4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的通项公式 第2课时 等差数列的性质与应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 以等差数列性质为核心，通过基础巩固、中档辨析、提升拓展三层设计，实现从单一性质应用到跨情境综合探究的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|中项公式、单调性等单一性质|直接应用定义，如第1题用a6=2a5求a1+a7，夯实概念理解| |中档层|性质综合辨析与简单应用|多选题（第6题）辨析性质延伸，填空题（第8题）结合不等式求范围，提升推理能力| |提升层|跨情境应用与逻辑证明|融入《九章算术》实际问题（第11题），解答题（第10题）证明等差数列并求最小项，发展数学眼光与表达能力|

第2课时　等差数列的性质与应用 1.在等差数列{an}中,a6=2a5,则a1+a7= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.1 C.-2 D.3 2.已知数列{an}为等差数列,且a1+a5+a9=4π,则tan(a3+a7)= (　 ) A. B.- C.- D. 3.设{an}是等差数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知等差数列{an}中,a2,a8是2x2-16x-1=0的两根,则(a3+a7)2-a5= (　 ) A.248 B.60 C.12 D.4 5.已知等差数列{an}递增且满足a1+a10=4,则a8的取值范围是 (　 ) A.(2,4) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(4,+∞) 6.(多选题)若a,b,c(a,b,c均不为0)成等差数列,则下列说法正确的是 (　 ) A.a2,b2,c2一定成等差数列 B.2a,2b,2c可能成等差数列 C.ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列 D.,,可能成等差数列 7.在首项为31,公差为-4的等差数列中,绝对值最小的项是　　　　.  8.若等差数列{an}满足a3a5=4,则a4的取值范围为　　　　　　　　.  9.(13分)首项为a1,公差为d(d∈N*)的等差数列{an}满足下列两个条件: ①a3+a5+a7=93; ②满足an>100的n的最小值是15. 试求公差d和首项a1的值. 10.(13分)已知数列{bn}的首项b1=3,且满足bn+1=bn+2n-1(n∈N*),令cn=. (1)求证:数列{cn}为等差数列; (2)求数列{bn}中的最小项. 11.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺.斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,则中间三尺的重量为 (　 ) A.7斤 B.8斤 C.9斤 D.10斤 12.[2025·江苏淮阴中学高二质检] 已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a2+a5等于 (　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 13.(多选题)[2025·江苏扬州中学高二调研] 已知递增等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 (　 ) A.a1+a101>0 B.a2+a100=0 C.a3+a100≤0 D.a51=0 14.[2025·山东济宁一中高二月考] 已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则a1+a100等于　　　　.  15.(多选题)[2025·福建厦门一中高二质检] 在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}中的项,则k的值可能为 (　 ) A.1 B.3 C.5 D.7 16.[2025·江苏梁丰中学高二调研] 已知等差数列{an}满足a5+a2n-5=n(n∈N*,n≥3),则a1+a3+a5+a7+…+a2n-3+a2n-1=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等差数列的性质与应用 1.A　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,由a6=2a5得a1+5d=2(a1+4d),即a1+3d=0,∴a4=0,∴a1+a7=2a4=0,故选A. 2.C　[解析] 因为数列{an}为等差数列,且a1+a5+a9=4π,所以a1+a5+a9=3a5=4π,解得a5=,所以tan(a3+a7)=tan 2a5=tan=tan=-tan=-.故选C. 3.C　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,若a1<a2<a3,则d=a2-a1=a3-a2>0,所以数列{an}是递增数列,即充分性成立;若数列{an}是递增数列,则a1<a2<a3,即必要性成立.所以“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件.故选C. 4.B　[解析] 由方程2x2-16x-1=0,可得a2+a8==8,所以2a5=a3+a7=a2+a8=8,则a5=4,所以(a3+a7)2-a5=82-4=60.故选B. 5.C　[解析] 设{an}的公差为d,则d>0,∵a1+a10=4,∴2a1+9d=4,∴a1=2-d,∴a8=a1+7d=2+d,∵d>0,∴a8=2+d>2.故选C. 6.BCD　[解析] 对于A,令a=1,b=2,c=3,则a2=1,b2=4,c2=9,不满足2b2=a2+c2,此时a2,b2,c2不成等差数列,故A错误;对于b,令a=b=c,则2a=2b=2c,满足2a+2c=2·2b,故B正确;对于C,∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),即ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列,故C正确;对于D,令a=b=c,则==,满足+=,故D正确.故选BCD. 7.-1　[解析] 设题中数列为{an},因为数列是首项为31,公差为-4的等差数列,所以数列的通项公式为an=35-4n.当n≤8时an>0;当n≥9时an<0.又a8=3,a9=-1,所以绝对值最小的项为a9=-1. 8.(-∞,-2]∪[2,+∞)　[解析] 由等差数列的性质可得2a4=a3+a5,又4=a3a5≤=,所以a4≥2或a4≤-2,故a4的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞). 9.解:∵a3+a5+a7=93,∴3a5=93,∴a5=31.令an>100,即a5+(n-5)d>100,得n>+5, ∵满足an>100的n的最小值是15, ∴14≤+5<15,∴<d≤, 又d∈N*,∴d=7,∴a1=a5-4d=3. 10.解:(1)证明:∵bn+1=bn+2n-1,∴=+1,即cn+1-cn=1.又c1==-3,∴{cn}是首项为-3,公差为1的等差数列. (2)由cn==-3+(n-1)=n-4,得bn=(2n-3)(n-4). ∵b1=3,b2=-2,b3=-3, 当n≥4时,bn≥0,∴数列{bn}中的最小项为b3=-3. 11.C　[解析] 由题意可知,金锤每尺的重量数成等差数列,设此数列为{an}(n∈N*,n≤5),细的一端所截下的一尺的重量为a1斤,则a1=2,a5=4,根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=6⇒a3=3,则中间三尺的重量为a2+a3+a4=3a3=9(斤). 12.B　[解析] ∵2an=an-1+an+1(n≥2),∴{an}是等差数列.由等差数列的性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,∴a4=4,a3=3,∴a2+a5=a3+a4=3+4=7.故选B. 13.BD　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,则a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B,D正确,A错误.∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.故选BD. 14.-2　[解析] 由题意,函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且在(-1,+∞)上单调,因为f(a50)=f(a51),且数列{an}是公差不为0的等差数列,所以a50+a51=-2,所以a1+a100=a50+a51=-2. 15.ABD　[解析] 由题意得,插入k(k∈N*)个数,则a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列,且各项序号依次成以1为首项,k+1为公差的等差数列,所以an=b1+(n-1)(k+1).因为b9是数列{an}中的项,所以令1+(n-1)(k+1)=9,n∈N*,k∈N*,则(n-1)(k+1)=8=1×8=2×4,n∈N*,k∈N*,当n=2时,解得k=7,当n=3时,解得k=3,当n=5时,解得k=1,故k的可能取值为1,3,7,故选ABD. 16.　[解析] 因为数列{an}是等差数列,所以a5+a2n-5=n=2an(n≥3),解得an=(n≥3),所以an=(n∈N*).令Tn=a1+a3+a5+a7+…+a2n-3+a2n-1,则Tn=a2n-1+a2n-3+a2n-5+…+a3+a1,故2Tn=(a1+a2n-1)+(a3+a2n-3)+…+(a2n-1+a1)=n×2an=n2,解得Tn=. 学科网（北京）股份有限公司 $