第3章 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念及其意义、导数的运算核心考点，依据课标要求构建“概念—运算—几何意义”的知识体系，涵盖导数定义、基本公式、运算法则及复合函数求导。通过考点梳理明确知识内在联系，结合基础自练夯实概念理解，再经多维探究和真题训练，帮助学生系统突破导数应用难点。 资料特色在于以数学思维和数学语言为导向，创新采用“考教衔接”策略，如导数几何意义部分先溯源教材例题，再对接高考真题，引导学生从教材到高考建立逻辑推理链条。设置分层练习配合微提醒，培养学生精准运算和规范表达能力，为教师提供清晰复习路径，助力学生高效提升应考技能。

3．1　导数的概念及其意义、导数的运算 【课标要求】 1．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． [对应学生用书P62] 1．导数的概念 (1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，我们把比值，即＝____叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率； (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ ； (3)导函数：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . [微提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. (4)复合函数的导数：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__y′u·u′x__． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的__斜率__，相应的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，其中k＝ ＝f′(x0). 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝__αxα-1__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝__ax_ln_a__ f(x)＝ln x f′(x)＝____ f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝____ 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； (2)[f(x)g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__； (3)′＝__(g(x)≠0)__． 1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 3．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x). 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(×) (3)函数y＝sin 的导数为y′＝cos .(×) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．(√) 2．下列函数的求导正确的是(　　) A．(x-2)′＝－2x B．(x cos x)′＝cos x－x sin x C．(ln 10)′＝ D．(e2x)′＝2ex 解析　∵(x-2)′＝－2x-3，∴A错误；(x cos x)′＝cos x－x sin x，∴B正确；(ln 10)′＝0，∴C错误；(e2x)′＝2e2x，∴D错误．故选B. 答案　B 3．(人A选二P71T10改编)函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(　　) 解析　由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0. 答案　B 4．(人A选二P81T3改编)已知函数f(x)＝x(19＋ln x)，若f′(x0)＝20，则x0＝____________． 解析　f′(x)＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f′(x0)＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1. 答案　1 5．(人A选二P81T5改编)曲线y＝在点P处的切线方程为____________． 解析　因为y′＝， 所以＝＝－， 所以曲线y＝在点P处的切线斜率为－.即所求的切线方程为y－0＝－，即y＝－x＋1. 答案　y＝－x＋1 [对应学生用书P63] 考点一　导数的基本概念 基础考点　自练自悟 1．设f(x)在x＝x0处可导，下列式子与f′(x0)相等的是(　　) A． B． C． D． 解析　对于A， ＝－ ＝－f′(x0)，A错误；对于B， ＝f′(x0)，B正确；对于C， ＝2 ＝2f′(x0)，C错误；对于D， ＝－ ＝－f′(x0)，D错误．故选B. 答案　B 2．若函数f(x)在x＝1处的导数为2，则 ＝(　　) A．2 B．1 C． D．6 解析　由函数f(x)在x＝1处的导数为2，得f′(1)＝2，所以 ＝ ＝f′(1)＝1. 答案　B 3．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．a＜f′(2)＜f′(4) B．f′(2)＜a＜f′(4) C．f′(4)＜f′(2)＜a D．f′(2)＜f′(4)＜a 解析　从函数的图象可知，函数值在[2，4]上的增长越来越快，故函数在[2，4]上各点处的斜率也越来越大．因为＝a，所以f′(2)＜a＜f′(4)，故选B. 答案　B 求函数f(x)在x＝x0处的导数的步骤 (1)求平均变化率＝； (2)求瞬时变化率，即取极限，得到f′(x0). 考点二　导数的运算 基础考点　自练自悟 1．(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．若f(x)＝sin (2x＋3)，则f′(x)＝2cos (2x＋3) B．若f(x)＝e-2x+1，则f′(x)＝e-2x+1 C.若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1 解析　f(x)＝sin (2x＋3)，f′(x)＝cos (2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos (2x＋3)，故A正确；f(x)＝e-2x+1，则f′(x)＝－2e-2x+1，故B错误；f(x)＝，f′(x)＝＝，故C正确；f(x)＝x ln x，f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确． 答案　ACD 2．已知函数f(x)＝2f′(3)x－x2＋ln x(f′(x)是f(x)的导函数)，则f(1)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　由题意得f′(x)＝2f′(3)－x＋， ∴f′(3)＝2f′(3)－＋，得f′(3)＝1， ∴f(x)＝2x－x2＋ln x， ∴f(1)＝2－＝，故选D. 答案　D 3．设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝____________． 解析　∵函数f(x)＝，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝＝.解得a＝1. 答案　1 函数求导应遵循的原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； (2)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混； (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． [提醒]　当函数解析式中含有待定系数(如f′(x0)，a，b等)，求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可． 考点三　导数的几何意义 多维探究　发散思维 角度1　求切线方程(考教衔接) 高考真题 1．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 解析　f′(x)＝，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 答案　A 2．(2022·新高考全国卷Ⅱ)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 解析　先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x. 答案　y＝x　y＝－x 教材溯源 (人A选二P81T5)求曲线y＝在点M(π，0)处的切线方程． 解析　求导得y′＝， ∴切线方程的斜率， 则切线方程为y＝－(x－π)，即y＝－x＋1.预测高考 1．已知函数f(x)＝过原点O(0，0)作曲线y＝f(x)的切线，其切线方程为____________． 解析　当x≤0时，函数f(x)＝ex，可得f′(x)＝ex.设切点坐标为Q(x0，)，则f′(x0)＝，所以切线方程为y－＝ (x－x0)，因为切线过原点O(0，0)，所以－＝－x0，解得x0＝1>0，不符合题意，舍去；当x>0时，函数f(x)＝ln x，可得f′(x)＝，设切点坐标为P(x1，ln x1)，则f′(x1)＝，所以切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，因为切线过原点O(0，0)，可得ln x1＝1，解得x1＝e>0，符合题意，故切点P(e，1)，此时切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 答案　x－ey＝0 2．(2025·南宁名校联考)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)是偶函数，当x>时，f(x)＝ln (2x－3)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为____________． 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(2－x)＝f(x)，当x<时，2－x>，所以f(2－x)＝ln ＝ln (1－2x)，则f(x)＝ln (1－2x)，此时f′(x)＝，f′(0)＝－2，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝－2(x－0)，即2x＋y＝0. 答案　2x＋y＝0 求切线方程的方法 (1)已知切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). (2)已知过点P(x0，y0)(非切点)，可设切点为(x1，y1)，由求出x1，y1后，即可得切线方程． [注意]　曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． 角度2　求参数的值(范围)(考教衔接) 高考真题 1．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝____________． 解析　方法一　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0， 将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5， 所以切点坐标为(0，5)， 因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上， 所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 方法二　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)， 则解得a＝4. 答案　4 2．(2022·新高考全国卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________． 解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 教材溯源 (人A选二P82T11)设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求a的值． 解析　因为y＝e2ax，所以y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，所以在点(0，1)处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2ae0＝2a，又因为切线与直线2x－y＋1＝0垂直，所以2a×2＝－1，所以a＝－. 预测高考 (2025·北京市第二中学模拟)已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝(　　) A．－3 B．3 C．－3或1 D．3或1 解析　设切点为(x0，(1－x0))， 由已知得y′＝－xex，则切线斜率k＝－x0，切线方程为y－(1－x0)＝－x0(x－x0). 切线过点A(a，0)，则－(1－x0)＝－x0(a－x0)，化简得x－(a＋1)x0＋1＝0. 切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即(a＋3) (a－1)＝0，解得a＝－3或1，故选C. 答案　C 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 1．若曲线f(x)＝2ax2＋ln (x－1)存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(－∞，0) D．(－∞，e) 解析　由题意，f′(x)＝4ax＋＝0在(1，＋∞)上有解， 则a＝－＝－ 在(1，＋∞)上有解， 因为u(x)＝42－1在(1，＋∞)上单调递增， 所以u(x)>u(1)＝0，则a<0，故选C. 答案　C 2．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是____________． 解析　设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e).再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1). 答案　(e，1) 学科网（北京）股份有限公司 $