4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的通项公式 第2课时 等比数列的性质与应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 聚焦等比数列性质与应用，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到创新应用的递进，适配新授课分层教学需求，培养数学推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等比数列基本性质（等比中项、公比计算）|选择填空为主，如第1题考查等比中项符号判断| |发展层|性质综合应用（通项公式求解）|解答题形式，如第9题结合等比中项与等量关系求通项| |提升层|跨知识综合与创新应用（与等差数列结合、充要条件、前n项乘积）|含多选题与情境题，如第15题分析前n项乘积单调性与最值|

第2课时　等比数列的性质与应用 1.已知等比数列{an}中,a1<0,a3a7=36,则a5等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.±6 B.-6 C.6 D.不确定 2.已知等比数列{an}为递增数列,若a3·a6=6,a4+a5=5,则公比q= (　 ) A. B.6 C. D. 3.[2025·江苏宿迁中学高二月考] 已知等差数列{an}的公差不为0,若a1,a3,a6成等比数列,则这个等比数列的公比是 (　 ) A. B. C.2 D.4 4.[2025·湖南湘潭一中高二质检] 已知数列{an}是等比数列,满足a2+a4=10,a3+a5=20,则log2a1+log2a2+…+log2a10= (　 ) A.55 B.45 C.16 D.32 5.[2025·江苏泰州中学高二调研] 设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“a2024<a2025”的(　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.(多选题)[2025·浙江诸暨中学高二月考] 已知等比数列{an},则下面式子对任意正整数k都成立的是 (　 ) A.ak·ak+1>0 B.ak·ak+2>0 C.ak·ak+1·ak+2>0 D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>0 7.已知等比数列{an}中,a3·a13=20,a6=4,则a10=　　　　.  8.在等比数列{an}中,若a3=2,a4a6=16,则=　　　　.  9.(13分)在等比数列{an}中,an>0 (n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2,求数列{an}的通项公式. 10.[2025·安徽亳州一中高二调研] 两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn.若=2,则= (　 ) A.512 B.32 C.8 D.2 11.[2025·江苏泰州中学高二月考] 在等比数列{an}中,=a9且a8>a9,则使得an->0的正整数n的最大值为 (　 ) A.10 B.9 C.8 D.7 12.(多选题)[2025·江苏常州中学高二质检] 已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a5+a6>a5a6+1>2,记{an}的前n项的乘积为Tn,则下列结论中错误的是 (　 ) A.0<q<1 B.a6>1 C.T10>1 D.T11>1 13.[2025·江苏盐城中学高二检测] 在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++=　　　　.  14.(15分)已知各项均为正数的数列{an}是等比数列,a1,a2+6,a3成等差数列,a3=a2+6a1. (1)求{an}的通项公式; (2)若λan≥4n+5恒成立,求实数λ的取值范围. 15.(多选题)已知等比数列{an}满足a1>0,公比q>1,且a1a2…a2023<1,a1a2…a2024>1,则(　 ) A.a2024>1 B.当n=2022时,a1a2…an最小 C.当n=1012时,a1a2…an最小 D.存在n<1012,使得anan+1=an+2 16.(15分)[2025·山东济宁一中高二质检] 已知等比数列{an}满足a1=4,a3+a4=16(a1+a2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若{an}不是递增数列,bn=,求bn的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等比数列的性质与应用 1.B　[解析] 因为a3a7==36,所以a5=±6,因为a1<0,所以a5=a1q4<0(q为{an}的公比),所以a5=-6,故选B. 2.D　[解析] 由a4+a5=5,a3·a6=a4·a5=6,解得或∵数列{an}是递增数列,∴∴q=.故选D. 3.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a1,a3,a6成等比数列,所以=a1·a6,所以(a1+2d)2=a1·(a1+5d),即d(a1-4d)=0,又因为公差d≠0,所以a1=4d,所以a3=6d,a6=9d,则这个等比数列的公比是.故选B. 4.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,则解得 所以a10=1×29=29,因此log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log2(a1a10)5=log2(29)5=45.故选B. 5.D　[解析] 若q>1且a1<0,则an=a1qn-1<0,所以=q>1,则a2024>a2025,所以充分性不成立;另一方面,取an=(-2)n+1,则a2024<0<a2025,但q=-2<1,所以必要性不成立.因此“q>1”是“a2024<a2025”的既不充分又不必要条件.故选D. 6.BD　[解析] 设{an}的公比为q.对于A,当q<0时,ak·ak+1<0,则ak·ak+1>0不一定成立;对于B,ak·ak+2=(akq)2>0一定成立;对于C,ak·ak+1·ak+2=>0不一定成立;对于D,ak·ak+1·ak+2·ak+3=(ak+1·ak+2)2>0一定成立.故选BD. 7.5　[解析] ∵{an}是等比数列,∴a3a13=a6a10=20,∴a10==5. 8.4　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意可得可得q4=4,所以==q4=4. 9.解:∵{an}为等比数列, ∴a1a5=,a2a8=, ∴由题意得+2a3a5+=25, 即(a3+a5)2=25,∴a3+a5=±5, 又an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5. ∵a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4, ∴a3=1,a5=4或a3=4,a5=1, 又q∈(0,1),∴a3=4,a5=1,q2=,即q=,∴an=a3qn-3=4==25-n. 10.A　[解析] 因为a9=a1a2a3…a9=,B9=b1b2b3…b9=,所以==29=512.故选A. 11.C　[解析] 设{an}的公比为q,因为=a9,即a9a5=a9>0,所以a5=1,则a1=q-4.因为a8>a9>0,所以{an}各项均为正数且为递减数列,则0<q<1.因为an-=an-q4=q4(a1qn-5-1)=q4(qn-9-1)>0,所以qn-9>1=q0,所以n<9.又因为n为正整数,故nmax=8.故选C. 12.BD　[解析] ∵a5+a6>a5a6+1,∴(a5-1)(a6-1)<0(*),∵a1>1,∴若a5<1,则a6<1,不符合不等式(*),故a5>1,a6<1,∵等比数列{an}的各项均为正数,∴0<q<1.∵a5a6+1>2,∴a5a6>1,则T10=a1a2a3…a10=(a5a6)5>1,T11=<1,故A,C中结论正确,B,D中结论错误.故选BD. 13.-　[解析] ∵a7+a8+a9+a10=,a8a9=a7a10=-, ∴+++= = = ==-. 14.解:(1)设数列{an}的公比为q,则q>0, 因为a3=a2+6a1, 所以q2=q+6, 解得q=3或q=-2(舍). 因为a1,a2+6,a3成等差数列, 所以2(a2+6)=a1+a3, 即2(3a1+6)=a1+9a1, 所以a1=3,故an=3n. (2)不等式λan≥4n+5可化为λ≥,设bn=,则bn+1-bn=-=<0, 所以{bn}为递减数列, 故当n=1时,bn最大,且最大值为b1=3, 又不等式λ≥恒成立,所以λ≥3, 故实数λ的取值范围为[3,+∞). 15.AC　[解析] 设{an}的公比为q.对A,∵a1>0,q>1,∴an>0,又0<a1a2…a2023<1,a1a2…a2024>1,∴a2024>>1,故A正确;对B,C,由等比数列的性质得a1a2023=a2a2022=…=a1012a1012=,则a1a2…a2023=<1,∵a1012<1,∵a2a2024=a3a2023=…=a1013a1013=,a1a2…a2024>1,∴a2a3a4…a2024=>,∵a1a2…a2023<1,a1>0,q>1,∴0<a1<1,即>1,∴a1013>1,故当n=1012时,a1a2…an最小,故B错误,C正确;对D,由题意得{an}是递增数列,则an<an+1,当n<1012时,0<an<a1012<1,anan+1<an+1<an+2,故D错误.故选AC. 16.解:(1)设{an}的公比为q,则4q2+4q3=q2(4+4q)=16(4+4q), 若4+4q=0,则q=-1; 若4+4q≠0,则q2=16,即q=±4. 所以{an}的公比的可能取值为-1,-4,4, 所以{an}的通项公式为an=(-1)n-1·4或an=(-1)n-1·4n或an=4n. (2)若{an}不是递增数列,则an=(-1)n-1·4或an=(-1)n-1·4n. (i)当an=(-1)n-1·4时,bn==2+=2+, ①当n为偶数时,bn=2-=; ②当n为奇数时,bn=2+=. 所以bn的最小值为. (ii)当an=(-1)n-1·4n时,bn==2+=2+. ①当n为偶数时,bn=2-<2,且bn随n的增大而增大, 所以(bn)min=b2=; ②当n为奇数时,bn=2+>2>. 所以bn的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $