第8课时　等比数列的通项公式(1)课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第4章　数列 第8课时　等比数列的通项公式(1) 学习目标 1. 通过具体实例，理解等比数列通项公式的意义． 2. 探索并掌握等比数列的通项公式，能够利用等比数列的通项公式解决一些简单的问题． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 预习导引 预习教材P157～159，思考下面的问题： 1. 等比数列是怎样定义的？ 2. 等差数列的通项公式是什么？它是怎样推导而来的？ 3. 等比数列的通项公式是什么？结合函数以及前几节的知识，试推导等比数列的通项公式． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　(教材P158例4改编)在等比数列{an}中， (1) 已知a1＝3，公比q＝－2，求a6； (2) 已知a3＝20, a6＝160，求a9； [处理建议]　(1) 直接利用等比数列的通项公式进行计算． (2) 先利用通项公式列出关于a1和q的方程组，再利用通项公式进行计算；或利用等比中项求解． (3) 利用通项公式表示出an即可求出n. 例 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [规范板书]　解　(1) 由等比数列的通项公式，得 a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2) 设等比数列{an}的公比为q. 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1， 从而a9＝5×28＝1280. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　① 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量)，通过解方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式． ② 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项． ③ 已知等比数列的任意两项，可以确定该数列的任意一项． ④ 通过等比数列中任意两项的关系，可以获得更具一般性的等比数列的通项公式： 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 例1中的a3, a6, a9之间又是什么关系呢？你能用另外一种方法求a9吗？ 变 式1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　在等比数列{an}中， (1) 已知a1＝1, a4＝8，求an； (2) 已知an＝625, n＝4，公比q＝5，求a1； (3) 已知a2＋a5＝18, a3＋a6＝9, an＝1，求n. [规范板书]　解　(1) 设公比为q. 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2) 由题意得a4＝625，即a1·53＝625，解得a1＝5.　 变 式2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (3) 设公比为q. 所以a1＝32. 方法2：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an. [处理建议]　利用等比数列的通项公式，抓住基本量进行计算． [规范板书]　解　由题意得 am＝a1qm－1　①， an＝a1qn－1　②. 所以an＝amqn－m. [题后反思]　① 已知等比数列{an}中任一项am及公比q，可用an＝amqn－m求等比数列中任意项an. 变 式3 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　在等比数列{an}中，a4＝48, a6＝12，求a7. 变 式4 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 在等比数列{an}中，a2＝18, a4＝162，则a1＝______. ±6 4 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　(教材P159例6改编)已知等比数列{an}的通项公式为an＝3×2n－3，求首项a1和公比q，并作出它的图象． [处理建议]　利用公式求a1及q. 其图象如图所示． 例 2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　对于数列{an}，若点(n, an)(n∈N*)都在函数y＝cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论． [规范板书]　解　{an}是等比数列．证明如下： 因为点(n, an)在y＝cqx的图象上，所以an＝cqn(c≠0, q≠0, q≠1)． 当n≥2时，an－1＝cqn－1， 故{an}是以cq为首项、q为公比的等比数列． 变 式 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. (多选)在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中使{an}一定为递减数列的有( ) A. |q|＜1 B. a1＞0, q＜1 C. a1＞0, 0＜q＜1 D. a1＜0, q＞1 提示　由an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)＜0， 得a1＞0, 0＜q＜1或a1＜0, q＞1. CD 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. 若点(n, an)在函数y＝k·ax(k, a为常数， k≠0, a＞0，且a≠1)的图象上，则数列{an}是否为等比数列？请说明理由． 解　由点(n, an)在函数y＝k·ax的图象上，得an＝kan， 从而数列{an}为等比数列． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　利用等比数列的定义及通项公式解答． 例 3 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 因为p, q∈N*，所以p＋q≥2， 从而p＋q－1≥1，且p＋q－1∈N*， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　在324和4中间插入3个数，使这5个数成等比数列． [处理建议]　利用等比数列的定义计算． [规范板书]　解　设插入的3个数分别为a2, a3, a4. 由题意得324, a2, a3, a4, 4成等比数列． 所以所求的3个数分别为108, 36, 12或－108, 36, －12. [题后反思]　① 对于插入数字类型的题目，可以直接根据定义进行解答．② 在处理等比数列的计算时，有时候可以运用整体的思想． 变 式1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列． [规范板书]　证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2－an)－(2－an－1)＝an－1－an， 即2an＝an－1，又因为a1=2-a1,所以a1=1,所以an ≠0， 从而数列{an}是等比数列． 变 式2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　已知数列{an}满足a1＝2, an＋1＝2an＋2，证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an. [规范板书]　解　令bn＝an＋2， 从而{bn}是等比数列，即数列{an＋2}是等比数列．　 又b1＝a1＋2＝4，所以{bn}是以4为首项、2为公比的等比数列， 所以bn＝4·2n－1＝2n＋1， 从而an＝bn－2＝2n＋1－2. 变 式3 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 已知－9, a1, a2, －1四个数成等差数列，－9, b1, b2, b3, －1五个数成等比数列，则b2(a2－a1)＝______. 提示　设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q. 从而b2＝－9·q2＝－3. －8 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3an＋2. (1) 求证：数列{an}成等比数列； (2) 求数列{an}的通项公式． 解　(1) 根据题意，数列{an}满足Sn＝3an＋2　①. 当n＝1时，S1＝3a1＋2，即a1＝3a1＋2, 所以a1＝－1.　 当n≥2时，Sn－1＝3an－1＋2　②. ①－②得an＝3an－3an－1，即2an＝3an－1. 由a1＝－1≠0，得an≠0， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 课堂小结 1. 要会推导等比数列的通项公式an＝a1qn－1，并掌握其基本应用，以及更具一般性的通项公式形式：an＝amqn－m.　 2. 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量)，通过列方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (3) 已知a1＝， an＝， q＝，求项数n. 由题意得解得 (3) 由已知得an＝a1qn－1＝·n－1＝n，即n＝＝5，所以n＝5. 若(m, n∈N*, m≠n)，则＝qn－m，从而an＝am·qn－m. [规范板书]　解　显然有＝，即a3, a6, a9构成新的等比数列，所以a＝a3a9，从而a9＝＝＝1280.　 由q3＝＝8，得q＝2， 由a2＋a5＝18，即a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝25·n－1＝26－n＝1，得n＝6. 方法1：由a3＋a6＝(a2＋a5)q，得q＝＝. 又a2＋a5＝a1q＋a1q4＝a1(q＋q4)＝a1＝18， 而an＝a1qn－1＝32×n－1＝1，所以n＝6. 所以q＝＝. ②的两边分别除以①的两边，得＝qn－m， ② 已知等比数列{an}中的am和an两项，可用＝qn－m求公比． [规范板书]　解　方法1：由题意知 解得或 当a1＝384, q＝时，a7＝a1q6＝384×6＝6； 当a1＝－384, q＝－时，a7＝a1q6＝－384×6＝－6. 方法2：由a6＝a4q2，得q2＝＝， 所以q＝或－. 当q＝时，a7＝a6q＝12×＝6. 当q＝－时，a7＝a6q＝12×＝－6. 2. 在等比数列{an}中，a1＝， an＝， q＝，则项数n为___. 提示　由题意得＝×n－1＝，所以n＝4. [规范板书]　解　a1＝3×21－3＝， a2＝3×22－3＝， 所以q＝＝＝2. [题后反思]　等比数列{an}的通项公式an＝3×2n－3，还可以写成an＝×2n，是一个常数与指数式的乘积．这个等比数列的各点都在函数f(x)＝×2x的图象上(如上图)． 一般地，等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，还可以写成an＝·qn，当q≠1且a1≠0时，这是一个常数与指数式的乘积．这个等比数列的各点都在函数f(x)＝·qx的图象上． 所以＝＝q， 所以＝＝a(a≠0)， 已知无穷数列10， 10， 10， …， 10， …，求证： (1) 这个数列成等比数列； (2) 这个数列中的任一项是它后面第五项的； (3) 这个数列中的任意两项的积仍在这个数列中． [规范板书]　证明　(1) 当n≥2时，＝10，所以这个数列成等比数列． (2) ＝＝10－1＝，即an＝an＋5. (3) 设ap, aq是该数列中的任意两项，其中p∈N*, q∈N*，则apaq＝. 于是，且它为该数列的第(p＋q－1)项． [题后反思]　① 在判定数列为等比数列时，务必要得到＝q(n≥2, n∈N*, q为常数且不为0)或a＝an－1an＋1(an≠0)或＝. ② 要判定某数是等比数列中的项，需指明它满足等比数列的通项公式并指出为第几项． 设公比为q，则4＝324q5－1，解得q＝±. 所以＝， 则＝＝＝＝2， 由题意得－1＝－9＋3d，所以d＝， 从而a2－a1＝. 又－1＝－9×q4，所以q2＝， 所以b2(a2－a1)＝－3×＝－8. 所以＝(n≥2)． 由等比数列的定义知数列{an}是首项a1＝－1、公比q＝的等比数列． (2) 由(1)易知an＝(－1)×n－1＝－n－1.　 $