3.1 导数的概念及其意义、导数的运算(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念、几何意义及运算核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑梳理知识体系，涵盖公式法则、复合函数求导等内容。通过课标解读、知识梳理、考点分角度精讲、真题训练等环节，帮助学生构建导数知识网络，突破切线方程、公切线等难点。 资料采用问题驱动与分层训练结合的教学策略，如在导数几何意义教学中，通过对比“在点处”与“过点处”切线差异，引导学生用数学思维分析切点坐标关系，培养逻辑推理能力。设置基础辨析、能力提升、综合应用练习，配合典例精讲，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

3．1　导数的概念及其意义、导数的运算 [课标解读] 1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．　2.通过函数图象，理解导数的几何意义．　3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝. f′(x0)＝＝. (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f′(x)＝. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R， 且α≠0) f′(x)＝αxα-1 f(x)＝sin x f′(x)＝ cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4．导数的四则运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (3)′＝(g(x)≠0)． (4)[cf(x)]′＝cf′(x). 5．复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 常用结论 1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 2．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．并注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上．(应用见例3) 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率．(　　) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x．(　　) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)(人A选修二P81练习T1改编)下列求导运算正确的是(　　) A．(cos 2)′＝－sin 2 B．′＝ C．′＝ D．(ln sin x)′＝ 解析：BC　对于A，因为cos 2是常数，故(cos 2)′＝0，故A错误；对于B，′＝′＝，故B正确；对于C，′＝，故C正确；对于D，(ln sin x)′＝，故D错误．故选BC. 3．(人A选修二P81T6改编)已知函数f(x)＝x2f′＋ln x－9，则f′＝(　　) A．8　　　　　　　　　 B．9 C．10 D．11 解析：B　因为函数f(x)＝x2f′＋ln x－9，所以f′(x)＝2f′x＋，所以令x＝，可得f′＝9.故选B. 4．(人A选修二P82T11改编)曲线y＝e1-x＋x2在x＝1处的切线方程为(　　) A．y＝3－x B．y＝2x C．y＝x＋1 D．y＝3x－1 解析：C　对函数y＝e1-x＋x2求导得y′＝－e1-x＋2x，故当x＝1时，斜率k＝－e1-1＋2＝1，又当x＝1时，有y＝2，故切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.故选C. 考点一　导数的概念及运算 角度1　导数的概念 例1　(2025·江苏盐城三模)若f(x)＝2ln x，则＝(　　) A．0　　　　　　　 B．2 C．－2 D．－4 解析：B　因为f(x)＝2ln x，所以f′(x)＝，所以f′(1)＝2，则＝f′(1)＝2.故选B. 由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(1－Δx)－f(1)时，分母应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形． 角度2　导数的运算 例2　(1)(多选)下列求导运算中，不正确的是(　　) A．(sin 2x)′＝cos 2x B．(2x)′＝2x C．(xex)′＝(x＋1)ex D．′＝ 解析：ABD　对于A，(sin 2x)′＝2cos 2x，故A错误；对于B，(2x)′＝2x ln 2，故B错误；对于C，(xex)′＝(x＋1)ex，故C正确；对于D，′＝，故D错误．故选ABD. (2)已知函数f(x)＝f′(1)ex－ex，则f′(1)的值为(　　) A． B． C．1 D．－1 解析：A　f′(x)＝f′(1)ex－e，则f′(1)＝f′(1)e－e，所以f′(1)＝.故选A. 1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． 2．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 3．对解析式形如f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数求值问题，解题思路：先求导数f′(x)，然后令x＝x0，解关于f′(x0)的方程，即可得到f′(x0)的值，进而得到f(x)，f′(x)再进行求解． 跟踪训练1　(1)函数f(t)＝3t－sin t，则值为(　　) A．3　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：A　因为f(t)＝3t－sin t，所以f′(t)＝3－cos t，故＝f′＝＝3－0＝3.故选A. (2)(多选)下列函数求导正确的是(　　) A．(2x3－3x2＋5)′＝6x2－6x B．(ex＋ln x)′＝ex＋ C．′＝sin D．′＝ 解析：AB　对于A，(2x3－3x2＋5)′＝(2x3)′－(3x2)′＋5′＝6x2－6x，故A正确；对于B，(ex＋ln x)′＝(ex)′＋(ln x)′＝ex＋，故B正确；对于C，′＝－sin ·′＝－sin ，故C错误；对于D，′＝，故D错误．故选AB. 考点二　导数的几何意义 角度1　求切线的方程 例3　(1)曲线f(x)＝x6＋3x－1在(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．－ 解析：A　f′(x)＝6x5＋3，所以f′(0)＝3，故切线方程为y＝3(x－0)－1＝3x－1，故切线的横截距为，纵截距为－1，故切线与坐标轴围成的面积为.故选A. (2)已知函数f(x)＝ln x，过点P(0，0)作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________. 解析：设切点为(x0，ln x0)，由f(x)＝ln x，则f′(x)＝，则f′(x0)＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又切线过点P(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x. 答案：y＝x 角度2　求切点的坐标 例4　已知函数f(x)＝ln x＋x，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，则切点P的坐标为(　　) A．(1，1) B．(e，e＋1) C． D．(e2，e2＋2) 解析：B　由题意可知：f′(x)＝＋1，设切点为P(x0，ln x0＋x0)，则切线方程为y＝(x－x0)＋ln x0＋x0，因为切线过原点，所以0＝(－x0)＋ln x0＋x0＝ln x0－1，解得x0＝e，则P(e，e＋1)．故选B. 角度3　求与切线有关的参数 例5　(2025·全国一卷T12)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝____________. 解析：法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 法二：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)，则解得a＝4. 答案：4 追本 溯源 (人A选修二P82T11)设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求a的值． 名师 点评 高考题与教材题考查角度相同，都是已知切线的斜率求参数值，不同之处在于教材题已知切点坐标，高考题需求出切点坐标． 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：(1)斜率相等；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． 跟踪训练2　(1)(2025·山东聊城一模)曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．4 B．3 C．1 D． 解析：D　对函数y＝x ln x求导得y′＝ln x＋1，故所求切线斜率为k＝ln 1＋1＝1，切点坐标为(1，0)，所以，曲线y＝x ln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1，该切线交x轴于点(1，0)，交y轴于点(0，－1)，因此，曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选D. (2)(2026·江苏南通期中)若函数f(x)＝x3＋ax2(a∈R)的图象在x＝1处的切线过点(0，1)，则a＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：A　因为f(x)＝x3＋ax2，则f′(x)＝3x2＋2ax，所以f′(1)＝3＋2a，又f(1)＝1＋a，所以f(x)在x＝1处的切线方程为y－(1＋a)＝(3＋2a)(x－1)，又切线过点(0，1)，所以1－(1＋a)＝(3＋2a)(0－1)，解得a＝－3.故选A. (3)若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________. 解析：设点P(x0，y0)，因为y＝x ln x，所以y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，所以曲线y＝x ln x在点P处的切线斜率k＝1＋ln x0.又k＝2，所以1＋ln x0＝2，所以x0＝e，y0＝eln e＝e，所以点P的坐标为(e，e)． 答案：(e，e) 考点三　两曲线的公切线 例6　(1)可与曲线y＝ex＋1和y＝ex+1的公切线l垂直的直线方程为(　　) A．x＋ey＋7＝0 B．ex＋y－7＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0 解析：D　设l与f(x)＝ex＋1和g(x)＝ex+1分别相切于点，而f′(x)＝ex，g′(x)＝ex+1，所以f′(x1)＝＝e解得所以f′(0)＝e0＝1，即公切线l的斜率为1，故与l垂直的直线的斜率为－1，所以所求直线方程可为x＋y－1＝0.故选D. (2)若直线y＝kx＋1(k为常数)是曲线y＝ln x＋1和曲线y＝aex＋1的公切线，则实数a的值为(　　) A． B． C．1 D．e 解析：B　法一：令f(x)＝ln x＋1，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝，设直线y＝kx＋1与y＝ln x＋1的切点为(x1，ln x1＋1)，则切线方程为y－ln x1－1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1，又因为y＝kx＋1，所以解得x1＝e，k＝，所以切线方程为y＝x＋1，令g(x)＝aex＋1，则g′(x)＝aex，设直线y＝x＋1与y＝aex＋1的切点为，所以g′(x0)＝①，又因为切点在直线y＝x＋1上，所以x0＋1，即x0②，由①和②可得x0＝1，所以ae＝，解得a＝.故选B. 法二：设切点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ⇒ln x1＝kx1＝1. 所以x1＝e，k＝. 同理＝kx2＝k.所以x2＝1，所以k＝ae＝，所以a＝.故选B. 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解，或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x-1，则f(x)和g(x)的图象的公切线的条数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：A　设公切线与f(x)和g(x)的图象分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，又f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x-2，则g′(n)＝f′(m)＝，得m＝－＋2，代入化简，得8n3－8n2＋1＝0，构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1，则h′(x)＝8x(3x－2)，故函数h(x)在区间(－∞，0)上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又极大值h(0)>0，极小值故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有3个解，故切线有3条．故选A. (2)函数f(x)＝2＋ln x与函数g(x)＝ex公切线的斜率为(　　) A．1 B．±e C．1或e D．1或e2 解析：C　设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，x1>0，且导数为f′(x)＝，g′(x)＝ex，所以切线方程可为y－(2＋ln x1)＝(x－x1)，也可为(x－x2)，所以且ln ＝⇒－ln x1＝x2，所以1＋ln x1＝(1＋ln x1)×⇒(1＋ln x1)(x1－1)＝0，所以x1＝1或x1＝，所以公切线的斜率为k＝＝1或k＝e.故选C. 典例　(2025·浙江温州一模)已知0＜x1＜x2＜x3＜4π，函数f(x)＝sin x的图象在点(xi，sin xi)(i＝1，2，3)处的切线均经过坐标原点，则(　　) A．＜ B．＞ C．x1＋x3＜2x2 D．x1＋x3＞2x2 解析：C　由题意知f′(x)＝cos x，则曲线在点(xi，sin xi)处的切线斜率为ki＝cos xi＝，(注意切线过原点)即xi＝＝tan xi，所以＝1，故A，B错误；同时xi可看作直线y＝x与曲线y＝tan x在(0，4π)内的3个交点的横坐标．对于C、D， 法一：作函数y＝tan x与y＝x的图象，如图1所示，设A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)，C(x3，tan x3)，易知D(x2－π，tan x2)，E(x2＋π，tan x2)，由正切函数图象的性质知kAD＜kEC，所以AM＞CN，如图2所示，又因为xM＋xN＝2x2，所以x1＋x3＜2x2.故选C. 　 图1　　　　　　　图2 法二：设A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)，C(x3，tan x3)，如图1，易知D(x2－π，tan x2)，E(x2＋π，tan x2)，由正切函数图象的性质知kAD＜kEC，得＜，即＜，又x2－π－x1＞0，x3－x2－π＞0，所以(x2－x1)(x3－x2－π)＜(x3－x2)(x2－π－x1)，即x1π＋x3π＜2πx2，即x1＋x3＜2x2，故C正确，D错误．故选C. 本题通过切线斜率考查导数的几何意义，判断选项C、D的关键是根据tan xi＝xi(i＝1，2，3)构造tan x＝x，通过转化思想和数形结合思想分析，将计算问题转化为图形问题，减少计算量，体现新高考的变化趋势． 学科网（北京）股份有限公司 $