3.3.2 抛物线的几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率及焦点弦、通径等核心内容，通过课标要点图解梳理知识基础，以例题讲解、对点练习构建从基础到拔高的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于整合思维导图、例题及培优练习，一体化教学资源丰富，通过逻辑推理推导焦点弦结论，数学运算求解弦长问题，直观想象辅助几何分析，如抛物线形拱桥应用培养建模能力。学生能提升核心素养，教师可高效开展分层教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第三章 圆锥曲线与方程 本节掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，能利用性质解决简单问题，会区分抛物线与椭圆、双曲线性质的差异，提升数形结合、数学运算与逻辑推理素养。 3.3.2 抛物线的几何性质 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括99张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 抛物线的几何性质 标准方程 图形 几何性质 范围 ， , , , 对称性 关于 轴对称 关于 轴对称 顶点 坐标原点 离心率 4 学思用·典例详解 例1-1 动点在抛物线上，则点到点 的距离的最小值为( ) C A. B. C.1 D. 【解析】设，因为为抛物线焦点，由焦半径公式可得 . 又，所以点到点 的距离的最小值为1. 点评 抛物线上的点到焦点的最短距离为 ，此时，该点为抛物线的顶点. 5 知识点2 焦点弦及通径 1 焦点弦 过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的焦点弦. 如图3.3.2-1，是抛物线过焦点 的一条弦. 图3.3.2-1 6 设,,线段的中点,过，， 分别向抛物线的准线 作垂线，垂足分别为,,,则根据抛物线的定义有, ,故 .因为是梯形 的中位线，所以 . 7 综上可得以下结论. ,,所以 ,常称其 为抛物线的焦点弦长公式. 知识剖析 设焦点弦的两个端点为, ,则 标准方程 焦点弦 （焦点弦长与中点坐标的关系）. ,两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即, . （联立直线 的方程与抛物线的方程即可得到） . . . . . . 8 ④若直线的倾斜角为 ,则,, , 从而, . ⑤设弦的斜率为，则焦点弦的斜率式为 . , . . . . . 9 2 通径 （1）定义 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于，两点的线段 ，称 为抛物线的通径.（通径是所有焦点弦中最短的弦） 图3.3.2-2 如图3.3.2-2所示,对于抛物线,由 , ,（由抛物线的几何性质和通径的两个端点，可快速画 出抛物线的简图）可得,故抛物线的通径长为. 四种标准方程下的抛物线的通径均为 . . . . . . . . 10 （2）通径在反映抛物线开口大小上的作用 线段叫作抛物线的通径，长度为,这是常数的又一几何意义，所以 越大， 通径越大，即抛物线的开口越大；反之， 越小，通径越小，即抛物线的开口越小. 11 学思用·典例详解 【想一想丨教材深挖】 对于焦点弦，除了左栏的一些结论外，我们对教材第117页【习题 】第4题、第 7题进行深入挖掘，还可以得到一些其他的几何性质. 图3.3.2-3 12 提示 如图3.3.2-3所示，设过抛物线焦点 的直线与抛物线交于 ，两点，过，两点作准线的垂线，垂足分别为，.连接, ，由抛物线 的定义可知, ， , . 又，轴， . 同理 ， ， 即 （结论1） 设和的中点分别为, ， 连接,，则 13 , 即 （结论2） ，，，四点共圆，且，,, 四点共圆.……（结论3） 由于，即到的距离等于 的一半， 以为直径的圆与相切于点 （结论4） 同理可证以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆也与 轴相切.……（结论5） 连接,,在中，,则 ，即 （结论6） 例2-2 过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点，若，则 的中 点到 轴的距离为( ) C A.2 B.3 C.4 D.8 【解析】设，，则由抛物线的焦点弦长公式可得 , 所以，则的中点到轴的距离为 . 例2-3 抛物线 的通径长为_ _. 【解析】抛物线,即 ,（注意转化为标准方程） 可得,因此通径长为 . . . 15 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 抛物线的几何性质的应用 1 求标准方程 例4 根据下列条件,求抛物线的标准方程： （1）顶点在原点,对称轴为轴,经过点 ； 【解析】根据题意,设抛物线的标准方程为 . 因为点在抛物线上，所以,解得 .故所求抛物线的标 准方程为 . 16 （2）与抛物线共顶点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线 上. 【解析】因为抛物线 的顶点为原点，所以所求抛物线的顶点为原点.又直 线与轴的交点为,与轴的交点为 ，所以所求抛物线的焦点为 或 . 当焦点为时，设抛物线的标准方程为,则 ,故所求抛物 线的标准方程为 ; 当焦点为时，设抛物线的标准方程为,则 ，故所求抛物线 的标准方程为 . 综上可知，所求抛物线的标准方程为或 . 17 18 利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程的步骤 19 当抛物线的焦点位置不确定时，如焦点在定直线上或焦点为已知椭圆的焦点等，则 需进行分类讨论，而恰当地设方程可避免讨论，如若抛物线的焦点在 轴上，则可设 其方程为 . 【学会了吗丨变式题】 1.以抛物线的顶点为圆心的圆交于,两点，交的准线于, 两 点.已知,,则抛物线 的标准方程为_________. 图D 3.3.2-1 【解析】如图D 3.3.2-1,设,分别与轴交于点, ,由 ,及圆与抛物线的对称性可得 , ,且轴.设点的坐标为,则 ,即 ,又,由,得 , 即,解得,故抛物线 的标准方 程为 . 21 2 抛物线对称性的应用 例5 已知点为抛物线的焦点，点为点 关于原点的对称点， 点在抛物线 上，则下列说法错误的是( ) A A.使得的点 有且仅有4个 B.使得的点 有且仅有4个 C.使得为等腰三角形的点 有且仅有4个 D.使得为直角三角形的点 有且仅有4个 22 【解析】若使得的点在第一象限，可得直线 ，代入抛物 线的方程，可得，解得，由对称性可得满足题意的点 在第四 象限也有一个，则使得的点 有且仅有2个，故A说法错误. 若使得的点在第一象限，可得直线 ，代入抛物线的 方程，可得，，则满足题意的点 在第 一象限有2个.由对称性可得满足题意的点在第四象限也有2个，则使得 的点 有且仅有4个，故B说法正确. 23 由为等腰三角形，若，则满足题意的点有2个；若 ，则 满足题意的点不存在;若，则满足题意的点有2个.则使得 为等腰 三角形的点 有且仅有4个，故C说法正确. 在中，当为直角时，满足题意的点有2个；当为直角时，点 不存在；当为直角时，点有2个.则使得为直角三角形的点 有且仅有 4个，故D说法正确． 题型2 抛物线的焦点弦问题 1 焦点弦公式的应用 例6 [教材改编P113习题3.3（1）T6] (2026·陕西省渭南市期中)斜率为 的直线经过 抛物线的焦点，且与抛物线相交于,两点，则线段 的长为____. 10 25 【解析】 由题意设,,则对于抛物线 ，焦点弦长 . 因为抛物线的焦点为，且直线的斜率为，所以直线 的方程为 ，代入抛物线方程，消去整理得 ，从而 ，所以 . 故线段 的长为10. 26 由题意设,.由题意得抛物线的焦点为，故直线 的 方程为，即，由消去得 ， 则,，代入弦长公式 ,得 . 由题意知线段为抛物线的焦点弦，已知直线的斜率为， ，代 入焦点弦的斜率式，由于抛物线的焦点在 轴上，因此将抛物线 对应的焦点弦的斜率式中的变为 可得 . 27 2 代数法解决焦点弦问题 例7 过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若 的最小值 为4，则 的最小值是( ) C A.2 B. C.4 D. 给什么 得什么 的最小值为4，因为 为焦点弦，结合焦点弦中通径最短，所以 可得 值. 求什么 想什么 题目要求，由焦半径公式可知需要求, 两点坐标的关系. 差什么 找什么 设出直线 方程，与抛物线方程联立，结合根与系数的关系，求得 , 两点坐标的关系，进而可解本题. 28 【解析】由抛物线的方程可得焦点，准线方程为 ， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为 （如此设直线方程可避免 讨论斜率不存在的情况，而且与抛物线方程联立时，计算量小）， ， ， 由整理可得 ， 所以， ， ， . . 29 由抛物线的性质可得 ，当 时取等号，（焦点弦中通径最短） 由题意可得，即，故， ，所以 ， 因为，，所以 ，当且仅当 时取等号，此时,所以 的最小值为4. 名师点评 过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点，当直线 与抛物线对称轴垂 直时，有最小值，且最小值为 . . . . . 代数法解焦点弦问题的技巧 1.巧设直线方程，如直线经过,若设直线方程为 ，则斜率不存 在的情况需单独讨论，所以可将直线方程设为 . 2.巧消未知数，解与抛物线有关的问题用代数法消元时,消去抛物线方程中的一次项 计算量更小,如若抛物线方程为,则消去 的计算量更小. 3.巧用结论解决问题，如利用焦点弦的相关结论在主观题中可快速解题. 31 【学会了吗丨变式题】 2.已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于， 两点，则为坐标原点的面积 等于( ) A A. B. C. D. 32 【解析】抛物线的焦点为 . 由题意可得直线的方程为 ， 由整理可得 ， 设， ， 则，所以 ， 又点到直线的距离 ， 所以 . 33 3 运用焦点弦解决最值问题 母题 致经典·母题探究 母题探源 动直线中点到轴距离的最小值问题的一般结论是：若长为 的 线段在抛物线上滑动，则线段的中点到 轴的最短距离 其中，若，当线段与轴垂直时，中点到 轴的距离最短. 该结论可在客观题中使用，考试时解答题中直接使用此结论会扣步骤分. 例8 (2026·安徽省合肥市开学考试)定长为3的线段的端点，在抛物线 上 移动,求的中点到轴距离的最小值,并求出此时 中点的坐标. 34 图3.3.2-4 【解析】如图3.3.2-4所示，是抛物线的焦点,过， 两 点作准线的垂线,垂足分别为，,过的中点 作准线的垂线 ，垂足为,则.连接, ,由抛物线的定 义知,，所以 . 设点的横坐标为,则,所以.当弦 过 点时等号成立，此时,点到轴的距离最短，最短距离为. （本题中，, , , ,虽然无法用此结论求解答题，但可以起到“验证”效果） 设,,则 . . . 35 当时,易知 ， 所以 , 所以,得,即 . 名师点评 在本例中，抛物线的通径长为,定长 ，这表明定长为3的 线段在抛物线上滑动时，可以过抛物线的焦点的.若将抛物线方程改为 ，则 线段不可能通过焦点，也就是说等号不可能成立，因此该解法便不可行了.我们在子 题中探讨一下该情况的解法. 子题 已知定长为3的线段的两个端点,在抛物线上滑动，求线段的中点 到 轴的最小距离. 37 【解析】设,,易知直线的斜率不可能为0，故可设直线 的方程 为.将代入，消去得 ，则 ,,所以点到轴的距离 . 又 ,所以 .于是 . 这里不能直接利用均值不等式求最小值，因为取等号的条件不具备.若要利用均值不 等式,则需变形为 , 当且仅当时取等号 . . 38 由函数的单调性可知,当且仅当,也就是当轴时 取最小值，.（本题中，,,,同样可以 进行“检 验”） . . 题型3 与抛物线有关的实际应用问题 例9 ［教材改编P116 T5］ 图3.3.2-5是抛物线形拱桥，设水面宽 米，拱顶 距离水面 8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形.若 米，那么 不超过多少米才能使货船通过拱桥？ 图 3.3.2-5 40 图3.3.2-6 【解析】如图3.3.2-6所示，以拱顶为坐标原点，过点 且平行于 的直线为轴，线段的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标 系,则 . 设抛物线方程为 . 点在抛物线上，, , 抛物线的方程为 . 当时，,即 （米）. 不超过6米才能使货船通过拱桥. 41 解决与抛物线有关的实际应用问题的步骤 42 【学会了吗丨变式题】 3.(2026·浙江省嘉兴市期中)某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图3.3.2-7所示.现要求水流最高点 离 地面，点到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面以 为圆心，半径 为的圆上，求管柱 的高度. 图3.3.2-7 43 【答案】建立如图D 3.3.2-2所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为 ，把代入方程中，得，解得 ，所 以抛物线方程为 . 图D 3.3.2-2 设，代入抛物线方程中，得，解得 ， 所以，所以管柱的高度为 . 44 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容是高考的常考内容，主要考查焦点弦长、利用抛物线的几何性质确定抛物 线方程等问题，大都以选择题和填空题形式出现，难度中等，解答题中常与其他图 形，如圆等结合在一起，综合性较强，难度中等偏难. 核心素养：逻辑推理（判断三角形的形状、角的范围等），直观想象（利用图形辅 助解题等），数学运算（线段长度的求解、方程的求解等）. 45 考向1 抛物线的焦点弦问题 例10 [多选题](2025· 全国一卷)已知抛物线的焦点为，过 的一条直线交 于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线 垂直的直线 交于点 ，则( ) ACD A. B. C. D. 46 【解析】对于A选项，直线为抛物线的准线,由抛物线的定义，可知 ，A选 项正确. 对于B选项， 当轴时，,,，, ,此时 ，B选项错误. 以焦点弦为直径的圆与准线相切，为直径，为弦，所以 ，B 选项错误. 对于C选项， 47 易知直线的斜率不为0，设直线，, , 由得 ， 则,， ， .C选项正确. 抛物线的焦点弦中通径最短，，则 .C选项正确. ,当且仅当 时等号成立，C选项正确. 对于D选项， 48 当,即轴时，由B知，， . 当时，直线 ， 故可得， ， ， 所以 .综上， . . . 49 图3.3.2-8 由选项B可知 ，如图3.3.2-8，因为 , 所以 . 又, 且等号同时成立， 所以 ，故选项D正确. 50 例11 ［多选题］ (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知 为坐标原点，过抛物线 焦点的直线与交于,两点，其中在第一象限，点 .若 ,则( ) ACD A.直线的斜率为 B. C. D. 51 看到 想到 联想到利用等腰三角形三线合一的性质求出点 的横坐标，进而得 到点 的坐标 要得到 转化为求 要得到 需求出点 的坐标，可考虑联立直线与抛物线方程求解 要求出 联想到利用抛物线的定义求解 要求角的范围 可以联想到利用余弦定理的推论，根据角的余弦值的正负作出判断 52 【解析】对于A，由题意，得．因为，且 ，所以 ，将其代入抛物线方程，得，所以 ， 所以直线的斜率 ，故A正确； 对于B，由选项A的分析，知直线的方程为，代入 ，得 ，解得或，所以，所以 ， 所以 ，故B不正确； 对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，得 ，即 ，故C正确； 53 对于D，易知,,, ，则 ， ,所以 ， ，所以 ，故D正确． 考向2 抛物线的几何性质的应用 例12 (2022·全国甲卷)设抛物线的焦点为,点,过 的直线 交于，两点.当直线垂直于轴时， . （1）求 的方程； 【解析】当轴时，有，得，所以抛物线 的方程为 . 55 （2）设直线,与的另一个交点分别为,,记直线,的倾斜角分别为 ， ,当 取得最大值时，求直线 的方程. 【解析】如图3.3.2-9，根据（1）知, . 图3.3.2-9 当轴时，易得（抛物线的对称性），此时 . 当的斜率存在时，设,,, , . . 56 则直线的方程为 ， 即 , 即 , 所以直线的方程为 . 同理可得，直线的方程为，直线 的方程为 ,直线的方程为 . 因为在上，所以 . 因为在,上，所以，，所以, . 所以 , , 所以直线的方程可化为 ， 所以, , 所以 . 当时，， ,所以不符合题意. 当时， ， ，当且仅当，即 时取等号， 此时 取得最大值，直线的方程为 . . . 高考新题型专练 1.[多选题] (2026·河北省保定市第三中学月考)已知 是抛物线 的焦点，是上的点， 为坐标原点．则( ) ABC A. B. C.以为圆心且过的圆与 的准线相切 D.当 时，的面积为 【解析】因为是抛物线的焦点，所以，即得 ，A 选项正确； 59 图D 3.3.2-3 如图D 3.3.2-3，设在上，所以 ， 所以， 抛物线上的点到焦点的最短距 离为 B选项正确； 因为以为圆心且过的圆半径为，等于到 的准 线的距离，所以以为圆心且过的圆与 的准线相切，C选项正 确； 当 时,,由抛物线的对称性，不妨设点 在第 一象限，则直线的斜率为 ，且 ，，所以,解得 或（舍去），所以 的面积为 ，D选项错误.故选 . . . 60 2.[多选题] 已知为抛物线的顶点，直线交抛物线于， 两点， 过点， 分别 向准线作垂线，垂足分别为， ，则下列说法正确的是( ) BCD A.若直线过焦点，则以为直径的圆与 轴相切 B.若直线过焦点，则 C.若，两点的纵坐标之积为，则直线过定点 D.若，则直线恒过点 61 【解析】设，，显然直线 斜率不为0. 当直线过焦点时，设其方程为 ， 由得 ， 所以, ， 所以 . 对于选项A，线段的中点坐标为，，即，其到 轴的距 离为 , , 62 因此以为直径的圆的半径为 , 所以以为直径的圆与 轴不相切，故选项A错误； 对于选项B，由题意知，， ，所以 ，即 ，故选项B正确； 对于选项C，当直线过点时，设其方程为，由 得 ， 所以, ， 若，两点的纵坐标之积为，则，所以 , 所以直线的方程为,直线过定点 ，即选项C正确； 对于选项D，若 ，则 ， 因为，所以,所以直线的方程为,直线过定点 ，即选 项D正确．故选 ． 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间:25分钟 1.抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点 在抛物线上，则抛物线的方程为 ( ) B A. B. C. D.或 【解析】 抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上， 可设 抛物线方程为，，解得， 抛物线 的方程为 ． 65 2.过抛物线的焦点，且垂直于轴的弦为， 为抛物线的顶点，则 的度数( ) C A.小于 B.等于 C.大于 D.不能确定 【解析】设抛物线的焦点为，则其坐标为,不妨设点在 轴 上方，将代入抛物线方程，得,.在直角三角形 中， ,故 ,由抛物线的对称性可知， . （【另解】本题也可利用 快速求解） 66 3.(2026·山东省菏泽第一中学月考)设为坐标原点，直线 与抛物线 交于，两点，若，则 的焦点坐标为( ) B A. B. C. D. 67 【解析】 联立抛物线方程与直线方程并解得 ,根据抛 物线的对称性，不妨令, . ， , ,即 ， ， 抛物线的方程为 ， 其焦点坐标为 . 设与轴的交点为，由及抛物线的对称性可知 为等腰直 角三角形，则,不妨令,代入抛物线方程 ，得 ， 抛物线的方程为，其焦点坐标为 . 68 4.已知，是抛物线上的两点，与关于轴对称， ，则 的最小值为( ) B A.9 B. C. D.8 【解析】设，则， ，所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为 ． 69 图3.3.2-1 5.新考法 数学建模 [教材改编P116 T5] 中国古代桥梁的 建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中 国劳动人民的非凡智慧．如图3.3.2-1，是一个抛物线形拱 桥，当水面离拱顶时，水面宽.若水面下降 ,则水 面宽度为( ) A A. B. C. D. 图D 3.3.2-1 【解析】由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，如 图D 3.3.2-1，设抛物线方程为 ， 由题意知，抛物线经过点，代入抛物线方程解得 , 所以抛物线方程为,水面下降，即 ,解得 ,所以此时水面宽度 . 70 6.[多选题] (2023· 新课标Ⅰ卷)设为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与交于，两点，为 的准线，则( ) AC A. B. C.以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 71 给什么 得什么 由已知直线过定点且过抛物线的焦点，可得 的值，这是求解 此题的突破口，进而可得准线方程，再利用焦点弦长公式或弦长公式即得 的值. 求什么 想什么 ①判断以为直径的圆与是否相切，只需判断圆心到 的距离是否等于 半径长即可； ②判断 是否为等腰三角形，只需求出三边，判断其关系即可. 差什么 找什么 ①求出以 为直径的圆的圆心坐标，由上面的求解过程可得半径长，即 ； ②已有的长，再求得与 的长即可. 72 【解析】由题意，易知直线过点 . 对于A，因为直线经过抛物线的焦点，所以易知焦点坐标为，所以 ，即 ，所以A正确. 对于B，不妨设，，,联立方程得消去 并 整理得 ， 解得，.所以，， ，所以由两点间距离公 式可得 ，故B错误. 73 则 ，由抛物线的焦点弦长公式得， ，故B错误. 则， ，所以由弦长公式得 ，故B错误. 易知直线的倾斜角为，所以 ，故B错误. 对于C，由以上分析易知，的方程为，以 为直径的圆的圆心坐标为 ，半径，所以以为直径的圆与 相切，故C选项正 确.（事实上，由以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切的结论可知该选项 正确） 对于D，由两点间距离公式可得,，故D错误.综上，选 . 74 7.(2026·山西省大同市期中)抛物线的聚焦特性：从抛物线的焦点发出的光经过抛物 线反射后，光线都平行（或重合）于抛物线的对称轴．另一方面，根据光路的可逆 性，平行（或重合）于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛 物线的焦点处．已知抛物线 ，一条平行于抛物线对称轴的光线从点 向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点 ，则该 抛物线的标准方程为__________． 【解析】设关于直线对称的点为，过且平行于 轴的直线 交抛物线于，则有 ， 由解得即 . 设抛物线的焦点为,因为点，都在轴上，故，重合，即 ，所以抛物 线的标准方程为 ． 75 图3.3.2-2 8.新考法 数学建模 如图3.3.2-2是一种加热水和食物的太阳灶， 上面装有可旋转的抛物面型的反光镜，反光镜与轴截面的交线是 抛物线的一部分，镜口所在的圆面与反光镜的轴垂直，盛水和食 物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在 一起的架子支撑.已知镜口的直径为,镜深 . （1）建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点的位置； 图D 3.3.2-2 【答案】如图D 3.3.2-2，建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点 （即抛物线的顶点）与原点重合， 轴垂直于镜口面. 由已知，得点的坐标是 . 设抛物线方程为,则,所以 . 故所求抛物线的标准方程是，焦点的坐标是 . 76 （2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根钢筋的长度. 【答案】因为容器在焦点处，所以， 两点间的距离即每根钢筋的长度. ，即每根钢筋的长度是 . 77 B 综合练丨高考模拟 建议时间:35分钟 9.过抛物线的焦点的直线与相交于,两点，与 的准线交 于点，若，则直线的斜率 ( ) D A. B. C. D. 78 【解析】如图D 3.3.2-3所示，作垂直于准线于点，垂直于准线于点 ， 图D 3.3.2-3 由题意可得, ， 由抛物线的定义可知 . 设直线的倾斜角为 ，由抛物线焦点弦的性质得，, ，故 ，则 ,,故 . 由对称性可知所求直线的斜率 . 79 10.(2026·云南省昭通市实验中学月考)已知为抛物线的焦点，过 作两条 互相垂直的直线,，直线与交于,两点，直线与交于， 两点，则 的最小值为( ) A A.16 B.14 C.12 D.10 80 【解析】 抛物线的焦点为，由题意可知, 的斜率存在且 不为0.不妨设直线的斜率为，则, ， 由消去得 . 设, ， 则， .同理得 , ,当且仅当 ,即 时取等号，故 的最小值为16. 81 设直线的倾斜角为 ，则 , 又与垂直， 直线的倾斜角为 , . , . ,当 时取等号, 即 的最小值为16. 82 图3.3.2-3 11.[多选题] (2026·江西省景德镇市期中)已知抛物线 （如图3.3.2-3），过抛物线焦点的直线 自上而下，分别交抛 物线和圆于，，， 四点，则( ) ABD A. B. C.当直线的斜率为时， D. 83 【解析】由抛物线方程得，焦点 ， 设直线的方程为，，，由 得 ， 则， . 对于A， ，故A正确；（由结论 可快速求解） 对于B，易知，,,圆 的圆心为抛物线的焦点， 所以 ，故B正确； 84 对于C，当直线的斜率为时，，所以，解得 或，所以，，所以 ， ，所以 ，故C错误； 对于D， ， 当且仅当,即 时等号成立，故D正确． 故选 ． 12.已知，是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点， 是坐标原 点，且满足,，则 的值为___. 2 【解析】设,.因为，所以 ， 则, . 由得，，所以,，则 , .因为，所以 ， 即 ， 所以，解得 . 86 13.已知抛物线的焦点与双曲线 的右焦点相同，则 双曲线的方程为_ _____________;过点分别作两条直线，，直线与抛物线 交 于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与 的斜率的平方和为1，则 的最小值为____. 24 87 【解析】由抛物线的方程可得，所以，即，解得 ， 所以双曲线的方程为 . 由题意设直线的方程为，直线的方程为 ，则 ， 联立方程得消去整理可得 . 设,,,对应的横坐标分别为,,, , 则，同理可得 ，由抛物线的性质可得 ， ，所以 88 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为24. 14.(2026·广东省清远市月考)设抛物线,点,,过点的直线 与 交于， 两点. （1）当与轴垂直时，求直线 的方程； 【答案】当直线与轴垂直时，直线的方程为,可得的坐标为或 . 所以直线的方程为或 . 90 （2）证明： . 【答案】 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以 . 当与轴不垂直时，设的方程为，, ,则 , . 由得 , 可知, . 直线，的斜率之和为 ①. 将,及, 的表达式代入①式分子，可得 . 91 所以,可知直线,的倾斜角互补，所以 . 综上， . 图D 3.3.2-4 （几何法） 设的坐标为,的坐标为 , 不妨设,,如图D 3.3.2-4，分别过，作 轴的 垂线，分别交轴于点，（当与轴垂直时，认为, 两点 重合）. 设直线的方程为 . 欲证 ， 可证 , 即证，即证，即证 ，整理得 . 由得,所以 , ,所以 . 所以 . 93 C 培优练丨能力提升 15.(2026·江苏省灌南县惠泽高级中学月考)已知抛物线的焦点为，过 的 直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在 轴上方， ，分别为， 的中点． （1）证明：直线 过定点； 94 【答案】设直线的方程为, , ,,, ， 由得 ， ,， . ,, . 当时， ， 此时直线 的方程为 ， 95 直线恒过定点 . 当时,显然直线的方程为，也过点 . 综上所述，直线恒过定点 . （2）设为直线与直线的交点，求 面积的最小值． 【答案】设，， ， 直线的方程为 ， 同理直线的方程为 , 由（1）可知，同理可得 ， ， 97 图D 3.3.2-5 不妨设 ，如图D 3.3.2-5， 由得 ， 解得 ， 又在轴上方，故 ，同理可得 . ， 到直线的距离 ， 98 ， ， 当且仅当 时取等号， 故 面积的最小值为8. ~/?PNG � $