4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习以等差数列概念为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展延伸三层设计，实现从概念辨析到创新应用的知识进阶，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固（1-8题）|等差数列定义判断、基本量（a₁,d,aₙ）计算、简单性质应用|单考点选择填空（如第1题概念辨析、第7题中项计算），夯实基础| |综合应用（9-10题）|多量关系综合运算、实际情境应用|分步解答题（如第9题三问递进求d,a₁,a₂），培养运算能力| |拓展延伸（11-17题）|新定义（二阶等差、等方差数列）、充要条件、跨学科应用|多选题（第6、16题）与新情境题（第17题埃及分数），发展创新意识与模型观念|

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 1.A　[解析] 对于A,显然4-2≠8-4,所以该数列不是等差数列;对于B,设数列为{an},显然满足an+1-an=3(n=1,2,…,4),所以该数列是等差数列;对于C,设数列为{bn},显然满足bn+1-bn=(n=1,2,…,4),所以该数列是等差数列;对于D,设数列为{cn},显然满足cn+1-cn=1(n=1,2,…,4),所以该数列是等差数列.故选A. 2.A　[解析] ∵a3=a2+d=a1+2d,a3=2,公差d=-,∴a1=a3-2d=2+1=3.故选A. 3.B　[解析] 等差数列{an}满足a6+a7+a8=6,则3a7=6,∴a7=2.故选B. 4.B　[解析] 由题意可知bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd,所以数列{bn}是以cd为公差的等差数列,故选B. 5.B　[解析] 因为等差数列{an}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,所以2(2a+1)=(a-1)+(a+7),解得a=2,所以该等差数列的前三项分别为1,5,9,公差为4,所以此数列的第四项为9+4=13.故选B. 6.ABD　[解析] 对于A,因为数列{an}是等差数列,所以an+1-an=d(常数d为公差),所以A正确;对于B,因为数列{an}是等差数列,所以(-an+1)-(-an)=-(an+1-an)=-d,所以数列{-an}是等差数列,故B正确;对于C,-==,不是常数,所以数列不是等差数列,故C不正确;对于D,根据等差数列的性质可知2an+1=an+an+2,所以an+1是an与an+2的等差中项,故D正确.故选ABD. 7.14　[解析] 因为等差数列{an}中,a2=7,a6=21,所以a4==14. 8.-2,2,6或6,2,-2　[解析] 设这三个数分别为a-d,a,a+d.由题意可得解得 或故这三个数依次为-2,2,6或6,2,-2. 9.解:(1)由等差数列的定义,可知公差d=a2-a1=-3,a3=a2+d=-1. (2)∵a2=4,a3=2,∴d=a3-a2=-2,a1=a2-d=6. (3)∵a1=2,a3=4,∴2a2=a1+a3=6,∴a2=3,故d=a2-a1=1. 10.解:因为a+b=3,b+d=6,所以d=a+3, 因为b,d,e成等差数列,所以2d=b+e,即2a+6=3-a+e,即e=3a+3, 因为2a,d,e成等差数列, 所以2d=2a+e,即2a+6=2a+3a+3,解得a=1. 11.A　[解析] 因为-=4,故{}是以4为公差的等差数列,所以=+4=5,=+4=9,因为an>0,所以a3=3.故选A. 12.B　[解析] 若数列{an}为等差数列,则2a2=a1+a3,必要性成立;若2a2=a1+a3,则不能断定“数列{an}为等差数列”成立,必须满足对任意的n∈N*,都有2an+1=an+an+2成立才可以,充分性不成立.故“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的必要且不充分条件. 13.B　[解析] 由=+(n∈N*,n≥2)知,数列是等差数列,则其公差d=-=1,所以=+d=+1=,故a2025=.故选B. 14.(2,4]　[解析] 在△ABC中,由A,B,C成等差数列,可得2B=A+C,由A+B+C=π,得3B=π,即B=,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B,可得4=a2+c2-2ac·cos ,即4=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,则(a+c)2-4=3ac≤(a+c)2(当且仅当a=c时取等号),可得0<a+c≤4,又a+c>b=2,∴a+c的取值范围是(2,4]. 15.D　[解析] 方法一:根据题意知,bn-1=an-an-1=n+1(n≥2),令n=7,得b6=8. 方法二:由题意得,新数列{bn}为3,4,5,6,7,…,且{bn}为等差数列,故b6=8.故选D. 16.BCD　[解析] 若an=,则=n,所以{an}是等方差数列,但{an}不是等差数列,A错误;若an=5,则=25,所以-=0(n≥2),则{an}是等方差数列,{an}是等差数列,B正确;若an=(-1)n,则=1,所以{an}是等方差数列,C正确;若{an}是等方差数列,则-=d是常数,因此-=-+-=d+d=2d是常数,所以{a2n}也是等方差数列,D正确.故选BCD. 17.A　[解析] 依题意,对于拆分后的分数,其分子都是1,分母依次变大,=+++,且=+=++=++=+++=+++,x,y,z是以101为首项的等差数列,所以x=101,y=202,z=303,故y+z=202+303=505.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 1.下列数列中,不是等差数列的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2,4,8,16,32 B.4,7,10,13,16 C.,,1,, D.-3,-2,-1,0,1 2.已知数列{an}是一个等差数列,a3=2,公差d=-,则a1= (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知等差数列{an}满足a6+a7+a8=6,则a7= (　 ) A.1 B.2 C.4 D.8 4.若等差数列{an}的公差为d,bn=can(c为常数且c≠0),则 (　 ) A.数列{bn}是公差为d的等差数列 B.数列{bn}是公差为cd的等差数列 C.数列{bn}是首项为c的等差数列 D.数列{bn}不是等差数列 5.[2025·江苏兴化中学高二月考] 已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则此数列的第四项为 (　 ) A.12 B.13 C.10 D.15 6.(多选题)[2025·江苏镇江中学高二质检] 已知数列{an}为等差数列,则下列说法正确的是(　 ) A.an+1=an+d(d为常数) B.数列{-an}是等差数列 C.数列是等差数列 D.an+1是an与an+2的等差中项 7.在等差数列{an}中,a2=7,a6=21,则a4=　　　　.  8.已知三个数成等差数列,这三个数的和为6,积为-24,则这三个数分别为　　　　　　　　.  9.(13分)已知数列{an}是等差数列. (1)如果a1=5,a2=2,求公差d和a3; (2)如果a2=4,a3=2,求公差d和a1; (3)如果a1=2,a3=4,求公差d和a2. 10.(13分)已知a,b,d,e四个数,其中b,d,e成等差数列,且a+b=3,b+d=6,若2a,d,e成等差数列,求a的值. 11.[2025·江苏徐州一中高二月考] 已知数列{an}满足=+4,且a1=1,an>0,则a3= (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 12.已知数列{an}是无穷数列,则“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 13.[2025·广东梅州中学高二质检] 在数列{an}中,=+(n∈N*,n≥2)且a2023=,a2024=,则a2025等于 (　 ) A. B. C. D.3 14.[2025·江苏扬州中学高二月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列,b=2,则a+c的取值范围为　　　　.  15.[2025·山东泰安一中高二月考] 数列2,4,7,11,16从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等差数列{an},其前六项依次为2,5,9,14,20,27,记该数列的后一项与前一项之差组成新数列{bn},则b6= (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 16.(多选题)[2025·江苏启东中学高二调研] 在数列{an}中,若-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则{an}称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的说法正确的是 (　 ) A.若{an}是等方差数列,则{an}一定是等差数列 B.若{an}是等方差数列,则{an}可能是等差数列 C.{(-1)n}是等方差数列 D.若{an}是等方差数列,则{a2n}也是等方差数列 17.单分数(分子为1,分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色,埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和.例如=+,=++++.现已知可以表示成4个单分数的和,记=+++,其中x,y,z是以101为首项的等差数列,则y+z的值为 (　 ) A.505 B.404 C.303 D.202 学科网（北京）股份有限公司 $