4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习通过基础认知、能力应用、综合拓展三层设计，以等比数列概念为核心，从定义辨析到性质应用再到跨知识综合，构建"概念理解-运算推理-模型应用"的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|等比数列定义、等比中项、基本性质|选择题（如第1题等比中项计算）、填空题（第8题前5项积），强化概念辨析与基础运算，培养抽象能力| |能力应用层|等比数列判断、简单证明、性质综合|解答题（第9题判断数列类型、第10题证明等比数列），突出推理能力与逻辑表达，发展数学思维| |综合拓展层|跨知识结合（等差与等比）、实际情境应用、充要条件分析|选填题（第4题等差等比综合、第13题三角形边长等比数列）、解答题（第16题等比数列判定），体现模型意识与创新意识，提升综合应用能力|

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 1.C　[解析] 等比数列{an}中,a4=48,a6=12,则a4与a6的等比中项为±=±24.故选C. 2.D　[解析] 由等比数列的定义知,数列中不能出现为0的项,且公比不为0,所以a≠0且1-a≠0,所以a≠0且a≠1.故选D. 3.A　[解析] 当G=a=b=0时,满足G=,不满足G是a,b的等比中项;当G是a,b的等比中项时,如a=1,b=4,G=-2,但不满足G=,故“G=”是“G是a,b的等比中项”的既不充分又不必要条件,故选A. 4.D　[解析] 因为1,a,3成等差数列,所以a==2.因为1,b,4成等比数列,所以b2=1×4,所以b=±2,所以==±1.故选D. 5.A　[解析] 设所加的常数为x,则20+x,50+x,100+x成等比数列,所以20+x,50+x,100+x均不为0,且(50+x)2=(20+x)×(100+x),解得x=25,所以这个数列的公比为==.故选A. 6.ACD　[解析] 设{an}的公比为q(q≠0),则=q.A中,==q(常数),故A正确;B中,若q=1,则an+1-an=0(等比数列的各项不能为0),故B错误;C中,==(常数),故C正确;D中,=·=q2(常数),故D正确.故选ACD. 7.①③　[解析] 根据等比数列与指数函数的关系知,数列an=4n图象上的点都在函数y=4x的图象上,故①正确;数列an=4n的图象是一系列分散在函数y=4x的图象上的点,所以函数y=4x图象上存在满足数列通项公式an=4n的点(n,an),故③正确,②④错误.故填①③. 8.4　[解析] 由题意得an>0,根据等比中项性质得a1a5=a2a4==2,∴a3=,∴T5==4. 9.解:(1)记数列为{an},则a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…, ∵==3(n≥2,n∈N+),∴数列{an}为等比数列,且公比为3. (2)记数列为{bn},则b1=-1,b2=1,b3=2,…, ∵=-1,=2,∴≠,∴数列{bn}不是等比数列. (3)当a=0时,数列为0,0,0,0,…,不是等比数列; 当a≠0时,因为==-1, ∴数列a,-a,a,-a,…是等比数列,且公比为-1. 综上所述,当a=0时,数列a,-a,a,-a,…不是等比数列; 当a≠0时,数列a,-a,a,-a,…是等比数列. 10.证明:因为数列{an}中,a1=,an+1=(n∈N*), 所以===2,且-1=3-1=2, 所以是等比数列,其公比为2,首项为2. 11.A　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a1a2a3=1,所以=1,解得a2=1,又++=,所以有由{an}是递增等比数列,解得所以q==2,故选A. 12.C　[解析] 由题意可得 可得a2-10a+16=0,解得a=2或a=8,故选C. 13.　[解析] 由题意可设三角形的三边长分别为,a,aq(a>0,q>0).因为三角形的两边之和大于第三边,所以①当q≥1时,+a>aq,即q2-q-1<0,可得1≤q<;②当0<q<1时,a+aq>,即q2+q-1>0,可得<q<1.综上,q的取值范围是. 14.-　[解析] 由题意得,等比数列{an}的连续四项构成集合{-24,-54,36,81},则可知等比数列的项一定为正负相间,公比为负,由于|q|>1,则连续四项中从第二项起每项绝对值大于前一项的绝对值,故集合{-24,-54,36,81}中的这四个数在数列中排列为-24,36,-54,81,则q==-. 15.C　[解析] 由题知an>0,Tn>0.充分性:若T2021T2023>,则(T2022·a2023)>,则>1,即q>1,充分性成立;必要性:若q>1,则>1,则(T2021·a2023)>,则T2021T2023>,必要性成立.是充要条件,故选C. 16.解:设{an},{bn}的公比分别为p,q,p≠q, 因为=(a2+b2)2=(a1p+b1q)2=p2+q2+2a1b1pq,c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=p2+q2+a1b1(p2+q2), 所以-c1c3=2a1b1pq-a1b1(p2+q2)=-a1b1(p-q)2. 因为p≠q,所以p-q≠0, 又a1≠0,b1≠0,所以≠c1c3, 故{cn}不是等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 1.等比数列{an}中,a4=48,a6=12,则a4与a6的等比中项为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.24 B.-24 C.±24 D.30 2.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是 (　 ) A.a≠1 B.a≠0或a≠1 C.a≠0 D.a≠0且a≠1 3.“G=”是“G是a,b的等比中项”的 (　 ) A.既不充分又不必要条件 B.充分且不必要条件 C.必要且不充分条件 D.充要条件 4.[2025·江苏南京一中高二质检] 若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为 (　 ) A.± B. C.1 D.±1 5.[2025·湖北黄冈中学高二月考] 如果将20,50,100各加上同一个常数能组成一个等比数列,那么这个数列的公比为 (　 ) A. B. C. D. 6.(多选题)若{an}是等比数列,则下列数列中是等比数列的是 (　 ) A.{10an} B.{an-an+1} C. D.{anan+1} 7.下列说法正确的是　　　　.(填序号)  ①数列an=4n图象上的点都在函数y=4x的图象上; ②数列an=4n的图象与函数y=4x的图象相同; ③函数y=4x图象上存在满足数列通项公式an=4n的点(n,an); ④数列an=4n图象上可能存在坐标不满足函数关系式y=4x的点. 8.[2025·江苏通州中学高二质检] 已知等比数列{an}的各项均为正数,且a2a4=2,则数列{an}的前5项积T5为　　　　.  9.(13分)判断下列数列是否为等比数列: (1)1,3,32,33,…,3n-1,…; (2)-1,1,2,4,8,…; (3)a,-a,a,-a,…. 10.(13分)已知数列{an}中,a1=,an+1=(n∈N*),证明:是等比数列. 11.[2025·湖南长沙一中高二月考] 在递增等比数列{an}中,a1a2a3=1,++=,则数列{an}的公比为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.8 12.[2025·江苏镇江中学高二调研] 若依次成等差数列的三个实数a,b,c之和为12,而a,b,c+2又依次成等比数列,则a= (　 ) A.2 B.8 C.2或8 D.8或16 13.[2025·山东菏泽一中高二质检] 已知三角形的三边长构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围为　　　　　　.  14.[2025·安徽安庆一中高二调研] 设数列{an}是公比为q的等比数列,|q|>1.若数列{an}的连续四项构成集合{-24,-54,36,81},则公比q=　　　　.  15.[2025·江苏苏州中学高二质检] 各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,前n项积为Tn,则“T2021T2023>”是“q>1”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 16.(15分)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,则数列{cn}是不是等比数列?说明你的理由. 学科网（北京）股份有限公司 $