所有除法统一转化为乘法，除数全部变倒数，再根据负因数个数定符号，约分求解。 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）3；（2）2；（3）3；（4） 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是将除法转化为乘法，并且正确判断出结果的符号. 将分数除法转化为乘法，先确定积的符号，再逐步计算并约分. 解：原式 【变式2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键； 根据有理数的除法法则计算即可求解； 解：； 故答案为： 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 解：（1） ； （2） ． 【题型3】除法法则正误辨析 解题技巧：牢记除法无分配律、0不能做除数、同号异号符号规则，精准判断对错。 【例题3】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）计算时，方方同学的计算过程如下： 原式请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，正确的计算过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先计算括号内的，再根据有理数的除法法则计算． 解：不正确，正确的计算过程如下： ． 【变式1】（23-24七年级上·河北唐山·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成计算．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示：    接力中，自己负责的一步正确的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全都正确 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的运算法则计算后判断即可． 解：甲负责的计算结果，故甲计算错误； 乙负责的计算结果，故乙计算正确； 丙负责的计算结果，故丙计算正确； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）小明在做除法运算时，将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果为，则（    ）中的数为_______，正确的结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是关键．先根据题意可得除数为，再进行计算，最后代入原式，运用有理数的除法运算计算即可求解． 解：除数为； ∴正确的结果为． 故答案为：①；②． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算，方方同学的计算过程如下： 原式=． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，144 【分析】此题考查了有理数的除法，用到的知识点是有理数的除法、通分、有理数的加法，关键是掌握运算顺序和结果的符号．根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可． 解：方方的计算过程不正确， 正确的计算过程是： 原式 ． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】有理数乘除混合运算 解题技巧：从左至右运算，全部化除为乘，先定符号，后算数值，能约分先约分，简化计算。 【例题4】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 解：（1）； （2）； （3）． 【变式1】（23-24七年级上·河北邯郸·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的乘法，根据有理数的除法对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是________． 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 解：， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握分数的乘除法法则、符号规则以及带分数与假分数的相互转换是解题的关键．解题时需先将带分数转换为假分数，并将除法转换为乘法．注意符号规则：负负得正，最后通过约分简化得到结果． （1）解： （2）解： ． 【题型5】有理数除法实际应用 解题技巧：已知积和其中一个因数，求另一个因数，用除法计算。 【例题5】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． （1）在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ （2）已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． （1）解：第1次；， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第6次：． 答：在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为． （2）解：． 答：这次治安巡逻的时间为． 【变式1】（四川绵阳市安州区2025-2026学年七年级下学期学情自测数学试题）小亮看了一本书的 ，正好看了35页，这本书有（　　）页． A．63 B．175 C．315 D．238 【答案】A 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，已知单位“1”的几分之几对应的具体数量，求单位“1”用除法计算． 解：∵ 这本书总页数的对应数量是35页， ∴ 总页数为 （页）． 因此这本书总页数为63页． 【变式2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 【答案】100.1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据每袋超出或不足标准质量的数值以及对应的袋数，分别计算出超出或不足的总质量，进而计算10袋食品的总质量，再求平均质量，即可解题． 解：标准总质量为（g）， 超出部分总和为（g）， 总质量为（g）， 平均质量为（g/袋）， 故答案为：100.1． 【变式3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）岳阳楼区某中学积极倡导阳光体育运动，为提高中学生身体素质，举行了排球垫球比赛．如表为七年级某班50人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球30个． 垫球个数与标准数量的差值 0 8 10 15 人数 5 16 11 5 9 4 （1）求这个班50人平均每人垫球多少个？ （2）规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？ 【答案】（1）这个班50人平均每人垫球31个；（2）这个班垫球总共获得240分 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，正确列出运算式子是解题关键． （1）根据表格求出这个班垫球的总数量，再除以这个班的总人数即可得； （2）根据得分规则，将扣的分、不得分、加的分进行列式求和，计算加减法与乘法即可得． （1）解： （个）． 答：这个班50人平均每人垫球31个． （2）解： （分）． 答：这个班垫球总共获得240分． 【题型6】有理数乘除简便运算 【例题6】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【变式1】（25-26七年级上·广东·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分数的加减法运算以及除法运算，同时涉及到对分数进行变形和化简的技巧，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的计算法则． （）本题可利用加法交换律和结合律进行简便计算，将同分母的分数或能凑整的数结合在一起； （）先把带分数化为假分数，再把被除数提取2，从而简便计算除法式子； （1）解： （2） 【变式2】（24-25七年级上·广东中山·开学考试）计算下列各题 （1） （2） 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算与乘法运算律，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算计算即可； （2）先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，最后计算除法即可． （1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： （1）上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） （2）在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） （3）请你进行简便计算：． 【答案】（1）①；（2）③；（3） 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． （1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·天津红桥·三模）计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数的法则计算，先确定符号再计算绝对值即可． 解：． 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则，先算括号内运算，再从左到右依次计算乘除运算即可解答． 解：， 故选：． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，数轴上的点A，B对应实数a，b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图， 由数轴可知，，，，，故选项A，C，D错误，不符合题意． 选项B正确，故选B． 5．（25-26七年级上·北京·期末）如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，掌握知识点是解题的关键．由结合数轴可知同号或异号，分两种情况根据有理数的运算法则逐项判断即可求解． 解：∵， ∴同号或异号， 当同号时，， ∴，，，与不能判断大小关系， 当异号时，，且， ∴，，，与不能判断， 综上，正确， 故选：B． 6．（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘除的应用． 根据题意可得，，即可求解． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B． 7．（24-25七年级上·云南·期中）下列算式中，（1），（2），（3），（4），（5），正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，利用有理数的减法运算法则进行计算可判断（1）（2），利用有理数的乘除运算法则进行计算可判断（3）（4）（5）．熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1），不符合题意； （2），不符合题意； （3），符合题意； （4），不符合题意； （5），不符合题意， ∴正确的个数是个． 故选：A． 8．（25-26七年级上·全国·期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查取整运算，有理数混合运算，根据定义准确取整是解题关键． 根据取整定义求出各值，再按顺序计算乘除． 解：∵，，， ∴． 故选：． 9．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 解：． 10．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为正数 C．若，则互为倒数 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查倒数的定义、有理数的乘除法法则、绝对值的性质，需根据相关知识点逐一分析各选项的正误． 解：A、因为，所以a、b异号且均不为0，根据有理数除法法则，异号两数相除得负，所以，故A说法正确，不符合题意； B、因为，根据绝对值的性质可知，即a为正数或0，并非一定为正数，故B说法错误，符合题意； C、根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因为，所以a、b互为倒数，故C说法正确，不符合题意； D、因为，所以a、b同号且均不为0，根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，所以，故D说法正确，不符合题意； 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算：_______ 【答案】0 解：． 12．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）七年级（1）班第一组有8个同学，在某次数学测试中以93分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，组长小亮统计如下：，，，，，，，，他很快算出本组实际平均成绩是_________分． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的运算，解题的关键是理解正负数的意义． 根据有理数的加减混合运算和平均数的定义进行求解即可． 解：（分）， （分）， ∴本组实际平均成绩为（分） 故答案为：． 13．（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据有理数的乘除运算法则，运算顺序从左到右，先将除法转化为乘法，再计算乘法． 解： ． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算，则______________． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 解： ． 15．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）数轴上两个有理数a，b的位置如图所示，则______（用“”，“”或“”填空） 【答案】< 【分析】本题考查了数轴及有理数的除法，解题的关键是熟练掌握数轴及有理数的除法法则． 根据a，b在数轴上的位置可得：，，再由有理数的除法得出结论． 解：由a，b在数轴上的位置可得： ，， 即a、b异号， 故答案为： 16．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则（ ）． 【答案】 【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可． 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 17．（25-26七年级上·河北沧州·期末）计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 解： ， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·全国·期末）小明与小刚规定了一种新运算：，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及新定义运算的理解和应用．根据新运算的定义，先将化简为，然后分步计算内层运算，再计算其结果与的运算即可解答． 解：由新运算定义：， 先计算：， 再计算：， 所以， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了有理数的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）（2）（3）根据有理数的除法运算法则求解即可． （1）解：； （2）； （3）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． （1）利用有理数的乘除法则进行计算即可； （2）先求出绝对值，再进行乘除，最后进行加减即可． （1）解：； （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·陕西榆林·期中）某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … （1）观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； （2）当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 【答案】（1）；（2）元 【分析】（1）根据值为负时表示亏损，值为时不亏不盈，观察数据填写即可； （2）根据表格数据推理即可. （1）解：观察表中数据可知:每月乘客量至少达到人时，该公交车才不会亏损． 故答案为：； （2）解：由上表可知，每月的乘车人数每增加人，每月的利润可增加元， ∴每月乘车人数为人时，每月的利润是（元）． 答：每月利润为元． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）26；（2） （1）解： ； （2）解： ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． （1）比较：　　0，　　0；（填“”或“”） （2）在数轴上标出的相反数和； （3）点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 【答案】（1），；（2）的相反数是3，在数轴上表示如下； ； （3） 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴的知识和相反数． （1）利用有理数的大小比较解答； （2）利用数轴知识，相反数的定义解答； （3）利用数轴知识解答． （1）解：由数轴知：，， ∴，； 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴点D在数轴上表示的数是． 故答案为：． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测），，， （1）第5个式子是______，第个式子是______． （2）从计算结果中找规律，利用规律计算： （    ）； （3）计算：（由此拓展写出具体过程）： ①；         ②． 【答案】（1）；；（2）；（3）①；② 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察所给等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． （1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； 故答案为：； （3）解：① ． ② ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $