第2章 等式与不等式（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020必修第一册

第2章 等式与不等式（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 2．方程的两根为，，则 【答案】 【分析】依据一元二次方程中的韦达定理即可求出答案. 【详解】因为方程的两个根为， 根据韦达定理可得： . 所以. 故答案为：. 3．如果，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围. 【详解】, , 又, , 两式相加得, 故答案为:. 4．函数的最小值是 . 【答案】0 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号； 故答案为：. 5．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式转化成一元二次不等式求解即可. 【详解】由不等式，得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 6．已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，， ，， 所以不等式为， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 8．若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为，由此可求的取值范围. 【详解】因为，恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 9．若，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 10．已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】代入于不等式，然后求解出关于的分式不等式的解集即可. 【详解】因为不等式的解集为且， 所以， 解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 11．有四个解，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，设，由换元法结合韦达定理代入计算，可得，即可得到结果. 【详解】根据题意可知0不是方程的根，否则方程只有三个根， 设，则， 设两根为，， ，， 又，或， 设，四根依次为，，，， ，， ，， ，， ，， 故答案为：. 12．表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据的定义得到关于的不等式关系，再利用均值不等式求解的最小值. 【详解】因为，所以，. ，，都是正实数，则 即.可得. 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 14．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义列式结合一元二次不等式的解法计算求解. 【详解】， 化简得，， 故选：B． 15．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 16．当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，由作差法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分类讨论去掉绝对值符号，即可得到大小关系. 【详解】（1）， 即； （2）， 令， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，； 综上所述，. 18．某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【答案】(1)； (2)矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为. 【分析】（1）设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为，可得种植蔬菜矩形的宽为，再根据矩形的面积公式即可得答案； （2）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为， 则矩形温室的宽为,种植蔬菜矩形的长为，宽为， 所以； （2）解：因为， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 即当矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为 19．求下列关于x的不等式的解集： (1) (2)． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）分析可得，解分式不等式即可得解； （2）分类讨论两根大小解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，则， 由可得，等价于，解得或； 由可得，等价于，解得或； 综上所述：的解集为. （2）因为， 令，解得或， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 20．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 (3) 【分析】（1）将代入解析式，根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据一元二次方程中根与系数的关系列式，求解的值，再代入方程，求解，即可判断； （3）根据二次项系数是否等于零分类讨论，根据二次函数的性质列不等式，求解即可. 【详解】（1）当时，，由，得，即， 整理得，解得，则不等式的解集为. （2）不存在实数符合题意，理由如下： 由，得， 若存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立， 则，，，，由韦达定理得， 由，得，则，解得， 此时方程为，即，解得， 因此，不存在实数符合题意. （3）由，得，整理得， 当，即时，不等式为，此时不等式恒成立，符合题意； 当，即时，由不等式的解集是实数集， 得，解得， 综上所述， 因此，实数的取值范围为. 21．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； (1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） (2)研究，的最小值； (3)求出当时，，的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （2）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （3）根据例题，将变形为，再利用求解即可； 【详解】（1）因为，模仿例题，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （2）因为，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （3）因为，且，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，则不等式的解集为 ． 2．方程的两根为，，则 3．如果，，则的取值范围是 . 4．函数的最小值是 . 5．不等式的解集为 . 6．已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 7．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 8．若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ． 9．若，则的最小值是 . 10．已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 11．有四个解，若，则 . 12．表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 14．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 16．当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 18．某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 19．求下列关于x的不等式的解集： (1) (2)． 20．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围. 21．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； (1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） (2)研究，的最小值； (3)求出当时，，的最小值. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $