4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的通项公式 第1课时 等比数列的通项公式 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习通过基础-提升-综合三层设计，以等比数列通项公式为核心，从概念辨析到实际应用再到创新拓展，构建“数学眼光观察-数学思维推理-数学语言表达”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-5题）|通项公式直接应用、公比计算、等比数列判定|以选择题为主，聚焦单一知识点，如第1题直接考查通项公式形式，培养抽象能力| |提升层（6-10题）|等比数列性质、简单递推关系、实际应用|含多选题（第6题）和应用题（第7题《九章算术》问题），强化推理意识与模型观念| |综合层（11-16题）|新定义（梦想数列）、跨知识综合（递推与不等式）|通过“等差比数列”辨析（第15题）和恒成立问题（第16题），发展创新意识与逻辑推理能力|

4.3.2　等比数列的通项公式 第1课时　等比数列的通项公式 1.等比数列1,-,,-,,…的通项公式为an= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C.(-1)n D.(-1)n+1 2.[2025·江苏淮阴中学高二期中] 若在1和81之间插入3个数,使这5个数成等比数列,则该等比数列的公比为 (　 ) A.3 B.-3 C.±3 D.±9 3.若数列{an}的通项公式为an=2×3-n(n∈N*),则这个数列是一个 (　 ) A.以2为首项,3为公比的等比数列 B.以2为首项,为公比的等比数列 C.以为首项,3为公比的等比数列 D.以为首项,为公比的等比数列 4.[2025·天津一中高二期末] 在等比数列{an}中,若a5=4,a7=8,则a11= (　 ) A.-32 B.-16 C.16 D.32 5.[2025·江苏南京一中高二月考] 数列{an}满足an+1=an,a1=,若an=,则项数n为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.(多选题)[2025·江苏盐城中学高二月考] 设数列{an}为等比数列,则下列数列一定为等比数列的是 (　 ) A.{2an} B.{} C.{} D.{log2|an|} 7.[2025·广东中山中学高二月考] 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:‘我羊食半马.’马主曰:‘我马食半牛.’今欲衰偿之,问各出几何?”其意思是:现有羊、马、牛三畜,吃了人家田里的禾苗,禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半.”马主人说:“我的马所吃禾苗数是牛吃的一半.”打算按此比率偿还,牛、马、羊主人各应赔偿多少粟?则马主人应赔偿　　　　斗粟.  8.[2025·山东青岛二中高二调研] 在等比数列{an}中,a3,4a6,0构成等差数列,且a7-a8=4,则数列{an}的通项公式为　　　　.  9.(13分)在各项均为负数的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=. (1)求数列{an}的通项公式. (2)-是否为该数列中的项?若是,为第几项? 10.(13分)若数列{an}满足a1=1,a2=5,对任意的n∈N*,都有an+2=6an+1-9an. (1)证明:数列{an+1-3an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 11.[2025·江苏淮阴中学高二质检] 数列{an}中,a1=1,Sn=a1+a2+…+an,an+1=2Sn(n∈N*),则 (　 ) A.{an}为等差数列 B.{an}为等比数列 C.{Sn}为等差数列 D.{Sn}为等比数列 12.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2-a1=1,则当a3取最小值时,数列{an}的通项公式为(　 ) A.an= B.an=2n-1 C.an= D.an=2n 13.[2025·江苏扬州中学高二月考] 若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”.已知数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=1,则b6+b7+b8=　　　　.  14.[2025·江苏徐州高二期末] 若将公比q不为1的等比数列a1,a2,a3调整顺序后为等差数列,则q的值为　　　　.  15.(多选题)[2025·江苏锡山中学高二质检] 在数列{an}中,若=k(k为常数),则称{an}为“等差比数列”,下列说法错误的是 (　 ) A.k不可能为0 B.“等差比数列”中的项不可能为0 C.等差数列一定是“等差比数列” D.等比数列一定是“等差比数列” 16.(15分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=. (1)求证是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)若不等式·λ≥(2n-7)(3n-1)对任意n∈N*恒成立,求实数λ的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2　等比数列的通项公式 第1课时　等比数列的通项公式 1.D　[解析] 由题知等比数列的首项为1,公比为-,则等比数列的通项公式为an==(-1)n+1.故选D. 2.C　[解析] 设这5个数组成的等比数列为{an},公比为q,则a1=1,a5=81.由a5=a1·q4,即81=1×q4,解得q=±3,故选C. 3.D　[解析] 根据题意,数列{an}的通项公式为an=2×3-n(n∈N*),当n=1时,a1=2×3-1=,当n≥2时,==,故数列{an}是以为首项,为公比的等比数列.故选D. 4.D　[解析] 由a5=4,a7=8可得{an}的公比q满足q2==2,故a11=a7q4=8×4=32,故选D. 5.C　[解析] 因为an+1=an,a1=≠0,所以an≠0,=,则{an}是首项为,公比为的等比数列,故an=,令=,得n=5,故选C. 6.AB　[解析] 设数列{an}的公比为q.对于A,2an=2a1qn-1,则=q,所以数列{2an}是公比为q的等比数列;对于B,=q2n-2=(q2)n-1,则=q2,所以数列{}是公比为q2的等比数列;对于C,=,当n≥2时,==,不是一个非零常数,所以数列{}不是等比数列;对于D,当n≥2时,=,不是一个非零常数,所以数列{log2|an|}不是等比数列.故选AB. 7.　[解析] 设羊主人应赔偿a1斗粟,马主人应赔偿a2斗粟,牛主人应赔偿a3斗粟,由题意得a1,a2,a3构成公比为2的等比数列,且a1+a2+a3=5,则a1+2a1+4a1=7a1=5,所以a1=,所以马主人应赔偿2a1=(斗)粟. 8.an=　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a3,4a6,0构成等差数列,所以8a6=a3,即=q3=,所以q=,又因为a7-a8=4,所以a1(q6-q7)=a1=4,解得a1=512,则an=a1qn-1=. 9.解:(1)因为2an=3an+1,所以=,数列{an}是公比为的等比数列, 又a2·a5=,所以=,由于各项均为负数, 则a1=-,故an=-. (2)设an=-,则-=-,即=,解得n=6, 所以-是该数列中的项,为第6项. 10.解:(1)证明:由an+2=6an+1-9an,得an+2-3an+1=3an+1-9an=3(an+1-3an),且a2-3a1=5-3=2, 所以数列{an+1-3an}为等比数列,其首项为2,公比为3. (2)由(1)得an+1-3an=2×3n-1, 等式左右两边同时除以3n+1可得-=,即-=, 又=,所以数列为等差数列,其首项为,公差为, 所以=+(n-1)×=, 所以an=×3n=(2n+1)×3n-2. 11.D　[解析] 因为an+1=2Sn(n∈N*),所以当n≥2时,an=2Sn-1,两式相减可得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an(n≥2),可得an+1=3an(n≥2),即=3(n≥2).又a1=1,当n=1时,a2=2S1=2,所以=2,所以数列{an}的通项公式为an=故数列{an}既不是等差数列也不是等比数列,所以A,B错误.当n≥2时,Sn=an+1=3n-1,又S1=a1=1适合上式,所以Sn=3n-1(n∈N*),则=3,所以数列{Sn}是公比为3的等比数列,故D正确,C错误.故选D. 12.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q(q>0),因为a2-a1=1>0,an>0,所以a1q-a1=1,且q>1,所以a1=,则a3=a1q2===q+1+=q-1++2≥2+2=4,当且仅当q-1=,即q=2时,等号成立,此时a1=1,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.故选B. 13.32　[解析] 由题意可知,若数列{an}为“梦想数列”,则-=0,可得=,所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列.若各项均为正数的数列为“梦想数列”,则=,所以=2,即数列{bn}是公比为2的等比数列,因为b1+b2+b3=1,所以b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32. 14.-2或-　[解析] 根据题意得a2=a1q,a3=a1q2,3个数a1,a2,a3调整顺序后为等差数列,由q≠1,分三种情况讨论:①调整顺序后3个数依次为a2,a3,a1或a1,a3,a2,则有a1+a2=2a3,即a1+a1q=2a1q2,可得1+q=2q2,解得q=-或q=1(舍);②调整顺序后3个数依次为a2,a1,a3或a3,a1,a2,则a2+a3=2a1,即a1q+a1q2=2a1,可得q+q2=2,解得q=-2或q=1(舍);③调整顺序后3个数依次为a3,a2,a1,则a1+a3=2a2,即a1+a1q2=2a1q,可得1+q2=2q,解得q=1(舍).综上可得q=-2或q=-. 15.BCD　[解析] 当k=0时,根据“等差比数列”的定义,有=0,即有an+2-an+1=0,这与分母不为0矛盾,∴k≠0,故选项A中说法正确;当an=n-1时,==1为常数,∴数列{an}为“等差比数列”,且a1=0,故选项B中说法错误;当数列{an}为非零常数列时,数列{an}既是等差数列又是等比数列,但an+1-an=0,此时数列{an}不是“等差比数列”,故选项C,D中说法错误.故选BCD. 16.解:(1)由an+1=,可得==1+,即+=3,所以是以+=为首项,3为公比的等比数列, 所以+=×3n-1=,所以an=. (2)不等式·λ≥(2n-7)(3n-1)对任意n∈N*恒成立, 即2n+1×·λ≥(2n-7)(3n-1)对任意n∈N*恒成立, 即λ≥对任意n∈N*恒成立. 设f(n)=(n∈N*),由f(n+1)-f(n)=-=, 当n≤4时,f(n+1)-f(n)>0, 即f(n+1)>f(n), 即f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5); 当n≥5时,f(n+1)-f(n)<0, 即f(n+1)<f(n), 即f(5)>f(6)>f(7)>…. 所以f(n)≤f(5)=, 所以λ≥,故λ的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $