4.2.1 等差数列的概念 +4.2.2 等差数列的通项公式课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦苏教版选择性必修一等差数列，系统讲解概念、通项公式、等差中项及函数特性，通过知识梳理、例题解析搭建从数列基础到等差数列应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于采用分层训练（基础、中档、拔高）和多种推导方法（累加法、归纳法等），结合思维导图与高考真题，培养数学抽象与运算素养。如例1-1通过多选题强化定义理解，例3-4提升公式应用能力，助力学生逻辑推理，教师可实现一体化教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 4.2.1 等差数列的概念 4.2.2 等差数列的通项公式 本节引导学生理解等差数列的概念，推导并掌握其通项公式，能运用概念与通项公式进行相关计算，体会数列与函数的联系，提升数学抽象与数学运算素养。 第四章 数列 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括101张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同 一个常数（在等差数列中，始终有 （常数）），那么这个数列就 叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母 表示.#1 . . . . 4 知识剖析 对等差数列定义的理解 （1）从第2项起，是因为首项没有前一项. （2）一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也 不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强 调“同一个常数”. （3）求公差时，可以用来求.（注意,用 求公差时， 要求, ） （4）常数列是公差为0的等差数列.#1.1.1.4 . . 5 学思用·典例详解 例1-1 ［教材改编P140例1］[多选题]下列数列中是等差数列的为( ) ABD A.，，，， B.， ，0，1，2 C.5，8，11，14,18 D.2，2，2，2，2 【解析】A中数列的公差为；B中数列的公差为1；C中， ，因 此不是等差数列；D为常数列，是公差为0的等差数列. 点评 判断一个数列是不是等差数列，只要看对于任意的正整数, 是不是 等于同一常数，切记不可通过计算,, 等几个有限的式子的值都 是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论. 6 知识点2 等差中项 如果三个数，，成等差数列，那么叫作与 的等差中项.根据等差数列的 定义知，或 . 等差中项法 对教材第141页【例3】的拓展 在等差数列中，任取相邻的三项，，，则 是 与的等差中项;反之，若对任意的， 均成立， 则数列 是等差数列. 由此我们可得到一个重要的结论：为等差数列, ， ，可推广为 .这也是判断一个数列为等差数列的方法 （等差中项法）. 7 学思用·典例详解 例2-2 已知数列是等差数列，与的等差中项为1，与 的等差中项为2， 则 ___. 2 【解析】与的等差中项为1，与 的等差中项为2， ，，两式相减可得 . 例2-3 若与的等差中项为4,和的等差中项为5，则与 的等差中项是( ) B A.2 B.3 C.6 D.9 【解析】由条件，得①,,整理得 ,所以 与的等差中项为 . 8 知识点3 等差数列的通项公式 1 等差数列的通项公式 一般地，对于等差数列的第项,有 .这就是等差数列 的通项公式，其中为首项， 为公差. 9 2 等差数列的通项公式的推导 （累加法） 详见教材第143页. （归纳法） 由等差数列的定义知，， ， ，， ， 由此归纳得 . （由归纳推理得到的结论不一定是正确的，但由于内容所限，在此不能给出严格的 证明（可利用本章4.4节数学归纳法 完成证明）） （迭代法） 因为 为等差数列，所以 . . . 10 学思用·典例详解 例3-4 已知数列是首项，公差的等差数列，若，则 等于 ( ) C A.1 009 B.1 010 C.1 011 D.1 012 【解析】令，解得 . 例3-5 ［教材改编P145 T4］已知等差数列的通项公式为 ，则数列 的首项为____，公差为____. 【解析】当时， ， 当时， ， 公差 ． 11 知识点4 等差数列的函数特性 1 等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式 ，可知其图象是直线 上的一些等间隔的点，其中点的横坐标是正整数， 是直线在 轴上的截距，公差是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加 ． 12 2 等差数列的单调性 由等差数列的定义或观察图4.2.1-1中等差数列对应的图象知： 图4.2.1-1 当时，数列 是递增数列； 当时，数列 是递减数列； 当时，数列 是常数列. 13 学思用·典例详解 例4-6 已知点，是等差数列图象上的两点，则数列 为( ) B A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定 【解析】等差数列的图象所在直线的斜率就是的公差 ， 故数列 是递减数列． 14 【想一想丨问题质疑】 教材第145页【思考】：如果一个数列的通项公式为,其中, 都是常 数，那么这个数列一定是等差数列吗？ 提示 由于，是一个常数，所以数列 是等差数列. 从而，我们得到等差数列的第三种判定方法——通项公式法. 即数列的通项公式为,为常数） 数列 为等差数列. 15 释疑惑 重难拓展 知识点5 等差数列的性质 若数列是公差为的等差数列，由等差数列的定义可得 具有如下性质. （1）若,则 .（特别地，若 ,则 ）#1.1 . . 16 （2）对任意的,，有 . 证明：由等差数列的通项公式可知， ②， 得，即 . 特别地，当时， ，这表明已知等差数列中的任意两项即可求得 其公差，进而求出其通项公式．#1.3.1 17 （3）下标成等差数列的项，，， 组成以 为公差的等差数 列． 说明 若数列是公差为 的等差数列，则该数列中所有的偶数项构成的数 列、所有的奇数项构成的数列都是等差数列，公差都为 . （4）数列, 是常数是公差为 的等差数列． （5）若数列也为等差数列，则数列, 是常数 仍为等差数 列． （6）等差数列中依次项之和仍组成等差数列，即数列 ， ，， 是以 为公差的等差数列． 说明 我们可以总结出此“新”等差数列的规律.其中，①在4.2.3节，我们可以令 ,, 这被称为等差数列的 “片段和”；,,, 也为等差数列.#1.7.1 18 学思用·典例详解 例5-7 在等差数列中，已知,,则 _________. 【解析】公差 ， （利用,无须求出 ,简化了计算） . . . 19 【想一想丨拓展延伸】 ①若,则（其中,,,,, ）； ②若 为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两 项的和： . 例5-8 设数列，都是等差数列.若，，则 ____. 35 【解析】因为数列,都是等差数列,所以数列 也是等差数列. 故由等差数列的性质,得,即 ,解 得 . 20 例5-9 若等差数列的公差为，则，， 的公 差为____. 【解析】由等差数列的性质可知，, , ，由可知， , ,的公差为 ． 21 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 等差数列的判定与证明 1 由定义判定等差数列 例10 已知数列的通项公式如下，分别判断数列 是否为等差数列： （1） ； 【解析】 ， . . 故数列 是等差数列. 22 （2） 【解析】由通项公式可知，当时，显然 ，即数列从第3项开始， 每一项与前一项的差是同一个常数，即，但 ， 因此数列 不是等差数列. （3） . 【解析】 ，不是常数，故数列 不是等差数列. 23 名师点评 定义法判断等差数列的步骤 （1）作差 ，并进行变形； （2）若是常数（即一个与无关的数），则数列 是等差数列，否则数 列 不是等差数列． 例11 在数列,中，已知，且， ，求证：数 列 为等差数列. 24 25 【解析】 在的两边同时乘以（【关键点】根据 的形 式进行变形）得,即，所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列. 由得 ，所以 ，所以数列 是 以 为首项，1为公差的等差数列. . . . . 26 2 利用等差中项进行判定 例12 已知，，成等差数列，求证： ，（【破题点】已知和求证都是三项，考 虑用等差中项证明）， 也成等差数列． 【解析】，， 成等差数列， ，即 . ， ，， 成等差数列． . . . . . . 27 3 利用通项公式进行判定 例13 [多选题](2026·江苏省苏州市第十中学检测)已知数列 是等差数列，则下列 数列中必为等差数列的是( ) ABC A. B. C. D. 【解析】令的公差为，则 ， ，即是首项为，公差为 的等差数列； （【另解】等差数列中的偶数项构成的数列也是等差数列） ，即 是首项为，公差为 的等差数列； ，即是首项为，公差为 的等差数列； 若,，且,则 先递减，后递增，不可能为等差数列. 28 判断一个数列是否为等差数列的方法 1.定义法 或 数列 是等差数列. 2.等差中项法 数列 为等差数列. 3.通项公式法 数列的通项公式形如，为常数 数列 为等差数列. （通项公式法不能作为证明方法，只用于客观题中的快速判断） 注意：若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要说明一个数 列不是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可． 29 【学会了吗丨变式题】 1.已知数列的通项公式为,且,为常数 ，求证：数列 是等差数列. 【答案】要证数列是等差数列，需证 为常数. , , , 则 , , 则 （常数）. 故数列 是等差数列. 30 题型2 求等差数列的通项公式 1 基本量法求通项公式 例14 已知在等差数列中，,,则数列 的通项公式为____________. 31 【解析】 设数列的首项为，公差为 ， 则解得 则 , 故数列的通项公式是 . 设数列的公差为 , 则 , 则 , 故数列的通项公式是 . 32 2 巧设项求通项公式 例15 已知递增的等差数列的前三项之和为21，前三项之积为231，则数列 的通项公式为____________. 思路一 思路二 33 【解析】 根据题意，设等差数列的前三项分别为，， ， 则 即 解得或 因为数列为递增数列，所以从而等差数列的通项公式为 . 34 由于数列为等差数列，因此可设前三项分别为，， ，可得 即解得或 因为数列为递增数列，所以从而 . 35 名师点评 对称设项法 方法1中设项的方法是常规设法，方法2中设项的方法称为对称设项法.如若所给等差 数列的项数为4，则这个数列可设为，，， ，此数列的公差 为；若所给等差数列的项数为5，则这个数列可设为，，， ， ，此数列的公差为 . 对称设项法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称设项法设出这个数列，则 其各项和为 . . . 36 求等差数列的通项公式的两种思路 1.设出基本量与，利用条件构建方程组，求出与 ，即可写出数列的通项公式． 2.已知等差数列中的两项时，利用求出公差就可绕过求首项 ， 直接写出等差数列的通项公式． 注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于 的一次函数的形式，不必 保留 的形式. 37 【学会了吗丨变式题】 2.已知等差数列的前三项分别是，， ，则该数列的通项公式为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】，， 公差 ， . 3.已知等差数列中，，，则其通项公式 _ _______. 【解析】由得 . 38 3 构造等差数列求数列的通项公式 例16 已知数列满足，且 ． （1）证明：数列{ }是等差数列； 【解析】（要证{}是等差数列，则必有 ,那么我们需要对题干 等式左边进行减2并取倒数，右边进行相应变形） 由 ，得 ， 又 , 故数列{}是以1为首项， 为公差的等差数列． 39 （2）求数列 的通项公式． 【解析】（谁是等差数列，就求谁的通项公式，再变形整理得最终结果） 由（1）知，所以 . 40 由递推关系推导等差数列的常见形式 当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项 公式，求出包含的关系式，进而求出 ．由题设中的递推关系推导等差数列的常 见形式如下： （1）转化为常数，则数列 是等差数列; （2）转化为常数，则数列{ }是等差数列; （3）转化为常数，则数列{ }是等差数列; 41 （4）转化为常数，则数列{ }是等差数列； （5）转化为常数，则数列{ }是等差数列; （6）转化为常数，则数列 是等差数列; （7）转化为常数，则数列{ 是等差数列.#2.2.7 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·河北省承德市第二中学联考)数列满足 ， ， . （1）证明：数列{ }是等差数列； 【答案】由题设知,即 . 由等差数列的定义知，数列{}是以 为首项，1为公差的等差数列. （2）求 的通项公式. 【答案】由（1）知,则 . 43 1 奇偶隔项等差数列 例17 已知数列满足：，且，求数列 的通 项公式． 44 【解析】由得， ，两式相减得 .（已知数列中相邻两项的和的递推关系，将替换为 （或 并将两式相减，建立新的递推关系是解题的突破口） 由等差数列的定义知，数列 的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列. 易得，由知 . . . . . 45 当为奇数时，（【易错点】原数列中的第 项为奇数项中的 第项） ; 当为偶数时，（【易错点】原数列中的第项是偶数项中的第 项） . 综上，数列 的通项公式为 . . . . 46 当为奇数时，设，，则 ， ，即 ； 当为偶数时，设，，则 ， ，即 . 综上，数列的通项公式为 47 题型3 求等差数列中的项 母题 致经典·母题探究 母题探源 由等差数列的某两项求第三项 在等差数列中，由其中某两项求第三项是一类经典题型，其解法灵活多变，也是各 类考试的“常客”，能显著培养学生的逻辑推理素养.下面我们以一道试题来进行其解 法的探讨. 48 例18 ［教材改编P146 T5］已知为等差数列，，，则 ____. 24 【解析】 设等差数列的首项为，公差为 ， 则由题意得解得 故 . 设的公差为，， （【懂方法】利用 求解公差）， . . . 49 已知数列是等差数列，可设 .（【关键点】等差数列的函数 特性） 由，得解得 . 由题意可知，，三点共线，则 ， 解得 . （【看本质】等差数列的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点） . . 50 为等差数列， ，，，，也成等差数列，设其公差为，为首项，则 为第 四项， ，即，解得 ， . 51 例19（1）已知为等差数列，，则 的值为( ) B A.10 B. C.15 D. 【解析】 （基本量法） 设等差数列的公差为 ，则 ，即 ．而 ． （性质法） 由等差数列的性质知 ，则 ． 52 （2）在等差数列中，若，则 _____. 180 【解析】 ， （注意等差数列中，若，则 ,而不 是） ， 解得 . . . . . 53 名师点评 本题（1）中，由已知条件是无法直接求出该等差数列的首项与公差 的．方法1体现了整体思想，而方法2利用等差数列的性质简化了运算． 54 求等差数列中的项的方法 1.运用等差数列的通项公式 ,列方程组求解. 2.运用性质 及其变形求公差与项. 3.利用等差数列的函数特性进行求解. 4.利用性质“若，则 ”进行两项和的转化. 55 【学会了吗丨变式题】 5.在等差数列中，若，，则 ( ) A A.15 B.16 C.31 D.64 【解析】在等差数列中，由,，且 ,得 . 56 6.已知等差数列满足，则 的值为( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】设等差数列的公差为，由 ， 得 ， （【另解】 ） 即，故 ， ． 57 题型4 利用等差数列的函数特性解题 例20 已知数列是等差数列，，，则过点， 的直 线斜率为 ( ) A A.4 B. C. D. 【解析】由数列是等差数列，知是关于 的“一次函数”，其图象是一条直线上 的等间隔的点，因此过点，的直线斜率即过点， 的直线斜率，所以所求直线的斜率．（事实上，为 的公差 ） . . 58 例21 (2026·重庆市南开中学质检)已知,是等差数列 图象上的两点， 若5是,的等差中项,则 的值为_____. 【解析】 设等差数列的通项公式为,将点, 的坐标代 入,得解得即 . 因为5是,的等差中项，所以,所以 . 依题意知,,, 三点共线，（由等差数列与一次函数的关系 可知,等差数列的图象上各点都在同一条直线上） 所以，所以.因为5是,的等差中项，所以 ,所以 . . . 59 利用一次函数的性质解等差数列问题的思路 1.等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、 过两点的直线的斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线可快速求解. 2.若，，是等差数列，公差为，且，， 三点共线，则 为常数，所以，那么，， 成等差数列.反之， 若，，；，，两组数都成等差数列，则点，， 必共线. . . 60 【学会了吗丨变式题】 7.(2026·江苏省苏州市震泽中学月考)已知数列 则通过该数 列图象上所有点的直线的斜率为___． 3 【解析】由得数列是以 为首项， 3为公差的等差数列， 由等差数列的函数特性知，通过该数列图象上所有点的直线的斜率 . 61 题型5 构成新等差数列的相关问题 1 插入项构成新等差数列 例22 (2025·山西省吕梁市期末)已知等差数列的首项，公差 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数 列，则 ( ) C A.4 047 B.4 048 C.4 049 D.4 050 【解析】设数列的公差为 ， 由题意可知，，， ， 故，故 ， 则 ． 62 数列插入项构成新等差数列的解题策略 设等差数列的公差为，在中每相邻两项之间都插入 个数，使它们 和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则， ， ， 则数列的公差 ， 数列的通项公式为 . 63 等差数列中的项在新的等差数列中间隔排列，且下标是以1为首项， 为 公差的等差数列 ， 所以的通项公式为 , 设是数列的项，令 ， 若解得，则是数列的第 项； 若解得，则不是数列 中的项.#1.1.4.2.2 【学会了吗丨变式题】 8.已知等差数列,1,4,7,10, ，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个 新的等差数列 ． （1）求新数列 的通项公式； 【答案】设原等差数列为，公差为,, ， 则，则 ， 因为每相邻两项之间插入一个数， 则数列的公差 ， 所以 . 65 （2） 是原数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 【答案】数列的各项依次是数列的第1,3,5,7， 项，这些下标构成一个首 项为1，公差为2的等差数列 ，（【看透本质】该数列其实为奇数列） 则 . 令，解得 ， 所以 不是原数列中的项. . . 66 2 数列取出项构成新等差数列 例23 已知等差数列的首项为，公差为 ，若以第2项为首项，每隔两项取出一 项组成一个新的数列，那么这个数列是等差数列吗？若是，求其公差，并求 为数列 的第几项. 67 【解析】由题意得，即数列是等差数列，公差为 ， ，则 ， 令，即 ， 即，解得, ， 即为数列的第 项. 68 名师点评 本题的本质为等差数列性质的应用，从等差数列中抽出下标为等差数列的 项构成的数列也为等差数列. 69 例24 在两个等差数列2，5，8， ，197与2，7，12， ，197中，求它们的公共 项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数. 【解析】 设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为，则 . 两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5， 数列 仍为等差数列， 且公差 . . 令，知 . 两数列共有14个公共项. 70 由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等差数列，记为 ，则其 通项公式为 ； 第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为 ，则其通项公式为 . 若数列的第项与数列的第项相同，即（数列的第 项与数列 的第项未必相同），则 ， . 又， 必有，即为非负整数 ， 又，，，4，7， ，40. 两数列的公共项为2，17，32， ，197. 设公共项从小到大依次排列构成的数列为，则其通项公式为 ，公 共项有 （个）. . . 71 解决两个等差数列公共项问题的两种方法 一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公 倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决. 二是从通项公式入手，建立这样的方程，利用，借助， 均为正 整数，得到（或）可取的整数形式，如例24中的 ，再求一定范围内的 整数解，从而解决问题. 72 【学会了吗丨变式题】 9.已知等差数列，8，11， 和等差数列，7，11， 各有100项，问： 它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次排列构成数列 ，问：数 列 是否为等差数列？ 73 【答案】易得，．假设数列的第项与数列的第 项相同，即有，所以 ． 而，，则 必是3的倍数. 设，于是 . 由题设知，两数列各有100项，则 解得 . 又 ，故两数列共有25个相同的项． 将代入（或将代入 ），得 （或），即等差数列 中的第 74 项与等差数列中的第项是相同项，于是 ， ，,为常数,又，故数列 是以11为首项，12为公差的等差数列． 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 等差数列是重要而又基础的特殊数列，是高考考查的重点，多与后面将要学习的知 识综合命题.对等差数列的概念以及通项公式的考查,主要突出方程思想,强调基本量 之间的等量关系;对等差数列的性质的考查,主要强调其函数性质的反映,强调与一次 函数的关系.一般以选择题形式出现，难度中等. 核心素养：逻辑推理（等差数列的判定等）,数学运算（求通项公式、求基本量）. 76 考向 等差数列的应用 图4.2.1-2 例25 新情境 举架结构(2022·新高考全国Ⅱ卷) 图4.2.1-2（1）是中国古代建筑中的举架结 构，,,, 是桁，相邻桁的水平距 离称为步，垂直距离称为举.图4.2.1-2（2） 是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 , D A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 ,,是举，,,, 是相等 的步，相邻桁的举步之比分别为 , ,,.已知,, 成公 差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则 ( ) 77 从步相等与,,成等差数列可以联想到利用步与 表示出举，由直 线的斜率，可以联想到作辅助线，找到直线的倾斜角，从而建立方程求解. 78 图4.2.1-3 【解析】如图4.2.1-3，连接，延长与轴交于点 ， 则 ． 因为,, 成公差为0.1的等差数列， 所以, ， 所以, ， ，即, ， ． 又，所以 ， 所以 ，所以 ，解得 ． 79 例26 (2022·北京)设是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在 正整数，当时, ”的( ) C A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】设无穷等差数列的公差为 ，则 ，若为递增数列，则，令 ,解得 ,当时，取,当时，取,故存在正整数 ， 使得当时，，所以充分性成立；设,则令，可得 , 因此存在正整数，使得当时， ，与已知条件矛盾，又 ,所以,故 为递增数列，必要性成立. 80 高考新题型专练 1.［多选题］(2026·江苏省前黄高级中学期中)若为等差数列，， ， 则下列说法正确的是( ) ACD A. B.是数列 中的项 C.数列是递减数列 D.数列 前7项和最大 【解析】在等差数列中，由，，得 ，则 ，,则数列 是递减 数列，故 正确； 由，解得 ，故B错误； 由，解得，，，则数列 前7项和最大，故D正确．故 选 ． 81 2.新情境 森德拉姆素数筛[多选题]如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，由孟加 拉国学者森德拉姆于1934年创立．表中每行每列的数都成等差数列，且第 行从左至 右各数与第 列从上至下各数对应相等，则下列结论正确的是( ) 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … CD A.第10行第10列的数是99 B.数字69不在数表中 C.偶数行的数都是奇数 D.数字86在数表中共出现4次 82 【解析】由题意可得，第行的等差数列的公差为,第 列的等差数列的公差等于 ，则第一行数组成的数列 是以2为首项，1为公差的等差 数列，则，第列数组成的数列是以 为首项，为公差的等差数列，则 ，故 第10行第10列的数是 ,故A错误. 因为 ,所以69是数表中的第2行第34列、第 4行第17列、第1行第68列、第34行第2列、第17行第4列、第68行第1列的数，故B错误. 对于偶数行，设行号,则,由于为偶数，所以 为 奇数，故C正确. 因为 ，所以86只能是第1行 第85个数、第85行第1个数、第5行第17个数、第17行第5个数，共出现了4次，故D 正确. 故选 . 83 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间:20分钟 1.(2026·河北省承德市实验中学测试)在等差数列中，已知， ， 则 等于( ) B A.40 B.42 C.43 D.45 【解析】设等差数列的公差为，由，可得 ， ，， . 84 2.已知数列，均为公差不为0的等差数列，且满足， ，则 ( ) A A.2 B.1 C. D.3 【解析】设数列，的公差分别为， ， ， ， 两式作差得，即 ， 则 . 85 3.已知数列满足，，，那么使成立的 的最大 值为( ) C A.4 B.5 C.24 D.25 【解析】，, 是首项为1，公差为1的等差数列， ,又, . 由得,即 . 又,故使成立的 的最大值为24. 86 4.［多选题］ 已知等差数列的公差 ，则下面四个结论中正确的是( ) AD A.数列是递增数列 B.数列 是递增数列 C.数列{}是递增数列 D. 是递增数列 【解析】设，由于 ，所以A正确； 满足条件，则，而该数列前两项前两项为， 递减，所以数列 并非递增数列，所以B错误； 满足条件，则 函数,在上递减，所以{ }是 递减数列，所以C错误； 设,则，因为 ，所 以数列是递增数列，则D正确.故正确的结论为 . . . . . 87 5.［开放题］ 已知等差数列是首项为的递增数列，若， ，则 满足条件的数列 的一个通项公式为____________________________． （答案不唯一） 【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得 ，又 ，得，解得，所以只需 可满足题意，如 ． 6.已知数列 则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为___． 3 【解析】由得数列是以 为首项， 3为公差的等差数列， 由等差数列的函数特性知，通过该数列图象上所有点的直线的斜率 . 88 7.设一个等差数列为，，且满足 ． （1）求 ； 【答案】因为为等差数列，则，所以 . （2）若，， 是公差为18的等差数列，求通项 公式 ． 【答案】设等差数列的公差为，因为， ， 是公差为18的等差数列，所以，， 是公差为18的等差数列， 所以，所以 ，所以 ． 89 8.已知数列满足，且 . （1）求， ； 【答案】由题意可得，则，又，所以 .由 ，得，所以 . （2）证明：数列{}是等差数列，并求 的通项公式． 【答案】由已知得，即 ， 所以数列{}是首项为，公差为 的等差数列， 则，所以 . 90 B 综合练丨高考模拟 建议时间:25分钟 9.若关于的方程和的四个根可组成首项为 的等差数列，则 的值是( ) C A.1 B. C. D. 91 【解析】设方程的两个根分别为， ，方程 的两个根分别为， ，则由根与系数的关系知 ． 由题设及等差数列的性质得，方程 的两个根要么排在两端，要么排 在中间． 不妨设，则 且为第4项. 不妨设，则， 分别为第2项与第3项． 设这四个数构成的等差数列的公差为 ， 则，解得 ， 92 于是第2项与第3项分别为与 ，所以由根与系数的关系得， ， ， 故 ． 10.(2026·北京市东直门中学段考)在等差数列中，, .记 ,则数列 ( ) B A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 94 【解析】由题意可知，等差数列的公差 ， 则其通项公式为 ， 注意到 ， 且由可知 ， 由可知数列不存在最小项，由于, , ,,, ， 故数列中的正项只有两项：，.故数列 中存在最大 项，且最大项为 . 95 11.[多选题] 已知等差数列的首项，公差，在 中每相邻两项之间 都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ，下列说法正确 的有( ) ABD A. B.当时， C.当时，不是数列 中的项 D.若是数列中的项，则 的值可能为6 96 【解析】对A， ，故A正确； 对B，当时，数列的公差 ， 此时 ，故B正确； 对C，当时，，此时， ， 即是数列 中的项，故C错误； 对D，当时，，又 ，故D正确. 故选 . 97 12.已知，，若，1，成等差数列，则___， 的最小值为__． 2 【解析】因为，，且，1，成等差数列，所以 ，所以 ,当且仅当 ， 即，时取等号，故的最小值为 ． 98 13.已知等差数列中，， . 【答案】由题意可知，，，则 . （1）135，是数列 中的项吗？试说明理由. 【答案】令，则，是数列 的第34项.令 ，则，是数列的第 项. （2）若，是数列中的项，则是数列 中的项吗？并 说明你的理由. 【答案】，是数列中的项，， . ，其 中 ， 是数列的第 项. 99 C 培优练丨能力提升 14.新定义 等方差数列 (2026·江苏省常州市第一中学调研)在数列 中，若 ，，为常数，则称 为“等方差数列”.给出下列命题: ①数列 是“等方差数列”； ②若是“等方差数列”，则 是等差数列； ③若是“等方差数列”，则，为常数 也是“等方差数列”； ④若 既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题的序号为__________. ①②③④ 100 【解析】对于①，因为，所以 是“等方差数列”; 对于②，因为是“等方差数列”，所以,，为常数 ， 所以由等差数列的定义，可得 是等差数列； 对于③，因为 ，所以 ，为常 数，故 为“等方差数列”； 对于④，数列满足,,为常数，， ， 若，则为常数列，满足题意，此时,为常数.若 ，则两式相除得 ，所以,为常数，即 为常数列. 101 $