4.2.3 等差数列的前n项和 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和，从定义出发衔接通项公式，通过倒序相加思想推导求和公式，构建“概念-公式-性质-应用”的学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 其特色在于整合思维导图梳理知识，分层训练（基础、中档、拔高）对接高考，融入《九章算术》等数学文化案例，培养逻辑推理与数学运算素养。学生通过典例与变式提升解题能力，教师可依托一体化内容设计提高教学效率。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第四章 数列 4.2.3 等差数列的前𝒏 项和 本节理解等差数列前 n 项和公式的推导思路，掌握两个求和公式，能选用公式求解等差数列前 n 项和相关问题，体会倒序相加思想，提升数学运算、逻辑推理素养。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括173张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 数列的前 项和 1 数列的前 项和 一般地，对于数列,把称为数列的前项和，记作 . 4 2 前项和与通项 的关系 若数列的前项和为，则 . 当 时， ①, ②. 得 . 因此与的关系式为 5 特别提醒 关于 是否分段表示的说明 1.若中令求得的与利用求得的 相同，则 不分段，数列的通项公式可用 表示. 2.若中令求得的与利用求得的 不相同， 则数列的通项公式采用分段形式表示，即 6 学思用·典例详解 例1-1 已知数列的前项和，则____， ____. 10 【解析】 . 当时， . 当时， . 又（一定要检验），所以 . . . 7 例1-2 已知（寻找题干中隐含的前项和） ，则 _ _______________. 【解析】当时， , 当时， , ,则 . 又 不满足上式， . . 8 知识点2 等差数列的前 项和公式 首项为，末项为，项数为的等差数列的前项和为 . 首项为，公差为，项数为的等差数列的前项和为 . 9 辨析比较 两个等差数列的前<m></m>项和公式的比较 公式 突出特征 选用原则 联系 公式反映了 与首项、末项的关系, 体现了等差数列中任意第 项与倒数 第 项的和等于首项与末项的和的内 在性质 已知首项、末 项、项数时选 用此公式 两个公式共涉及 ，,,, 五 个基本量,依据 方程思想，可以 知三求二 公式反映了等差数列前 项和与首 项、公差之间的关系，体现了前 项 和公式为关于 的二次函数的特征 已知首项、公 差、项数时选 用此公式 10 图4.2.3-1 知识剖析 我们可以根据梯形面积公式的两 种推导方法（“补形”和“分割”）理解等差数 列的两个前 项和公式，如图4.2.3-1所示. 11 学思用·典例详解 例2-3 ［教材改编P149例1］已知数列 为等差数列. （1）若,,求 ; 【解析】根据等差数列的前项和公式可得， . （2）若,,求 . 【解析】根据等差数列的前 项和公式可得， . 12 例2-4 已知等差数列中，,,,则 ____. 12 【解析】,整理得,解得 或 （舍去），即 . 例2-5 记等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差 等于 ( ) B A.2 B.3 C.6 D.7 【解析】 由 解得 . 由，所以 ， 解得 . 13 释疑惑 重难拓展 知识点3 等差数列的前 项和的函数特性 1 等差数列的前 项和公式与二次函数的关系 在等差数列中， . 令，，得 . 当时，是关于的“二次函数”，那么点 在二次函数 的图象上； 当时，是关于的“一次函数”，此时 或“常函数” ，此时，点是直线 上一系列孤立的点. 14 2 前 项和公式法判定等差数列 若数列的前项和形如 ，则 当时， ； 当 时， . 又，所以数列的通项公式为 . 于是有 （常数），故数 列是以为首项， 为公差的等差数列. 15 知识剖析 若数列的前项和,其中,,为常数，那么 一定是等差数 列吗？ 当时，该数列是以为首项，为公差的等差数列；当 时，该 数列不是等差数列（数列从第2项起是等差数列）. 由此我们得到等差数列的另一种判定方法——前项和公式法：若数列 的前 项和为，则为等差数列（, 为常数）. 16 3 无穷等差数列前 项和的最值 设无穷等差数列的首项为，公差为 ，则 条件 最值的存在情况 有最大值 ，无最小值 数列 只有前面的有限项为非负数，从某项开始所有项均 为负数，故 有最大值，无最小值 数列 只有前面的有限项为负数，从某项开始其余项均为 非负数，故 有最小值，无最大值 有最小值 ，无最大值 为常数列，的最值取决于 的取值: 当时，有最小值 ,无最大值； 当时，有最大值 ,无最小值 17 说明 当公差不为零时，公差决定的单调性，单调性决定 有最大值还是 有最小值，首项和公差共同决定 在哪一项取到最值. 18 学思用·典例详解 例3-6 已知数列的前项和为 . （1）若，则 是等差数列吗? 【解析】当时，，且 ， 故数列 是首项为3，公差为0的等差数列. （2）若，则 是等差数列吗? 【解析】当时， , 当时， ，不符合上式. 故数列 不是等差数列. 19 例3-7 已知等差数列,14,12, 的前项和为 . （1）当取得最大值时， ______; 8或9 【解析】 由 得解得 , 即当取得最大值时，或 . . 由于,所以当或时， 最大. 20 （2）当取得最小正值时， _______. 1或16 【解析】 , 由知当或时， 取得最小正值. 21 【解析】的首项,公差，所以其通项公式为 . 22 例3-8 若数列的通项公式为，则取得最大值时， ________. 14或15 【解析】 由题意知公差，首项 ， 则 . 考虑函数的图象是开口向下，对称轴为直线 . 又为正整数，与最接近的正整数为14或15，故取得最大值时，或 . 因为数列的通项公式为，所以数列 是首项为42，公差 为的等差数列，且前14项均大于0，，所以当取到最大值时， 或 . 23 知识点4 等差数列的前 项和的性质 利用等差数列的通项公式及前项和公式不难推证等差数列的前 项和具有如下 性质. （1）项数的“等和”性质： . （2） , . . . . . 24 （3）与项数有关的“奇偶”性质： ①若等差数列的项数为，则 （， 分别表示所有奇数项的和与所 有偶数项的和）， ； ②若等差数列的项数为，则 ， . （4）已知等差数列和的前项和分别为，，则 ， . （5）“片段和”性质：等差数列中，公差为，前项的和为，则 ， ，， ，， 构成公差为 的等差数列. . . 25 （6）由公式得，因此数列{ } 是等差数列，首项为，公差为等差数列 公差的一半. 由等差数列的函数特性知，点 在一条直线上.从而， . （7） . ，，且 . 特别地，若，则；若， ，则 . 26 学思用·典例详解 例4-9 (2026·江苏省马坝高级中学调研)记等差数列的前项和为 ， ，，则 ( ) C A.120 B.140 C.160 D.180 【解析】根据题意，数列为等差数列，因为，所以 ，所 以，所以 ． 例4-10 在项数为 的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和 为150，则 等于( ) B A.9 B.10 C.11 D.12 【解析】由性质知，，解得 . 27 例4-11 已知等差数列中，，则，， 成( ) D A.公差为2的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 D.公差为8的等差数列 【解析】 因为，所以等差数列的公差 ，所以 ，， ， ， ，所以，， 成 公差为8的等差数列. 因为,所以等差数列的公差,由性质（5）知, , 构成公差为 的等差数列，则公差为8. 28 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 由前项和求通项 1 已知与 的关系式 例12 ［教材改编P154 T9］已知数列的前项和为 ，则这个数列的 通项公式为____________. 29 【解析】 当时， ; 当时， . 又当时， ，满足上式，（【易错点】此步不可遗漏，一定要 检验是否满足由 得出的公式） 故数列的通项公式为.（【注意点】满足由 得出 的公式，故通项公式不需要用分段形式表示，对应知识点1特别提醒） . . . . 30 由可知，数列 为等差数列. 设等差数列的公差为，可得，则， ，解得 ， ， 则 . 故等差数列的通项公式为 . 由可知，数列 为等差数列. ，，则公差 ， 所以数列的通项公式为 . 31 名师点评 熟悉等差数列的前 项和公式的特征，并在客观题中合理运用，可以达到 快速解题的目的.另外，熟记下列常见的等差数列的前 项和公式有助于快速解题： ； ； ； . 32 由求 的一般步骤 33 【学会了吗丨变式题】 1.已知数列的前项和为,且满足,则数列 的通项公式 为_ ________________. 【解析】 由条件得 . 当时, ; 当时, . 而,故 34 2 已知与 的关系式 例13 已知数列的前项和为，且满足， . （1）求证：数列{ }是等差数列； 【解析】当时， ， ， . ， 两边同除以 ，得 ，即 ， 数列{ }是等差数列. 35 （2）求 的通项公式. 【解析】， ， ， . 当 时， . 而当时， ， 故的通项公式为（不满足由 得出 的公式，故结果需要用分段形式表示） . . 36 已知与的关系式求 的两种途径 （1）由关系式消去，建立与（或）之间的关系式，进而求 ； （2）由关系式消去，建立与（或）之间的关系式求，进而求 . 37 【学会了吗丨变式题】 2.已知数列的各项均为正数，前项和为，且满足 . （1）求证：数列 为等差数列； 【答案】当时，有，即 ， 解得或 （舍去）. 当时，有， ，两式相减得 ，即 ， 因此或 . 若，则，而，所以，这与数列 的 各项均为正数矛盾， 所以，即，因此数列 为等差数列. 38 （2）求数列 的通项公式. 【答案】由（1）知，公差，所以数列 的通项公式为 ，即 . 39 题型2 与等差数列前 项和有关的基本量求解 例14（1）已知是等差数列，，其前10项和，则公差 _ _; 【解析】 由题意得解得 因为,所以，所以 . 40 （2）设为等差数列，公差，为其前项和．若，则 ____. 10 【解析】 因为,所以,又 ，所 以 . 由，得 ,而 ,则 . 41 名师点评 （1）利用等差数列的通项公式与前 项和公式列方程（组）求基本量是解 决等差数列问题的基本方法.（2）一般地，在等差数列 中，若 ,则有 ，进而利用等差数列的性 质可知,, , 中的中间一项或中间两项之和为0. 42 例15 设为等差数列的前项和，若,,则 ____. 15 思路一 思路二 思路三 43 【解析】 设等差数列的公差为 , 则,即 , ,即 ②. 联立①②两式解得, , 故 . 因为,所以 ,因为 ,所以,所以公差 ，则 . 44 因为数列为等差数列，所以可设其前项和 . 由条件得解得 所以 . 故 . 45 在等差数列问题中共涉及五个量：，，，及 .利用等差数列的通项公式及前 项和公式即可“知三求二”.利用方程思想求出基本量和 是解决等差数列问题的 基本途径. 46 【学会了吗丨变式题】 3.已知等差数列的前项和为，若，，则数列 的公差为 ( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】设公差为,由题意知， ， 故，而，故 ， 故 . 47 题型3 等差数列前 项和性质的应用 1 片段和问题 例16 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则该数列的前110项和为 _______． 思路点拨 本题解法颇多，既可以设出基本量，构建方程组求出与 ，又可以利 用等差数列的前项和公式简化运算，还可以利用等差数列前 项和的 性质求解. 48 【解析】 （方程思想，直接应用） 设等差数列为，首项为 ，公差为 ，前项和为 , 则 解得 故 . 49 （巧用）设该等差数列的前 项和为 ， 则解得 故 ， 所以 . 50 设该等差数列的前项和为，所以数列{ }也是等差数列，（性质（6） 的应用） 且，， 三点共线， 于是有，将，代入，即得 . . . 51 教材深挖 本题可视为教材第154页【习题4.2（2）】第12题的进一步探究. （巧用片段和性质） 设该等差数列的前项和为,由题意知数列 ， ，， ，，成等差数列，设其公差为 ，前 10项和为，解得 ， 所以 ，所以 ． . . . . 52 设该等差数列为,前项和为 , ， 又 ， 所以 ， 所以 ． 53 根据等差数列的前 项和构造新等差数列的方法 已知等差数列的前项和 ，可以构造出新的等差数列，从而利用等差数列的相 关知识解题. 常见的构造方法有：，，， 是等差数列，公差为数列 的公差的倍；（2）数列{}是等差数列，公差为数列的公差的 .事实上， （，为常数）}为等差数列，且有，， 成等差数列，其 实质是，， 成等差数列的变形. 54 【学会了吗丨变式题】 4.在等差数列中，，，则 _____. 210 【解析】，，成等差数列，，， ,70， 成等差数列,, . 55 2 等差数列的奇、偶项和（比值）问题 例17 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为 ，则该数列的公差为___. 5 思路点拨 利用等差数列的前项和公式列方程组求解或利用等差数列前 项和的 性质求解. 56 【解析】 设该等差数列的首项为，公差为 ，由题意可得 解得 . 记该等差数列的前12项中偶数项的和为，奇数项的和为，公差为 . 由已知条件，得解得 （也可不求和 的值，用比例 性质求解.即由，得.又，所以 ，解得 ） 又，所以 . . . 57 设该等差数列为,前项和为,公差为 . 因为,所以 . 又，所以， ， 则公差 . 58 3 前 项和之比与项之比的转化 母题 致经典·母题探究 例18 (2026·江苏省常州市第一中学调研)已知两个等差数列，的前 项和分 别为，，若，则 ( ) B A. B. C. D. 思路点拨 利用等差数列前项和的性质，将两项之比化归为相应的前 项和之比， 再利用条件求值；或由条件分别设出与 ，即可求相应数列的各项，作比即得. 59 【解析】 利用等差数列的前项和的性质得 . 由条件可设， ，（此处常错误地设 成,.这样则与等差数列的前 项和的形式 矛盾） 则 ， . 所以 . 名师点评 相比较方法1，方法2不仅运算稍繁，而且在由条件设出与 时易出错， 但方法2却有方法1不可替代的功效. . . 60 子题 子题1 已知，分别是等差数列，的前项和，且 ，则 ___. 【解析】因为 ，所以 . 61 子题2 已知两个等差数列，的前项和分别为，，若，则 ___. 【解析】由条件可设， ， 则 ， ， 所以（由于与 的下标不同，因此母题中的方法1就无用武之地了，此时母题中 的方法2便可大显身手） . . . 62 求解等差数列前 项和之比的两种思路 （1）涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前 项和的性质来求解. （2）涉及两个等差数列的前 项和之比，一般先利用公式将它转化为两项和之比， 再求解. 63 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·上海市吴淞中学检测)已知两个等差数列和的前项和分别为和 ， 且，则使得为整数的正整数 的个数是___. 5 【解析】由等差数列前项和的性质，得 .因为 ,所以.要使 为 整数，则必为整数，即 为12的约数.因为12的约数有1，2，3，4，6，12，又 为正整数，所以 的取值为1,2,3,5,11,共5个. 64 题型4 等差数列前 项和的最值问题 例19 在等差数列中，若，，则数列 的前________项的和最大. 14或15 【解析】 设数列的公差为,由 ，得 ， 即，所以 . 解不等式组 即得 . 故当或时， 最大. 65 设数列的公差为 , 由可得， ， 所以 . 由知，结合二次函数图象的对称性及，可得当或 时， 最大. 66 设数列的公差为,由 知， ，即，所以 . （注意本题所给数列存在值为0的项，因此当最大时， 的值有两个 （14或 ） 又，所以 ， 故当或时， 最大. 由，及对应的二次函数图象的对称性可知，当 或时， 最大. . . 67 名师点评 一般地，在等差数列中，若，且 ，则: ①若为偶数，则当时， 最大； ②若为奇数，则当或时， 最大. 68 求等差数列前项和 的最大（小）值的常用方法 1.通项法 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项. 若，，则必有最大值，其可用不等式组 来确定； 若，，则必有最小值，其 可用不等 式组 来确定. 69 2.二次函数法 在等差数列 中， .由二次函数 的图象与性质及知，当取最接近的正整数时， 取得最大值 （或最小值）.值得注意的是，最接近 的正整数有时有1个，有时有2个. 70 【学会了吗丨变式题】 6.在等差数列中，若，公差，则前项和 取得最大值时正整数 ( ) B A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.7或8 71 【解析】 因为，，所以 . 而，所以，所以 . 故，均为 的最大值. 因为，，所以，则 ， 所以，所以 . 由知，当或时， 最大. 因为， ， 所以 ， 所以，所以 . 对应的二次函数的图象开口向下（ ，即对应的二次函数二次项系数小于0）, 72 图D 4.2.3-1 如图D4.2.3-1所示，利用二次函数图象的对称性及 知，当 或时， 取得最大值. 73 题型5 求数列的前 项和 例20 在等差数列中,,,求数列的前 项和. 给什么得什么 由等差数列中，,,可知公差小于0， 为递 减数列，则数列中从某一项开始，以后的每一项都小于0. 求什么想什么 要求的前 项和，需明确哪些项是正数，哪些项是负数. 差什么找什么 以正负项的“分界点”为标准，求得分界项，进而分类讨论，求得结 果. 74 【解析】等差数列的公差为 ，其通项公式为 . 令,即,解得 （寻找“分界点”是解决本题的关键）,即数列的 前21项是非负数,从第22项开始都是负数. 记,则有 设,分别表示数列，的前项和，则 . 当时, ; 当时, ， . . 75 因为 ,所以 . 故数列的前 项和 名师点评 本题中，虽然数列不是等差数列,但当或 时相应的数列 分别是等差数列，因此应分段求其前项和.在求当时的前 项和时，巧妙地利 用 ，比分前后两部分求和要简捷得多. 需要注意:（1）本题一个容易出错的地方是当时，直接把当作 ，实际上 当时是一个变量;（2）当所求的前 项和的表达式不能用统一的形式表示时， 其结果要写成分段的形式. 77 求数列的前 项和的方法 1.一般地，数列与数列是两个不相同的数列，只有数列 中的每一项都 是非负数时，它们表示的才是同一数列.因此，求数列的前 项和时，应先弄清 取什么值时或 ,去掉绝对值符号再求和.#1.2 78 2.一般地，如果数列为等差数列，为其前项和, ， 那么有： （1）若,,则存在,使得, ,则有 （2）若,,则存在,使得, ,则有 #1.3.2 79 【学会了吗丨变式题】 7.等差数列满足，，其前项和为 ． （1）求数列 的通项公式； 【答案】设等差数列首项为，公差为 , 则解得所以 . 80 （2）求 的值． 【答案】 当时， . 当 时， . 81 故 所以 . 由题意知，,,, ,所以 . 题型6 各种（非等差）数列求和 1 分组求和 母题 致经典·母题探究 母题探源 分组求和的基本方法 根据加法的交换律与结合律知，分组求和的基本方法有：邻项分组或奇偶项分组或 分段求和等. 83 例21 若数列的通项公式是，则 ( ) B A.45 B.65 C.69 D. 思路点拨 由数列通项公式的特征，可邻项分组求和. 【解析】由 知， ，则 . 84 子题 你能求出例21中数列的前项和 吗？ 【解析】当 为偶数时， . 当 为奇数时， . 故 85 2 裂项相消法 母题 致经典·母题探究 例22 数列的通项公式为，若它的前项和为10，则 的值为_____. 120 【解析】 ， 于是数列的前 项和 . 由条件得，，解得 . 86 命题探源 本题在求解过程中不难发现对 进行分母有理化后可以转化成 ，累加求和时能两两抵消，这种将数列的通项分解，使之求和时能消去 一些项，最终达到求和的目的的方法称为裂项相消法，它是数列求和的一种重要方法. 87 子题 新定义 军倒数 定义为个正数，， ， 的“均倒数”.若已知正项 数列的前项的“均倒数”为，且 ，则 ( ) D A. B. C. D. 88 【解析】设的前项和为，由题意得， ， . 当时， ； 当时， . 也适合上式， ， . . 89 利用裂项相消法求和的注意点 裂项相消法求和的关键是能将数列的通项裂为两个结构相同的式子之差的形式.求和 时或是相邻项相消求和，或是隔项相消求和，需要在前后多呈现几项，找出相消的 规律，确保正确求和. 90 常见的裂项类型与方法如下： ； ； ； ； . 91 【学会了吗丨变式题】 8.已知数列与，若，且对任意正整数满足，数列 的前项和 . （1）求数列， 的通项公式； 【答案】因为对任意正整数满足，所以 是公差为2的等差数列， 又，所以，故 . 当时， . 当时， ， 对 不成立. 所以数列的通项公式为 92 （2）求数列{}的前项和 . 【答案】由（1）知，当时，，当 时， ，所以 .当时仍成立，所以对任意正整数 成立，故 . 93 3 倒序相加法 例23 函数对任意，都有.（变量与 的和等于1， 而它们对应的函数值的和等于一个常数，这是解决问题的突破口） （1）求 的值. 【解析】 , . . . 94 （2）数列满足，数列 是等差 数列吗？请给予证明. 【解析】令，得 , 即 . 又 ， , 两式相加，得 ， , . 又 , 故数列 是等差数列. 95 倒序相加法求数列前 项和 1.倒序相加法实际上是一次函数图象中心对称性的反映，即若函数 的图象关于 点中心对称，则，对应到等差数列 中，则是 . 2.若一个数列满足任意的第项与倒数第 项的和等于首项与末项的和，则求该数列 的前 项和常用倒序相加法. 96 4 周期数列求和 例24 定义函数如表格所示，数列满足，，若 ， 则 ( ) 1 2 3 4 5 6 3 5 4 6 1 2 B A.7 069 B.7 079 C.7 089 D.7 179 97 【解析】因为，由表格及 知， ， ， ， ， ，， ， 所以数列 是周期为6的周期数列. 由 ，得 . 名师点评 对于周期数列，常通过求出一个周期内各项的和，进而得数列的前 项和. 98 题型7 等差数列前 项和的实际应用 例25 从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，第 二天售出25件，第三天售出40件，以后每一天售出的服装都比前一天多15件，直到4 月12日日销售量达到最大，然后每一天售出的服装都比前一天少9件. 99 （1）记从4月1日起该款服装日销售量为，销售天数为，，求 关于 的函数关系式. 【解析】设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列.由题意知，数列， ， ，是首项为10，公差为15的等差数列，所以 且 . 而，，， ，是首项为，公差为 的等差数列， 所以且 . 所以 100 （2）求4月份该款服装的总销售量. 【解析】4月份该款服装的总销售量为 （两个等差数列分别求和，选择合适的求和公式） （件）. . . . . 101 （3）按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，该款服装在社会上就开始流行； 当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，此服装在社会上不再流行. 试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？请说明理由. 【解析】设数列的前项和为 ,则4月1日至4月12日的销售总量为 （件） （件）， （件） （件）， 故从4月13日起该款服装在社会上开始流行. 由，得 ，故从4月21日开始该款服装在社会上不再流行. 即该款服装在社会上流行没有超过10天. 102 思路点拨 （1）利用等差数列的定义及通项公式建立与 之间的关系式；（2） 利用等差数列的前 项和公式分段求和；（3）求和比较即可作出判断. 103 解决等差数列在实际生活中的应用的基本步骤 注意 在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数、公差等基本 元素. 104 新考法 数学文化 数学文化中的等差数列问题 在以实用为主的古代数学中，数列是人们研究的热点问题.下面重点探讨古典名著 《九章算术》和《张丘建算经》中的有关等差数列的问题. 105 1 指向于等差数列中的项 例26 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱， 令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其大意为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人 分5钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，且甲、乙、 丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种表 示质量的计量单位）根据题意，甲所得为 ( ) B A.钱 B.钱 C.钱 D. 钱 106 【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得的钱数分别为，， ， ， ， 则由题意可知， 所以则 . 故甲所得为 钱. 107 数学文化欣赏 《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个 与生产、生活实践有联系的应用问题，这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、 粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股这九章.它是一本综合性的历 史著作，是当时世界上最先进的应用数学著作，它的出现标志着中国古代数学形成 了完整的体系. 108 2 指向于等差数列中的公差 例27 《张丘建算经》中有一道题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月 织九匹三丈，问日益几何？”其大意为“有个女子善于织布，每天比前一天多织相同 量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问该女子每天比前一天多 织多少布？”估算该女子每天比前一天多织的布为( ) A A.尺 B.尺 C.尺 D. 尺 【解析】由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列，设公差为，前 项 和为,由题意知，所以，解得 .故该女子 每天比前一天多织的布为 尺. 109 3 指向于等差数列中的项数 例28 我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下:“今有与人钱，初一人与 三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分 之，人得一百钱，问人几何.”（【释义】将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给 4钱，第三人给5钱，以此类推，后一人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均 分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人）则分钱问题中的人数为_____. 195 【解析】设人数为 ，则由题意可知，每人分得钱数构成公差为1，首项为3的等差数 列，且前项和，又，所以 ，解得 . . . . . . . 110 4 指向于等差数列中的和 例29 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今 有女子不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫，问织几何．” 其大意为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺， 最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布____尺. 90 【解析】由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列，前项和为 ,其中 ，，所以 ，即该女子三十天共织布90尺． 111 数学文化欣赏 《张丘建算经》不仅是中国数学史上一部杰作，也是世界数学史上的 一座里程碑.其内容涉及测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面 的计算问题，内有等差级数、二次方程、不定方程等问题，比较突出的成就有最大 公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题的求解 等.该书虽为数学专著，但逻辑条理精密，语言文辞古雅，力求通俗易懂. 112 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 等差数列的前 项和在高考中，若在选择题或填空题中呈现，一般与通项及递推关系 式综合考查前 项和的性质，考查函数与方程的思想，难度中等，若在解答题中呈现， 一般与由递推关系式求通项、数列求和等综合考查，难度中等. 核心素养：逻辑推理（等差数列前 项和与基本量的关系）、数学运算（方程的求解）. 113 考向1 等差数列前 项和相关量的计算 例30（1）(2025·全国二卷)记为等差数列的前项和.若, ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】根据得 , 根据得 , 所以的公差 ， 所以 , 所以 . 114 （2）(2024·新课标Ⅱ卷)记为等差数列的前项和，若 ， ，则 ____. 95 【解析】设数列的公差为 . 因为数列为等差数列，则由题意得解得 则 . 115 （3）(2024·全国甲卷)等差数列的前项和为，若，，则 ( ) B A. B. C.1 D.2 【解析】由，则 ，则等差数列 的公差 ， 故 . 116 命题 探源 本题组取材于教材第150页【练习】第3题，这一类问题基本上都是给出具体 的项或项与项之间的关系式，通过构建相应的方程（组）求解. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 通过等差数列前 项和公式构建关于基本量的方程（组）运算. 117 变式探源 (2024·全国甲卷)等差数列的前项和为，若， ( ) D A. B. C.1 D. 118 【解析】 （基本量法） 设数列的公差为,由 ，根据等差数列的 求和公式，得1，即 ， 所以 . （性质法） 根据等差数列的性质，，由 ，根据等 差数列的求和公式得， ， 故 . （特殊值法） 不妨取等差数列的公差，则 ，则 ，则 . 119 考向2 等差数列前 项和的求解与应用 1 直接求解与应用 例31 (新高考全国Ⅱ卷)记是公差不为0的等差数列的前项和，若 ， . （1）求数列 的通项公式； 【解析】设等差数列的公差为 ，则由题意，得 解得 所以 . 120 （2）求使成立的 的最小值. 【解析】 ， 则由，整理得，解得或 . 因为，所以使成立的 的最小值为7. 121 2 假设求解与应用 例32 (2023·新课标Ⅰ卷)设为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：{ } 为等差数列.则( ) C A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 122 充分性验证： 必要性验证： 123 【解析】 （通解） 若为等差数列，设其公差为 ，则 ，所以，所以 ，所以 ，为常数，所以{ }为等差数 列，即甲 乙； 若{}为等差数列，设其公差为，则 ，所以 ，所以当 时， ， 当时，也满足上式，所以 ，所以 ，为常数，所以 为等差 数列，即甲 乙. 所以甲是乙的充要条件. 124 （秒解） 由等差数列前项和的性质6可知，为等差数列，则{ }为等 差数列，反之亦成立，所以甲是乙的充要条件.（在争分夺秒的考场上，充分理解性 质的前提下，快速解题） 3 交错求解与应用 例33 (2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列的公差为，且.令,记, 分 别为数列，的前 项和. （1）若,,求 的通项公式； 126 【解析】因为，所以 ， 所以,所以,所以 . 因为,所以 ， 所以 ， . 因为，所以 ， 解得或 ， 因为，所以 . 所以的通项公式为 . 127 （2）若为等差数列，且，求 . 【解析】因为，且 为等差数列， 所以，即 ， 所以，所以，解得或 . ①当时， ， 所以 ， ， . 因为，所以 ， 即，解得或 （舍去）. 128 ②当时， ， 所以 ， ， . 因为，所以 ， 即，解得（舍去）或 （舍去）. 综上， . 129 考向3 求数列的前 项和 例34 (2025·天津)已知数列的前项和,则 的前12项和为 ( ) C A.48 B.112 C.80 D.144 【解析】当时, ; 当时, . 显然 也符合该式， 所以,所以 所以的前12项和为 ,故选C. 130 例35 (2023·全国乙卷)记为等差数列的前项和，已知, . （1）求 的通项公式； 【解析】第1步：根据已知建立方程组，求 的首项与公差 设的公差为，则 解得 第2步：写出通项公式 所以的通项公式为 . 131 （2）求数列的前项和 . 【解析】第1步：分类讨论，去绝对值 由（1）得 第2步：利用等差数列的求和公式求 当时， , 当 时， . 第3步：写出结果 综上, 132 考向4 等差数列前 项和与不等式的综合 例36 (2023·新课标Ⅱ卷)已知为等差数列,记， 分别为数列,的前项和，， . （1）求 的通项公式; 133 【解析】第1步：求出 的前3项 设等差数列的公差为 ． 因为所以， ， .（由于数列 是一个奇偶项数列，因此求项时需“对号 入座”） 第2步：结合已知条件建立方程组求出与公差 因为， ， 所以 134 整理，得解得 第3步：求数列 的通项公式 所以的通项公式为 . （2）证明:当时， . 【解析】第1步：结合（1）求 由（1）知 ， 所以 . 136 第2步：证明 为奇数时所证不等式成立 当 为奇数时， ． 当时， ， 所以 ． 137 第3步：证明 为偶数时所证不等式成立 当 为偶数时， ． 当时，，所以 ． 第4步：总结 综上可知，当时， ． 138 考向5 裂项相消法求和 例37 (全国Ⅲ卷)设数列满足 . （1）求 的通项公式； 【解析】因为 ， 故当时， . 两式相减得 ， 所以 . 又由题设可得，满足 ， 从而的通项公式为 . 139 （2）求数列{}的前 项和. 【解析】记{}的前项和为 . 由（1）知 ， 则 . 140 提分 探源 本题若无法求得的通项公式，至少令，求出 ,这样就“踩中”了一 个得分点.既然求不出 ,是不是第（2）问就不可解了?其实不然，我们可以 由条件求出,,后，归纳猜想 ，同样可以得部分分,并且由此可以代入 解决第（2）问，这样虽然不能得满分，但也可得较高的分数. 141 高考新题型专练 1.[多选题]已知数列的前项和 ,则( ) BC A. B. C.若第项满足，则 D.若第项满足，则 【解析】由于数列的前项和,当时，得,当 时， ，所以，验证 时 ,成立.所以 ,故B正确，A错误. 由于第项满足，所以，解得，由于 ， 故，故C正确．故选 ． 142 2.新考法 结构不良 在，， 这三 个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知为等差数列，设其前项和为， ，____，是否存在正整数 ，（其中），使得成立？若存在，写出， 满足的关系式； 若不存在，请说明理由． 143 【答案】设等差数列的公差为 ， 选①. ， ， ， 又， . ， ， 即 ， ，则 . , ， ，即存在正整数，，当时，使得 成立． 144 选②.， ， ，又， . ， ， 即 ， 则 . ,， ， 即存在正整数，，当时，使得 成立． 145 选③.， ， ，，即 ， 又， . ， ， 即 ， 则 ， ， 则 . ，， ， ，则不存在正整数，，使得 成立． 146 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：20分钟 1.(2023·全国甲卷)记为等差数列的前项和．若， ，则 ( ) C A.25 B.22 C.20 D.15 147 【解析】 由，可得，所以 ， 又，所以 . 设等差数列的公差为，则 ， 又，所以，所以 . 设等差数列的公差为，则由，可得 ①， 由，可得 ②， 由①②可得，，所以 . 148 2.新情境 九章算术 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五 尺，斩本一尺重四斤，斩末一尺重二斤．”意思是：“现有一根金箠，长5尺，头部1 尺重4斤，尾部1尺重2斤”，若该金箠从头到尾每一尺的重量构成等差数列，则该金 箠共重( ) D A.6斤 B.7斤 C.9斤 D.15斤 【解析】设从头到尾每一尺的重量构成等差数列，前项和为.由于 ， ，，数列的前5项和为 . 即该金箠共重15斤，故选D. 149 3.(2026·重庆市第一中学期中)是等差数列的前项和，若，则 等于 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 ，则， . 不妨设,,因为,,, 成等差数列，所以 ,,所以 . 150 4.已知为等差数列的前项和，若， ， ，则 ( ) C A.12 B.18 C.24 D.30 【解析】设等差数列的公差为，， ，即 ，即， ， ，解得 ．故选C． 151 5.［多选题］(2026·河南省安阳市第一中学期中)已知数列 为等差数列，公差为 ，是其前项和，且， ，则下列结论正确的是( ) ABD A. B. C. D.与是 的最大值 【解析】由得 ，即 ，又，， ，故B正确. 同理,由，得 ，故A正确. 而C选项，即，可得，由， 得 ,矛盾，所以C选项是错误的． ，，与均为 的最大值，故D正确. 故选 . 152 6.(2025·上海)已知等差数列的首项,公差 ，则该数列的前6项和为____. 12 【解析】 该数列的前6项和为 . ，则该数列的前6项和为 . 153 7.有两个等差数列，，其前项和分别为和，若 ,则 ___. 【解析】,设,则 , ， . 则 . 154 8.在公差为的等差数列中，已知，且 . （1）求， ； 【答案】， ， ,即，解得 或 . 或 . 155 （2）若，求 . 【答案】设数列的前项和为 . ，，, . 当 时， ； （当时，时 ） 当 时， . 156 故 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 图4.2.3-1 9.新情境 北京天坛 (2026·江苏省昆山市周市高级中学月考)如图 4.2.3-1所示，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、 下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一 环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层 环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板 （不含天心石）( ) C A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 158 【解析】由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列， 记为，易知其首项，公差，所以 设数列的前项和为，由等差数列的性质知,, 也成等差数列， 所以 ，所以 ，得 ，所以三层共有扇面形石板（不含天心石）的块数为 ，故选C． 159 10.已知数列满足，，则数列 的前2 026项和 ( ) C A. B. C. D. 160 【解析】因为 ， 所以，即 ， 所以数列{ }是首项为6，公差为4的等差数列. 设数列{}的前项和为 ，则 .（累加法） 根据等差数列的前 项和公式得 , 所以，则 ， 即 , 161 所以 ， 又满足上式，故 . 则 . 11.［多选题］已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在 上的单 调递增的奇函数，数列的前项和为 ，以下说法正确的是( ) BD A.若数列为递增数列，则对一切， B.若对一切，，则数列 为递增数列 C.若存在，使得，则存在，使得 D.若存在，使得，则存在，使得 163 【解析】对于选项A，取，，则 ， 故A错误. 对于选项B，对一切，，则，又是定义在 上的单调递增 的奇函数，所以（奇函数,又为增函数，所以）.若 不 单调递增，设， ，且 ，且 ，所以，， ， ，则，， ， ， 又为奇函数，则 . . 164 ，与题设矛盾， 所以 为递增数列，故B正确. 对于选项C，取，则，，令 ，所以 ，但是 ，故C错误. 对于选项D，因为，所以 ，所以 ，， ， ， 则，， ，，又 为 奇函数，则 ，则 存在，使得 ，故D正确． 故选 . 12.已知数列的奇数项依次构成公差为的等差数列，偶数项依次构成公差为 的等差数列（其中，为整数），且对任意，都有，若 ， ，且数列的前10项和，则___， ____. 3 11 【解析】由题意知，，故 ． 对任意，都有 ， ，即 ， 取时，可得，结合可解得 ， ， 又,为整数， ． ． 166 13.新考法 结构不良 (全国甲卷)已知数列的各项均为正数，记为的前 项 和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列是等差数列；②数列是等差数列； . 167 【答案】选①③作为条件证明②. 已知是等差数列， . 设等差数列的公差为 ， 则，得 ， 所以 . 因为数列的各项均为正数，所以 ， 所以，为常数，所以数列{ }是等差数列. 选①②作为条件证明③. 已知是等差数列， ｝是等差数列. 设等差数列的公差为 ， 168 则 . 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于 的一次函数，则 ，即，所以 . 选②③作为条件证明①. 已知数列{}是等差数列，，所以， . 设等差数列{}的公差为，，则 ，得 ，,所以公差 所以，所以 ， 所以，是关于 的一次函 数，所以数列 是等差数列. . . 14.记为数列的前项和,已知，是公差为 的等差数列. （1）证明: 是等差数列; 【答案】因为是公差为 的等差数列, 所以当时， ， 即，所以 ， 又,所以,所以 是等差数列. （2）若,,可构成三角形的三边,求 的取值范围. 【答案】由（1）知,因为,, 可构成三角形的三边,所以 ,即,即,又 ， 且,所以 . 170 C 培优练丨能力提升 15.在等差数列中，， . （1）求 的通项公式； 【答案】设数列的公差为，由题意得解得所以 的 通项公式为 . 171 （2）设，求数列的前100项和，其中表示不超过 的最大整数，如 ， . 172 【答案】由（1）知， ， 当,2,3时，， ， 当,5时，， ， 当,7,8时，， ， 当,10时，， ， …… 当,100时，， ， 所以数列 的前100项和为 . $