3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质 第2课时 直线与抛物线的综合应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习聚焦直线与抛物线综合应用，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的梯度进阶，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直线与抛物线位置关系、距离公式|单选（1-5）、填空（7-8），强化概念理解与基本运算| |中档|焦点弦、中点弦、弦长计算|解答题（9-10），结合坐标法解决综合问题，培养推理能力| |提升|垂直关系、光学性质、定值证明|多选（11-13,15）、解答题（16），创设创新情境，发展数学思维与表达|

第2课时　直线与抛物线的综合应用 1.过点A(1,1)且与抛物线C:y2=x只有1个公共点的直线有 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 2.已知抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 (　 ) A. B.(0,0) C.(1,2) D.(1,4) 3.若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A,B两点,F是抛物线的焦点,则FA+FB=(　 ) A.2 B.9 C.5 D.13 4.[2024·北京大兴区期末] 过抛物线x2=4y的焦点F作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于A,B两点,则AB= (　 ) A. B.4 C. D. 5.过抛物线y2=8x的焦点的直线与抛物线相交于M,N两点,若M,N两点到直线x=-3的距离之和等于11,则这样的直线 (　 ) A.不存在 B.有且仅有一条 C.有且仅有两条 D.有无穷多条 6.(多选题)[2024·安徽芜湖高二期末] 已知抛物线C:x2=2py(p>0),且直线y=2x被抛物线所截得的弦长为4,则 (　 ) A.抛物线C的焦点坐标为 B.抛物线C的准线方程为y=- C.抛物线C的方程为x2=2y D.抛物线C的方程为x2=y 7.[2025·江苏徐州一中高二月考] 已知拋物线C:x2=2py(p>0),C的一条切线方程为x-y-1=0,则C的准线方程为　　　　.  8.已知点P(2,1),若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线的方程是　　　　　　.  9.(13分)[2024·江苏南通高二期中] 在平面直角坐标系xOy中,过点T(3,0)的直线l与抛物线C:y2=3x相交于点A,B. (1)若直线l的斜率为1,求AB; (2)求证:OA⊥OB. 10.(13分)[2024·河南商丘高二期中] 已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,A在C上且位于第一象限,点B在y轴上,AB⊥y轴,AB=2,AF=3. (1)求C的方程; (2)过F作斜率为k的直线与C交于M,N两点,△MON的面积为(O为坐标原点),求直线MN的方程. 11.[2025·湖南长沙一中高二质检] 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,且直线l1,l2分别与抛物线C交于A,B和D,E,则四边形ADBE面积的最小值是 (　 ) A.32 B.64 C.128 D.256 12.(多选题)[2025·山东菏泽一中高二月考] 过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与E交于A,B两点,若=3,则l的倾斜角θ可以为 (　 ) A. B. C. D. 13.(多选题)[2025·江苏江宁高级中学高二质检] 已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,过点F作直线l交C于M,N两点,则 (　 ) A.C的准线为x=-2 B.∠MON的大小可能为 C.MN的最小值为8 D.MF·NF=2(MF+NF) 14.[2025·江苏江阴中学高二调研] 如图,已知O为原点,一条直线与抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB,OD与AB交于点D,点D的坐标为(2,4),则p的值为　　　　.  15.(多选题)[2025·安徽安庆一中高二质检] 抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C:y2=2x,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(m,2)射入,经过C上的点A(x1,y1)反射后,再经过C上另一点B(x2,y2)反射后,沿直线l2射出并经过点Q,则(　 ) A.x1x2= B.延长AO交直线x=-于点D,则D,B,Q三点共线 C.AB= D.若PB平分∠ABQ,则m= 16.(15分)已知抛物线C:y2=2x,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上两个不同的点. (1)求证:直线y1y=x1+x与C相切; (2)若O为坐标原点,·=-1,C在A,B处的切线交于点P,证明:点P在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线与抛物线的综合应用 1.C　[解析] 因为点A在C上,所以过点A且与C相切的直线只有1条,该切线满足题意.过点A且斜率为0的直线与C也只有1个公共点,所以满足题意的直线有2条.故选C. 2.A　[解析] 方法一:设抛物线上一点的坐标为(x,4x2),其中x∈R,则该点到直线y=4x-5的距离d==,所以当x=时,d取得最小值,此时该点的坐标为. 方法二:设与直线y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线的方程为y=4x+m,由得4x2-4x-m=0,则Δ=16-4×4×(-m)=0,得m=-1.易知切点为,故所求点的坐标为. 3.D　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则FA+FB=x1+x2+6.由 得x2-7x+4=0,∴x1+x2=7,∴FA+FB=13,故选D. 4.D　[解析] 抛物线x2=4y的焦点F(0,1),则直线l的方程为y=x+1,由得3y2-10y+3=0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,所以AB=y1+y2+2=.故选D. 5.C　[解析] 由题意知M,N两点到准线x=-2的距离之和等于9,由抛物线定义得MN=9,而在抛物线y2=8x的焦点弦中,最短弦长为2p=8,所以根据抛物线的对称性知,长为9的焦点弦有且仅有两条,即所求直线有且仅有两条.故选C. 6.AC　[解析] 由可得 或所以直线y=2x与抛物线C的交点坐标为(0,0)和(4p,8p),所以=4,解得p=1(负值舍去),故抛物线C的方程为x2=2y,焦点坐标为,准线方程为y=-,故A,C正确,B,D错误.故选AC. 7.y+1=0　[解析] 由消去y得x2-2px+2p=0,则Δ=(-2p)2-4×2p=0,可得p=2,则抛物线方程为x2=4y,所以抛物线的准线方程为y=-1,即y+1=0. 8.2x-y-3=0　[解析] 当x=2时,|y|=2>1,则P在抛物线内,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,易知x1≠x2,由两式相减得-=4x1-4x2,∴===2,即kAB=2,∴弦AB所在直线的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 9.解:(1)由题意知,直线l的方程为y=x-3,由得x2-9x+9=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=9,x1x2=9,所以AB=·=×=3. (2)证明:设l的方程为x=3+my,由消去x得y2-3my-9=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1y2=-9,所以x1x2=·=9,所以·=x1x2+y1y2=0,所以⊥,即OA⊥OB. 10.解:(1)由题知,xA=2,由抛物线的定义知,AF=xA+=2+=3,∴p=2,∴C的方程为y2=4x. (2)由(1)知F(1,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),由题知直线MN的方程为y=k(x-1),与y2=4x联立,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 由题易知k≠0,∴x1+x2=,x1x2=1,∴MN=|x1-x2|= = =, 又∵原点O到直线MN的距离d=,∴S△MON=MN·d=××==,解得k=±2, ∴直线MN的方程为y=2x-2或y=-2x+2. 11.A　[解析] 由题意得,抛物线的焦点为F(1,0),显然l1,l2斜率均存在且不为0,如图,设直线l1的方程为x=ty+1(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4ty-4=0,则y1+y2=4t,即AB=x1+x2+2=(ty1+1)+(ty2+1)+2=4t2+4.∵l1⊥l2,∴直线l2的方程为x=-y+1,设D(x3,y3),E(x4,y4),则y3+y4=-,即DE=x3+x4+2=+4,∴四边形ADBE的面积S=AB·DE=(4+4t2)=8≥8=32,当且仅当t2=,即t=±1时等号成立,∴Smin=32.故选A. 12.BD　[解析] 由题易知θ≠,因为焦点F,所以设AB:x=my+(m≠0),令A(x1,y1),B(x2,y2),由消x可得y2-2pmy-p2=0,则Δ=(-2pm)2+4p2=4p2m2+4p2>0,y1+y2=2pm,y1·y2=-p2,因为=3,所以y1=-3y2,所以y2=-pm,y1=3pm,所以y1·y2=-3p2m2=-p2,解得m2=,所以l的斜率为tan θ==±,则θ=或θ=.故选BD. 13.ACD　[解析] 由题意得p=4,则C的准线为x=-2,故A正确;F(2,0),C:y2=8x,设l:x=my+2,M(x1,y1),N(x2,y2),由可得y2-8my-16=0,所以y1+y2=8m,y1y2=-16,所以x1x2=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4,则·=x1x2+y1y2=4-16=-12<0,所以∠MON>,故B错误;MN==8(m2+1)≥8,当且仅当m=0时,MN取得最小值8,故C正确;因为x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4,x1x2=4,所以+=+=+==,所以MF·NF=2(MF+NF),故D正确.故选ACD. 14.　[解析] 设直线AB:y=kx+b(b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2pkx-2pb=0,则x1x2=-2pb,y1y2=·=b2,∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,则b(-2p+b)=0,∴b=2p,∴AB过定点C(0,2p),又D(2,4),∴=(2,4-2p),=(2,4),∵OD⊥AB,∴·=0,即4+4(4-2p)=0,解得p=. 15.AB　[解析] 由题意知,抛物线C的焦点F,A(x1,2),如图,将(x1,2)代入y2=2x,得x1=2,所以A(2,2),则直线AB的斜率k==,则直线AB的方程为y-0=,即y=x-,由得8x2-17x+2=0,解得x1=2,x2=,所以x1x2=2×=,所以A正确;AB=x1+x2+1=2++1=,所以C错误;对于B,将x2=代入y2=x2-,得y2=-,则B,易知直线BQ∥x轴,则直线BQ的方程为y=-,又A(2,2),所以直线AO的方程为y=x,令x=-,得y=-,即D,则D在直线BQ上,所以D,B,Q三点共线,所以B选项正确;设直线PB的倾斜角为θ,斜率为k0,直线AB的倾斜角为α,若PB平分∠ABQ,即∠ABQ= 2∠PBQ,即α=2θ,所以kAB=tan α=tan 2θ=,则=,且k0>0,解得k0=,由k0==,解得m=,所以D错误.故选AB. 16.证明:(1)由得y2-2y1y+2x1=0, 因为A(x1,y1)在C上,所以=2x1, 所以Δ=(-2y1)2-4×2x1=4-8x1=0, 因此直线y1y=x1+x与C相切. (2)设P(x0,y0),由(1)知,切线PA的方程为y1y=x1+x,切线PB的方程为y2y=x2+x, 由题知y1≠0,y2≠0且y1≠y2, 由得x=x0=, 又因为x1=,x2=,所以x0=. 因为·=-1,所以x1x2+y1y2=·+y1y2=-1,解得y1y2=-2,所以x0=-1, 故点P在定直线x=-1上. 学科网（北京）股份有限公司 $