4.2 等差数列 4.2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、拓展探究三层设计，覆盖等差数列前n项和性质从单一应用到综合创新的完整路径，培养数学运算、逻辑推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|前n项和基本性质（片段和、奇偶项和）|选择填空为主，直接应用公式，强化运算能力| |能力提升|Sn最值、实际应用（降落时间、植树造林）|结合物理情境与实际问题，培养模型意识| |拓展探究|对称数列创新情境、复杂性质综合判断|多选题与探究性解答题，发展创新意识与逻辑推理|

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 1.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S6=10,S12=30,则S18= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.90 B.40 C.50 D.60 2.若无穷等差数列{an}的首项a1>0,公差d<0,数列{an}的前n项和为Sn,则 (　 ) A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.Sn有最大值 D.Sn有最小值 3.已知等差数列{an}共有21项,若奇数项的和S奇=110,则偶数项的和S偶= (　 ) A.100 B.105 C.90 D.95 4.[2025·江苏扬州中学高二月考] 若数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,a4+a9>0,S11<0,则Sn的最小值为 (　 ) A.S5 B.S6 C.S7 D.S8 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=an+2,S5=-35,则当Sn取得最小值时,n的值是(　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 6.(多选题)[2025·湖北黄冈中学高二调研] 已知公差为d的等差数列{an}是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则 (　 ) A.d>0 B.a8=0 C.S15>0 D.S7,S8均为Sn的最大值 7.一物体从1960米的高空降落,如果第1秒降落4.90米,以后每秒比前一秒多降落9.80米,那么落到地面所需要的时间为　　　　秒.  8.[2025·江苏泰州中学高二质检] 已知被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列,即3,8,13,18,…构成数列{an},记数列{an}的前n项和为Sn,则的最小值为　　　　.  9.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值. 10.(13分)某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,从第二年起,每年比上一年多植相同面积的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同面积的土地沙化,具体情况如下表所示: 2018年 2019年 2020年 新植林木面积(单位:公顷) 1000 1400 1800 荒沙地面积(单位:公顷) 25 200 24 000 22 400 而一旦植完,则不会被沙化. (1)每年沙化的土地面积为多少? (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地? 11.[2025·江苏盐城中学高二质检] 已知等差数列{an}的前n项和为377,项数n为奇数,且前n项中,奇数项的和S奇与偶数项的和S偶之比为7∶6,则中间项为 (　 ) A.28 B.29 C.30 D.32 12.[2025·江苏南通海安高二月考] 设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=4,S6=10,则a16+a17+a18= (　 ) A.12 B.14 C.16 D.18 13.[2025·江苏宿迁中学高二质检] 设Sn是等差数列{an}的前n项和,a2=-7,S5=2a1,当|Sn|取得最小值时,n= (　 ) A.1 B.4 C.7 D.8 14.[2025·江苏无锡一中高二质检] 已知公差为-2的等差数列{an},Sn是其前n项和,且S3=30.若对任意n∈N*都有Sn≤Sm,则m的值为 (　 ) A.6 B.7 C.6或7 D.8 15.(多选题)[2025·江苏扬州中学高二质检] 已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若S10<S8<S9,则下列说法正确的是 (　 ) A.当n=8时,Sn最大 B.使Sn<0成立的n的最小值为18 C.|a8+a9|>|a10+a11| D.中的最小项为 16.(15分)如果n项有穷数列{an}满足a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,…,n),则称有穷数列{an}为“对称数列”. (1)设数列{bn}是项数为7的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4成等差数列,且b2=3,b5=5,依次写出数列{bn}的每一项. (2)设数列{cn}是项数为2k-1(k∈N*且k≥2)的“对称数列”,且满足|cn+1-cn|=2,记Sn为数列{cn}的前n项和. ①若c1,c2,…,ck构成递增数列,且ck=2023.当k为何值时,S2k-1取得最大值? ②若c1=2024,且S2k-1=2024,求k的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 1.D　[解析] ∵{an}为等差数列,∴S6,S12-S6,S18-S12成等差数列,∵S6=10,S12-S6=20,∴S18-S12=2(S12-S6)-S6=30,∴S18=30+30=60.故选D. 2.C　[解析] ∵无穷等差数列{an}的首项a1>0,公差d<0,∴{an}是递减数列,∴{an}的前n项和Sn随n的增大先增大,后减小,∴Sn有最大值,且{Sn}不单调.故选C. 3.A　[解析] 由题意得S奇==11a11=110,则a11=10,又S偶==10a11,所以偶数项的和为10×10=100.故选A. 4.B　[解析] 由等差数列性质可得S11==11a6<0,即a6<0,又a4+a9=a6+a7>0,所以a7>0,可得数列{an}的公差d>0,且前6项均为负值,所以Sn的最小值为{an}的前6项和S6.故选B. 5.A　[解析] 由an+1=an+2,可知数列{an}是等差数列,其公差d=an+1-an=2,由S5=5a1+10d=-35,解得a1=-11,则Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36,故当Sn取得最小值时,n的值是6.故选A. 6.BD　[解析] 因为等差数列{an}是递减数列,所以an+1-an<0,所以d<0,故A错误;因为S7=S8,所以a8=S8-S7=0,故B正确;S15==15a8=0,故C错误;由题意得所以S7=S8≥Sn(n∈N*),故D正确.故选BD. 7.20　[解析] 物体在降落过程中,每一秒降落的距离(单位:米)依次构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.设物体经过t(t∈N*)秒后降落到地面,则4.90t+×9.80=1960,可得t=20,所以落到地面所需要的时间为20秒. 8.21　[解析] 由题意可知,数列{an}是以3为首项,5为公差的等差数列,则Sn=3n+×5=n2+n,所以==5n++1≥2+1=21,当且仅当5n=,即n=2时等号成立,故的最小值为21. 9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-14. (2)方法一:由d=3知{an}是递增数列, 当n≤4时,an<0;当n≥5时,an>0. 所以S1>S2>S3>S4<S5<…, 所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=4a1+×d=-26. 方法二:Sn=na1+d=n2-n=-,n∈N*, 所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=-26. 10.解:(1)依题意,从第二年起,每年比上一年多造林400公顷,其中2019年新植林木面积为1400公顷, 故2019年原有荒沙地面积为25 200-1400=23 800(公顷),实际荒沙地面积为24 000公顷, 所以2019年沙化土地面积为24 000-23 800=200(公顷), 同理可得2020年沙化土地面积也为200公顷, 所以每年沙化的土地面积为200公顷. (2)设2020年及其以后各年的新植林木面积(单位:公顷)依次为a1,a2,a3,…,an, 则an=1800+(n-1)×400=400n+1400,所以从2020年起,前n年新植林木的面积总和Sn=1800n+×400(公顷), 由(1)知,每年沙化的土地面积为200公顷, 依题意,令Sn=24 000+200n,化简得n2+7n-120=0,解得n=-15(舍去)或n=8,2020+8-1=2027, 故到2027年可绿化完全部荒沙地. 11.B　[解析] 因为n为奇数,所以S奇=,S偶=,则==,解得n=13,所以S13==13a7=377,所以a7=29,故所求的中间项为29.故选B. 12.B　[解析] 由等差数列前n项和的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12,S18-S15成等差数列,设此数列为{bn},由S3=4,S6-S3=6,可知{bn}的首项为4,公差为2,所以a16+a17+a18=S18-S15=b6=4+5×2=14.故选B. 13.D　[解析] 设数列{an}的公差为d,由已知得解得 则an=-10+3(n-1)=3n-13,Sn=-10n+×3==.当n≤4时an<0,当n≥5时,an>0,所以当n≤4时,Sn随n的增大而减小,当n≥5时,Sn随n的增大而增大,又S1=a1=-10,S7=-7,S8=4,所以|S1|>|S7|>|S8|,所以当n=8时,|Sn|最小.故选D. 14.C　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则d=-2,所以S3=3a1+×(-2)=30,解得a1=12,所以Sn=na1+×(-2)=-n2+13n=-+,又n∈N*,所以当n=6或n=7时,Sn最大,即Sn≤S6或Sn≤S7,故若对任意n∈N*都有Sn≤Sm,则m的值为6或7.故选C. 15.BD　[解析] 因为所以又{an}为等差数列,所以{an}为递减数列,当n=9时,Sn最大,故A错误;由以上分析可得a1>0,d<0,则a1>a2>a3>…>a9>0>a10>a11>…,S17==17a9>0,S18==9(a9+a10)<0,则当1≤n≤17时,Sn>0,当n≥18时,Sn<0,所以使Sn<0成立的n的最小值为18,故B正确;由S10<S8,可得a9+a10<0,所以a8+a11<0,则a10+a11+a8+a9<0,又a10+a11-(a8+a9)=4d<0,所以|a8+a9|<|a10+a11|,故C错误;当1≤n≤9或n≥18时,>0,当9<n<18时,<0,由0>a10>a11>…>a17,得S10>S11>S12>…>S17>0,所以中的最小项为,故D正确.故选BD. 16.解:(1)因为数列{bn}是项数为7的“对称数列”,所以b5=b3=5, 又因为b1,b2,b3,b4成等差数列,其公差d=b3-b2=2, 所以b1=b7=b2-d=1,b4=b3+d=7,b6=b2=3, 所以数列{bn}的7项依次为1,3,5,7,5,3,1. (2)①由c1,c2,…,ck构成递增数列,数列{cn}是项数为2k-1的“对称数列”且满足|cn+1-cn|=2, 可知c1,c2,…,ck构成公差为2的等差数列,ck,ck+1,…,c2k-1构成公差为-2的等差数列, 故S2k-1=c1+c2+…+c2k-1=2(ck+ck+1+…+c2k-1)-ck=2-2023=-2k2+4048k-2023, 所以当k=-=1012时,S2k-1取得最大值. ②因为|cn+1-cn|=2, 即cn+1-cn=±2, 所以cn+1-cn≥-2,即cn+1≥cn-2, 于是ck≥ck-1-2≥ck-2-4≥…≥c1-2(k-1)(当且仅当c1,c2,…,ck构成公差为-2的等差数列时,等号同时成立). 因为数列{cn}是“对称数列”, 所以S2k-1=c1+c2+…+c2k-1=2(c1+c2+…+ck-1)+ck≥(2k-1)c1-2(k-2)(k-1)-2(k-1)=-2k2+4052k-2026, 因为S2k-1=2024,所以-2k2+4052k-2026≤2024, 解得k≤1或k≥2025, 又k≥2,k∈N*,所以k≥2025,k∈N*, 所以k的最小值为2025. 学科网（北京）股份有限公司 $