3.3 抛物线 3.3.1 抛物线的标准方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习以抛物线标准方程为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，适配新授课知识内化与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线标准方程、焦点坐标|直接应用公式，如第1题求焦点坐标，夯实概念基础| |能力层|焦点距离、几何性质综合|结合定义推理，如第3题利用抛物线定义求参数，培养运算与推理能力| |综合层|最值问题、实际应用|融入生活情境（隧道问题）与动态几何（旋转），发展模型观念与应用意识|

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 1.抛物线y2=-4x的焦点坐标是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 2.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程是 (　 ) A.y2=x或x2=y B.y2=-x或x2=8y C.x2=-8y或y2=x D.x2=-8y或y2=-x 3.[2025·江苏如东中学高二月考] 若抛物线C:x2=2py(p>0)上的点P到焦点的距离为8,到x轴的距离为6,则抛物线C的标准方程是(　 ) A.x2=4y B.x2=6y C.x2=8y D.x2=16y 4.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若AF=10,则|y1-y2|= (　 ) A.10 B.12 C.14 D.16 5.(多选题)[2025·江苏泰州中学高二质检] 对于抛物线y2=10x,给出下列说法: ①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标可以为(2,1).其中正确的说法是 (　 ) A.① B.② C.③ D.④ 6.(多选题)已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,P是抛物线C上的一点,O为坐标原点,若PO=,则 (　 ) A.F B.F(0,1) C.PF=2 D.PF= 7.[2025·山东菏泽一中高二月考] 已知动点M(x,y)的坐标满足=|x+2|,则动点M的轨迹方程为　　　　.  8.[2025·福建福州一中高二月考] 已知抛物线C同时满足以下三个条件,则C的方程可以为　　　　.(写出一个满足题意的方程即可)  ①C的顶点在坐标原点;②C的对称轴为一条坐标轴;③C的焦点F在圆(x-2)2+y2=9上. 9.(13分)根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)经过点(-3,-5); (2)焦点在x轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6; (3)已知焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积等于4. 10.[2025·江苏金陵中学高二质检] 抛物线y2=2mx绕其顶点按逆时针方向旋转90°之后,得到抛物线y=2x2,则m= (　 ) A.- B. C.1 D.-1 11.(多选题)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的取值可以为 (　 ) A.3 B.4 C. D. 12.[2025·江苏靖江中学高二调研] 有一个隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和抛物线构成,如图所示.为了保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7 m,若行车道总宽度AB为7.2 m,则车辆通过隧道时的限制高度为　　　　m.  13.[2025·江苏淮阴中学高二质检] 已知抛物线C:x2=-20y的焦点为F,抛物线C上有一动点P,且Q(-3,-6),则PF+PQ的最小值为　　　　.  14.(15分)已知动点M与点F(2,0)的距离比其到直线x=-3的距离小1. (1)求动点M的轨迹方程; (2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值,并求出取最小值时点M的坐标. 15.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OMN=MN,则p的值为　　　　.  16.(15分)[2025·江苏锡山中学高二质检] 如图,已知点P(t,5)(t>0),抛物线x2=2py(p>0)的焦点是F(0,1),A,B是抛物线上两点,四边形FAPB是矩形. (1)求抛物线的方程; (2)求矩形FAPB的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 1.B　[解析] 由y2=-4x得2p=-4,∴p=-2,故焦点坐标为(-1,0),故选B. 2.C　[解析] 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0),将点P坐标(4,-2)代入两方程,可得4=8p,16=4p',解得p=,p'=4,故抛物线的标准方程为y2=x或x2=-8y,故选C. 3.C　[解析] 由抛物线定义可得6+=8,解得p=4,所以抛物线C的标准方程为x2=8y.故选C. 4.B　[解析] 由抛物线的定义得AF=10=2+,解得p=16,则抛物线的方程为y2=32x,又点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,所以y1>0,y2<0,可得则|y1-y2|=12.故选B. 5.BD　[解析] 抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②正确,①不正确;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上一点,则MF=1+=1+=≠6,所以③不正确;由于抛物线y2=10x的焦点为,当过该焦点的直线斜率存在时,设该直线方程为y=k,由原点向该直线作垂线,若垂足坐标为(2,1),则k=-2,此时满足条件的直线存在,所以④正确.故选BD. 6.AD　[解析] 因为抛物线C:y=4x2,即C:x2=y,所以F,准线方程为y=-,故A正确,B不正确;设P(m,n),则n=4m2,由题意得=,且n≥0,故n2+-=0,解得n=-(舍去)或n=1,所以PF=n+=,故C不正确,D正确.故选AD. 7.y2=8x　[解析] 设F(2,0),直线l:x=-2,则动点M到点F的距离为,动点M到直线l:x=-2的距离为|x+2|,又因为=|x+2|,所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,则动点M的轨迹方程为y2=8x. 8.x2=-4y(答案不唯一)　[解析] 由已知得,抛物线C的焦点F在坐标轴上,若抛物线的焦点在y轴上,则将x=0代入(x-2)2+y2=9可得y=±,∴抛物线的焦点为(0,-)或(0,),当抛物线的焦点为(0,-)时,抛物线的方程为x2=-4y;当抛物线的焦点为(0,)时,抛物线的方程为x2=4y.若抛物线的焦点在x轴上,则将y=0代入(x-2)2+y2=9可得x=-1或x=5,∴抛物线的焦点为(-1,0)或(5,0),当抛物线的焦点为(-1,0)时,抛物线的方程为y2=-4x;当抛物线的焦点为(5,0)时,抛物线的方程为y2=20x.则可同时满足三个条件的抛物线C的方程为x2=-4y或x2=4y或y2=-4x或y2=20x.可取抛物线C的方程为x2=-4y(答案不唯一,只需填写x2=-4y,x2=4y,y2=-4x,y2=20x中的一个即可). 9.解:(1)当焦点在x轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为y2=-x; 当焦点在y轴上时,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为x2=-y.综上,抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-y. (2)焦点在x轴的负半轴上,可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),由焦点到准线的距离为6,知p=6, 所以抛物线的标准方程为y2=-12x. (3)由题意可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则焦点F,直线l:x=,将直线l的方程代入抛物线的方程中,得y=±|a|,所以AB=2|a|. 因为△OAB的面积为4,所以··2|a|=4,所以a=±2, 故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x. 10.B　[解析] 抛物线y=2x2即为抛物线x2=y,其开口向上,将其绕顶点按顺时针方向旋转90°,得到抛物线y2=2mx,其开口向右,其方程为y2=,则m=,故选B. 11.ABD　[解析] 抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,如图,连接PF,过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线EF,垂足为E,则d1+d2=d2+PF≥EF(当且仅当P在线段EF上时取等号),又F(1,0),所以d1+d2≥=3,结合选项可知选ABD. 12.3.8　[解析] 由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,其中EF∥x轴,E(-4.8,-4.8),由图可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),将点E坐标代入,可得(-4.8)2=-2p·(-4.8),得p=2.4=,故抛物线的方程为x2=-y,将x=3.6代入抛物线方程,可得y=-×(3.6)2=-2.7,故所求限制高度为7.2-0.7-2.7=3.8(m). 13.11　[解析] 因为抛物线C:x2=-20y,所以抛物线C的准线为y=5,记抛物线C的准线为l,作PT⊥l交l于T,如图所示.因为PF+PQ=PT+PQ,Q(-3,-6),所以当P,Q,T共线时,PF+PQ取得最小值,最小值为6+5=11. 14.解:(1)由题意知,动点M到F(2,0)的距离与它到x=-3的距离小1,即与它到直线x=-2的距离相等, 所以动点M的轨迹为以F(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线, 因此动点M的轨迹方程为y2=8x. (2)设M, 由两点间的距离公式得MA===, 当且仅当m2=16,即m=±4时,MA取得最小值4, 即当M(2,4)或M(2,-4)时,点M与点A的距离最小,最小值为4. 15.8　[解析] 不妨设直线MN的斜率k>0,如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,过N作NK⊥MG,垂足为K,由=3,得MF=3FN,∴MG=3NH,∴MK=2NH=2NF=MN,∴NK==MN.∵S△OMN=S△OMF+S△ONF=OF·NK=p·MN,且S△OMN=MN,∴p·MN=MN,∴p=8. 16.解:(1)因为抛物线x2=2py(p>0)的焦点是F(0,1),所以=1, 解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y. (2)设A(2t1,),B(2t2,),因为四边形FAPB是矩形, 所以=,=,且·=0,即=,==3, 且2t1·2t2+(-1)(-1)=0,所以t1+t2=,+=6,t1t2=-3,且t4-16t2-512=0,所以(t2-32)(t2+16)=0,解得t2=32,则t1t2=1. 由抛物线的定义得FA=+1,FB=+1,所以矩形FAPB的面积S=FA·FB=(+1)(+1)=+++1=1+6+1=8, 所以矩形FAPB的面积为8. 学科网（北京）股份有限公司 $