第2章 等式与不等式（高效培优单元自测·提升卷）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高中数学等式与不等式单元提升卷，以核心素养为导向，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配单元复习，强化知识综合运用与数学思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|不等式解集、方程根、基本不等式、集合关系|物流中心矩形区域设计（第12题），体现用数学眼光观察现实世界| |选择题|4题/18分|充要条件、基本不等式、不等式整数解|第14题考查充要条件，强化逻辑推理，体现数学思维| |解答题|5题/78分|比较大小、集合应用、几何最值、柯西不等式、波动距离|第20题证明柯西不等式并应用，第21题探究波动距离，培养创新意识与数学语言表达|

第2章 等式与不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，，则的取值范围是______. 2．不等式的解集为________. 3．关于x的方程无实数解，则实数k的取值范围是______. 4．若正数、满足，则的最大值为_____________. 5．已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是_________命题（填“真”或“假”） 6．设，求方程的解集为_____. 7．已知集合，，若，则实数______． 8．若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为___________． 9.已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 10．已知关于的不等式 的解集是 ，则关于的不等式 的解集是_____. 11．对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 12．某物流中心计划在仓库内划定一个矩形的分拣区域，该区域被一条对角线分为两个三角形作业区．已知在其中一个三角形作业区内，需要预留一个半径为的圆形区域供自动导引车原地转向使用．若要求这个圆形转向区与矩形分拣区的两邻边及这条对角线都相切，则该矩形分拣区域占地面积的最小值为________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 14．若，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，，，，求证：，中至少有一个小于． 18．（14分）已知集合，集合． (1)求集合P； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 19．（14分）如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．    (1)设，试用表示，并写出的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 20．（18分）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 21．（18分）教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： (1)求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； (2)求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； (3)对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式（高效培优单元自测·提升卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 假 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D B A D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）， 故．……（6分） （2）假设，中两个都大于等于， 即，且， 由，，得，即， 由，且，得， 因为，，，，所以， 所以这与相矛盾， 因此假设不成立， 故，中至少有一个小于．……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由， 故.……（6分） （2）因为， 所以， 因为“”是“”的充分非必要条件， 所以是的真子集， 所以. 因此实数的取值范围为.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上……（7分） （2）由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000.……（14分） 20．（18分） 【详解】(1)证明：由题意可知要证明， 只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立；……（6分） （2）3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.……（12分） (3)证明：由柯西分式不等式可知， 当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）， 当且仅当即时等号成立， 所以当时，取最小值2.……（4分） (2)1，4，2，3的波动距离为； 实数，，，满足， 则 ， 因为， 所以， 即.……（11分） (3)32，理由如下： ， 其中，，，， 因为当或时，， 由（2）知交换，的顺序可使得波动距离变大，所以；同理， 所以或， 可知的最大值是.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 2．不等式的解集为________. 【答案】 【详解】由，故解集为. 故答案为： 3．关于x的方程无实数解，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【详解】由关于x的方程无实数解，得，解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 4．若正数、满足，则的最大值为_____________. 【答案】 【详解】由题意，， 则，即，当且仅当时等号成立， 则的最大值为. 5．已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是_________命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 6．设，求方程的解集为_____. 【答案】 【详解】因为， 当且仅当时取等， 解得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 7．已知集合，，若，则实数______． 【答案】 【详解】因为，说明一元二次不等式的解集就是，即和是对应方程的两个实根， 根据韦达定理得，因此， 验证： 因式分解得，解集确实为，符合. 8．若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为___________． 【答案】 【详解】当一个直角三角形的斜边为，设直角三角形的直角边为， 所以，所以， 所以，当且仅当时，面积最大， 当面积最大时，三角形的周长为. 故答案为：. 9.已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 【答案】 【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得， 所以，即，解得或， 判别式， 当时，，方程无实根，舍去， 当时，，有两个实根，符合条件， 故答案为：. 10．已知关于的不等式 的解集是 ，则关于的不等式 的解集是_____. 【答案】 【详解】由二次不等式解集的形式可知， 根据韦达定理，，则， 可得， 由，得到，解得. 故答案为： 11．对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】当不等式取等号时， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为：. 12．某物流中心计划在仓库内划定一个矩形的分拣区域，该区域被一条对角线分为两个三角形作业区．已知在其中一个三角形作业区内，需要预留一个半径为的圆形区域供自动导引车原地转向使用．若要求这个圆形转向区与矩形分拣区的两邻边及这条对角线都相切，则该矩形分拣区域占地面积的最小值为________． 【答案】 【详解】如图，设,矩形面积为，    由题意可知半径为2的圆与内切，， 由相切的性质可得,, 所以，其中； 由勾股定理，所以，即； 由基本不等式可得，当且仅当取到等号， 解得或（舍）， ，即矩形分拣区域占地面积的最小值为. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【详解】由题意得，从而可知：， 化简得：，解之得：或， 故解集为：，故D项正确. 故选：D 14．若，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】不等式的解集为，不等式的解集为， 而是的真子集， 则是的必要非充分条件. 故选：B． 15．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 令， 因为都是正数， 所以即， 且，同时， 所以     当且仅当时等号成立，此时. 故选：A 16．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 即恰有2个整数解， 即的图象开口向上， 所以， 解得或， 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为1和2， 则，即， 解得：； 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为，， 则， 即， 解得：， 综上所述，实数的取值范围为：或. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，，，，求证：，中至少有一个小于． 【详解】（1）， 故．……（6分） （2）假设，中两个都大于等于， 即，且， 由，，得，即， 由，且，得， 因为，，，，所以， 所以这与相矛盾， 因此假设不成立， 故，中至少有一个小于．……（14分） 18．（14分）已知集合，集合． (1)求集合P； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【详解】（1）由， 故.……（6分） （2）因为， 所以， 因为“”是“”的充分非必要条件， 所以是的真子集， 所以. 因此实数的取值范围为.……（14分） 19．（14分）如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．    (1)设，试用表示，并写出的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【详解】（1）依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上……（7分） （2）由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000.……（14分） 20．（18分）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 【详解】(1)证明：由题意可知要证明， 只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立；……（6分） （2）3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.……（12分） (3)证明：由柯西分式不等式可知， 当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证.……（18分） 21．（18分）教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： (1)求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； (2)求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； (3)对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 【详解】（1）， 当且仅当即时等号成立， 所以当时，取最小值2.……（4分） (2)1，4，2，3的波动距离为； 实数，，，满足， 则 ， 因为， 所以， 即.……（11分） (3)32，理由如下： ， 其中，，，， 因为当或时，， 由（2）知交换，的顺序可使得波动距离变大，所以；同理， 所以或， 可知的最大值是.……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $