3.2.1 双曲线的标准方程-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）
2025-12-02
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程、几何性质及综合应用，从基础定义出发，通过基础达标题（如焦点位置与方程求解）过渡到能力提升题（与椭圆综合、面积计算）再到素养拓展题（实际运输、光线反射），构建递进式学习支架帮助学生深化理解。
其亮点在于以数学眼光抽象现实问题（如苗圃运输转化为双曲线模型），用数学思维进行逻辑推理（分类讨论点P在双曲线左右支情况），通过规范解题步骤强化数学语言表达。实例丰富如结合椭圆焦点求双曲线方程，分层设计满足教学需求，助力学生提升应用能力，方便教师落实核心素养教学。
内容正文：
课后达标检测
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1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点 与
， 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意，，，则， ，
由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为 .故选C.
√
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2.已知方程表示焦点在轴的双曲线，则 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
解析：选C.方程可化为 ，
由方程表示焦点在轴的双曲线，得
解得 .
√
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3.若双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线 上，
且，则 ( )
A.或 B. C. D.
解析：选B.因为双曲线方程为，所以，, ,又
，
当点在双曲线左支上时， ，则
,符合题意；
当点在双曲线右支上时， ，
则 ，不合题意，舍去.
√
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4.已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点 在双曲
线的右支上，且，则 ( )
A. B. C. D.
√
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解析：选A.由题意可得 ，
由双曲线的定义得 ，
而，解得 ， ，
由余弦定理得
，
所以 .故选A.
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5.（多选）过点，且 的双曲线的标准方程可以是( )
A. B. C. D.
解析：选.因为，所以 ，
当焦点在轴上时，设双曲线方程为 ，
代入，得 ，
此时双曲线方程为 .
同理，求得焦点在轴上的双曲线方程为.故选 .
√
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6.（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在
上.若是直角三角形，则 的面积为( )
A. B. C.4 D.2
解析：选.由双曲线可得 .根据
双曲线的对称性只需考虑或 两种情况.
当时，将代入可得，所以
的面积为 ;
当 时，
方法一:由双曲线的定义可知，
√
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，由勾股定理可得 ，
所以，此时的面积为 .
方法二：令 ,则 .综上所
述，的面积为4或 .
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7.已知双曲线和椭圆 有相同的焦点，
则 的最小值为___.
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解析：的焦点坐标为，故 ，故
，当且仅
当，即,时，等号成立，故 的最小值为9.
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8.已知,分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则
___.
9
解析：根据双曲线方程可得, ，
再由双曲线定义可得，解得 或
，
又因为，所以可得 .
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9.直线与双曲线相交，则实数 的取值范围为_______
___．
解析：将代入，得 ，若
，则无解；若，则由 可得
.
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10.（13分）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）过点，且与椭圆 有相同焦点的双曲线方程；
（6分）
解：由题意可知椭圆的焦点坐标为, ,
所以可设双曲线的标准方程为，其中 ,
①
代入点可得 ，②
联立①②解得, ,
所以双曲线的标准方程为 .
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（2）过点，，， 且焦点在坐标轴上.（7分）
解：设双曲线的方程为， .
因为点， 在双曲线上，
所以解得
所以双曲线的标准方程为 .
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11.（多选）已知点在双曲线上，,分别是双曲线 的
左、右焦点，若 的面积为20，则( )
A. B.
C.点到轴的距离为4 D.
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解析：选.由已知得， ，
则右焦点的横坐标为 ，
由双曲线的定义可知， ，故A错误；
设点，则 ，
所以 ，故C正确；
由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为, ，
得 ，
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由双曲线的定义，得 ，所以
，故B正确；
由余弦定理,得 ，
所以，故D错误.故选 .
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12.已知双曲线的两个焦点为，，点 在该双曲线上，且
，则点到 轴的距离为___．
解析：由双曲线的定义得 ，平方得
，又因为 ，所以由勾股
定理得 ，代入
，解得 ，因为
,所以，所以点到
轴的距离为 .
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13.（15分）已知双曲线过点且与椭圆 有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；（5分）
解：椭圆方程可化为，焦点在轴上且 ,故可设
双曲线方程为 .
依题意得解得
所以双曲线的标准方程为 .
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（2）若点在双曲线上，，为左、右焦点，且 ,试
判断 的形状.（10分）
解：不妨设点在双曲线的右支上，则 .
因为 ,
所以, .
又 ,
所以在中，边 最长，
因为 ,
所以为钝角，故 为钝角三角形.
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14.（15分）如图，某苗圃有两个入口， ，
，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植
物，现有若干树苗放在苗圃外的 处，已知
，，以所在直线为轴，
中点为原点建立平面直角坐标系.
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（1）工人计划将树苗运送至 处，请帮助工人指出从哪个入口运送
最近？并说明理由；（5分）
解：由题意可得，， ，
，
,
经过入口时最短距离为 ，
经过入口时最短距离为 .
因为,所以经过 入口运送最近.
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（2）工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口， 运输的
最近距离相等，求出点 所有可能的位置.（10分）
解：设点，已知 ，可得
，
所以点所有可能的位置是以， 为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的
部分，
则，即，又因为 ，则
，
所以点所有可能的位置是 在苗圃内所对应的点.
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15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线
反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后
要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点
出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点
发出.如图，椭圆 与双曲线
有公共焦点，现一光线
从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过
次反射后回到左焦点所经过的路径长为___________.
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解析：光线从椭圆的左焦点出发经过椭圆反射后要回到
另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射
后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，
如图， ,
,
所以光线经过 次反射后回到左焦点所经过的路径长为
.
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