3.3.1抛物线的标准方程学案 -2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

3.3.1　抛物线的标准方程 [学习目标]　1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.3.了解抛物线定义的实际应用． 一、抛物线的定义与标准方程 问题1　利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 知识梳理 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离__________的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的__________，定直线l叫作抛物线的__________． 问题2　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 例1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点为直线x＋3y＋15＝0与坐标轴的交点． 反思感悟　(1)求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为 ①依据条件设出抛物线的标准方程． ②求参数p的值． ③确定抛物线的标准方程． (2)焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设抛物线的标准方程为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，简化讨论过程． (3)求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得焦点坐标与准线方程． 跟踪训练1　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝______，准线方程为________． (2)焦点在y轴上，且焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 二、抛物线定义的应用 例2　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 延伸探究 1．若将本例(2)中的点A(0,2)改为点A(3,2)，求PA＋PF的最小值． 2．若将本例(2)中的点A(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 反思感悟　抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 跟踪训练2　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x (2)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋PA的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 三、抛物线的实际应用 例3　某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米． 反思感悟　解决抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要的量． (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． 跟踪训练3　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 1．知识清单： (1)抛物线的定义． (2)抛物线的标准方程． (3)抛物线的实际应用． 2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归． 3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式． 1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y 2．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为(　　) A. B. C. D．4 3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________． 4.如图是抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 3.3.1　抛物线的标准方程 问题1　在点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似． 知识梳理 相等　焦点　准线 问题2　过F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，设焦点F到准线l的距离为p，则F，又设P(x，y)为抛物线上任意一点．过点P作PH⊥l，垂足为H，则PF＝PH，得＝， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)． 知识梳理 y2＝2px(p>0)　　x＝－　y2＝－2px(p>0)　　x＝　x2＝2py(p>0)　　y＝－　x2＝－2py(p>0)　　y＝ 例1　解　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上， 设其方程为x2＝2py(p＞0)． 又＝2， ∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． 故所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y或y2＝－60x. 跟踪训练1　(1)2　x＝－1　 解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以＝1，解得p＝2，故准线方程为x＝－＝－1. (2)x2＝10y和x2＝－10y 解析　设抛物线的标准方程为x2＝2py(p≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|p|＝5，得p＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 例2　(1)A　[由＋x0＝x0， 解得x0＝1.] (2)解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，当A，P，F三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝ ＝. 延伸探究 1．解　将x＝3代入y2＝2x， 得y＝±. 所以点A在抛物线内部． 点P为抛物线上一点，设点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则PA＋PF＝PA＋d. 由图可知，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为. 即PA＋PF的最小值为. 2．解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q， PA1＋PQ＝PA1＋PF≥A1Fmin. A1F的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1. 即所求最小值为1. 跟踪训练2　(1)D　[抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4， ∴＋2＝4，解得p＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝8x.] (2)C　[由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3.] 例3　3.84 解析　如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)． 依题意知，点P(10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p×(－4)，2p＝25. 即抛物线方程为x2＝－25y. ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6. 由图知，AB是最长的支柱之一． 设点B的坐标为(2，yB)，解得yB＝－，点A的坐标为(2，－4)， ∴AB＝yB－(－4)＝－＋4＝3.84， ∴最长支柱的长为3.84米． 跟踪训练3　解　如图所示，以拱桥的拱顶为原点， 以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，代入解得p＝， 得x2＝－y. 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)， 由22＝－yA，得yA＝－. 又知船面露出水面上的部分高为0.75 m， 所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)． 所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航． 随堂演练 1．B　[由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax， 则(－)2＝a， 解得a＝2， 因此抛物线的标准方程是y2＝2x.] 2．C　[根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，其中p＝，则抛物线的焦点到准线的距离p＝.] 3．6 解析　由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离是4＋2＝6. 4．2 解析　建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米． 学科网（北京）股份有限公司 $$