滚动习题(四) (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习聚焦圆锥曲线，通过基础-提升-综合三层设计，覆盖抛物线、双曲线等核心知识点，从概念应用到综合问题解决，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线准线、双曲线方程等单一概念|选择1-4直接考查定义与公式，填空9强化焦点坐标计算，夯实基础| |提升层|离心率、渐近线、焦点弦等综合性质|选择5-6结合角度与比例关系，多选7-8辨析曲线性质，培养推理能力| |综合层|轨迹方程、最值、存在性等应用问题|解答12-14融合几何与代数运算，如14题探究垂直条件，发展数学思维与表达|

滚动习题(四) 1.C　[解析] 抛物线的方程可以转化为x2=y,则抛物线的准线方程为y=-.故选C. 2.D　[解析] 因为双曲线C的一个焦点是F1(0,2),所以设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线方程为y=±x,由解得所以C的方程是-x2=1.故选D. 3.A　[解析] 由-=1,得+=1,若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则t-2>4-t>0,解得3<t<4,结合选项可知,曲线C是焦点在y轴上的椭圆的一个充分且不必要条件是<t<4.故选A. 4.A　[解析] 依题意,A(2,-2)在抛物线y=ax2(a<0)上,所以-2=a×22⇒a=-,所以抛物线方程为y=-x2,即x2=-2y,故p=1,即=,且抛物线开口向下,所以抛物线的焦点坐标为.故选A. 5.C　[解析] 不妨设点A位于第一象限,对于y2=12x,令x=1可得y=±2,则A(1,2),B(1,-2),易知F(3,0),取H(1,0)(如图),∴tan∠AFH===,∴∠AFH=60°,则∠AFB=120°.故选C. 6.C　[解析] 如图,设BF1=m,则BF2=m,因为3AF2=2F2B,所以AF2=m,根据双曲线的定义得AF1=m+2a,因为AF1⊥BF1,所以由勾股定理得+m2=,即(m-3a)(m+a)=0,所以m=3a,则BF1=3a,AF2=2a,AF1=4a.在△AF1F2中, cos∠AF1F2==.设O为原点,在△OF1B中,cos∠OBF1=.因为 ∠AF1F2+∠BF1O=90°,∠BF1O+∠OBF1=90°,所以∠AF1F2=∠OBF1,从而cos∠AF1F2= cos∠OBF1,即=⇒(9a2-5c2)2=0⇒9a2=5c2,所以9a2=5(a2+b2)⇒=⇒=,所以双曲线渐近线的方程为y=±x.故选C. 7.BC　[解析] 对于选项A,双曲线C1:-=1的实轴在x轴上,双曲线C2:-=1的实轴在y轴上,所以选项A错误;对于选项B,因为双曲线C1:-=1和C2:-=1的焦距均为2c=,所以选项B正确;对于选项C,双曲线C1:-=1的渐近线方程为y=±x,双曲线C2:-=1的渐近线方程为y=±x,所以选项C正确;对于选项D,双曲线C1:-=1的离心率e1==,双曲线C2:-=1的离心率e2==,因为a≠b,所以e1≠e2,故选项D错误.故选BC. 8.ABD　[解析] 对选项A,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4,所以p=4,则F(2,0),故A正确.对选项B,当直线l的斜率不存在时,l:x=2,所以x1x2=2×2=4,当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-2),由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1x2=4,故B正确.对选项C,AB=x1+x2+p=5+4=9,故C错误.对选项D,如图所示,过A,B,M分别向准线作垂线,垂足分别为A1,B1,M1,因为AA1=AF,BB1=BF,所以AB=AF+BF=AA1+BB1=2MM1,即以线段AB为直径,M为圆心的圆与C的准线相切,故D正确.故选ABD. 9.4　[解析] 由题意得F(1,0),准线方程为x=-1,设A(m,n),则AF中点的横坐标为,由=2,解得m=3,由抛物线的定义可知AF=3+1=4. 10.{-1,1}　[解析] 由离心率为可得=,解得a=1,则C:x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,又直线x+my-4=0不过原点,所以m=±1,故m的取值集合为{-1,1}. 11.4　[解析] 由题意可知,焦点F(0,1),抛物线的准线为y=-1,设M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+1,则MF=y1+1=5,∴y1=4,代入y1=kx1+1,得x1=±4,由抛物线的对称 性,不妨设M在第一象限,则M(4,4).由得x2-4kx-4=0,∴x1·x2=-4,即x2=-1,∴==4. 12.解:(1)因为点P与点F(0,1)的距离比它到直线y+3=0的距离小2, 所以点P与点F(0,1)的距离和它到直线y+1=0的距离相等, 则点P的轨迹C是以F(0,1)为焦点,直线y+1=0为准线的抛物线, 故轨迹C的方程为x2=4y. (2)证明:设A,B在准线上的射影分别为A1,B1,如图,过点B作BM⊥BB1,BM与AA1交于点M, 因为AF=AA1,BF=BB1,AF-BF=2,所以AA1-BB1=AM=2, 又AB=3,所以BM===, 故直线AB的斜率k===. 13.解:(1)由题意知解得则b==4, 所以双曲线C的方程为-=1. (2)设双曲线C的左焦点为F0, 则F0(-5,0),如图,连接PF0, 由双曲线的定义知PF-PF0=2a=6,则PF=PF0+6,可得PA+PF=PA+PF0+6,当P,F0,A三点共线时,PA+PF0最小,且最小值为AF0=12+5=17.故PA+PF的最小值为17+6=23. 14.解:(1)由题可知F(3,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为θ=,所以直线l的斜率k=, 则直线l的方程为x-y-5=0, 因此点O到直线l的距离d=. 由可得y2-4y-60=0,显然Δ1=(-4)2-4×(-60)>0,所以y1+y2=4,y1y2=-60,则AB=·=·=8, 所以S△OAB=d·AB=30. (2)假设存在满足题意的直线l,设直线l的方程为y=x+b,即x=y-b, 由得y2-12y+12b=0, 故Δ2=144-48b>0,即b<3,y1+y2=12,y1y2=12b. 易知=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),因为FA⊥FB,所以·=0, 因为x1=y1-b,x2=y2-b,所以2y1y2-(b+3)(y1+y2)+(b+3)2=0,即b2+18b-27=0,解得b=-9+6或b=-9-6,故存在斜率为1的直线l,使得FA⊥FB,此时直线l的方程为y=x-9+6或y=x-9-6. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(四) (时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.[2025·江苏扬州中学高二期中] 抛物线3y=8x2的准线方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.x=- B.x= C.y=- D.y= 2.[2025·河北秦皇岛一中高二月考] 已知双曲线C的一个焦点是F1(0,2),渐近线方程为y=±x,则C的方程是 (　 ) A.x2-=1 B.-y2=1 C.y2-=1 D.-x2=1 3.已知曲线C:-=1,则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分且不必要条件是 (　 ) A.<t<4 B.3<t<4 C.3<t<5 D.<t<3 4.数学与建筑的结合造就建筑艺术品,已知某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y=ax2(a<0)的一部分,且点A(2,-2)在该抛物线上,则该抛物线的焦点坐标是 (　 ) A. B.(0,-1) C. D. 5.[2025·江苏徐州一中高二质检] F为抛物线C:y2=12x的焦点,直线x=1与抛物线交于A,B两点,则∠AFB为 (　 ) A.30° B.60° C.120° D.150° 6.[2025·天津南开区期末] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是C上一点(在第一象限),直线AF2与y轴交于点B,若AF1⊥BF1,且3AF2=2F2B,则C的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 7.[2025·山东菏泽一中高二月考] 已知双曲线C1:-=1 和C2:-=1,其中a>0,b>0,且a≠b,则 (　 ) A.C1与C2有相同的实轴 B.C1与C2有相同的焦距 C.C1与C2有相同的渐近线 D.C1与C2有相同的离心率 8.[2025·福建厦门一中高二质检] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4,直线l过它的焦点F且与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,M为弦AB的中点,则下列说法正确的是 (　 ) A.抛物线C的焦点坐标是(2,0) B.x1x2=4 C.若x1+x2=5,则AB=7 D.若以M为圆心的圆与C的准线相切,则线段AB是该圆的一条直径 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 9.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A为C上的一点,AF中点的横坐标为2,则AF=　　　　.  10.已知直线x+my-4=0与离心率为的双曲线C:-y2=1(a>0)的一条渐近线平行,则m的取值集合为　　　　.  11.[2025·浙江绍兴一中高二质检] 已知抛物线的方程为x2=4y,过其焦点F的直线与抛物线交于M,N两点,且MF=5,O为坐标原点,则△MOF的面积与△NOF的面积之比为　　　　.  四、解答题(本大题共3小题,共43分) 12.(13分)已知点P与点F(0,1)的距离比它到直线y+3=0的距离小2. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)若点P的轨迹C上有两点A,B均在第一象限,且AF-BF=2,AB=3,求证:直线AB的斜率是. 13.(15分)[2025·江苏盐城中学高二月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,F(c,0)为双曲线的右焦点,且点F到直线x=的距离为. (1)求双曲线C的方程; (2)若点A(12,0),点P为双曲线C左支上一点,求PA+PF的最小值. 14.(15分)[2025·广东深圳中学高二调研] 已知顶点为原点O的抛物线y2=12x的焦点为F,直线l与抛物线交于A,B两点. (1)若直线l过点M(5,0),且其倾斜角θ=,求S△OAB的值. (2)是否存在斜率为1的直线l,使得FA⊥FB?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $