3.3.1 抛物线的标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，通过生活实例（如卫星接收天线）导入，衔接椭圆、双曲线知识，构建圆锥曲线学习支架，帮助学生系统掌握从定义到方程转化的脉络。 其亮点在于结构化梳理（表格对比四种标准方程、思维导图整合知识）、分层训练（基础到高考难度）和情境应用，通过定义法判断轨迹（例1-1）、卫星接收天线问题（例17）培养数学眼光与思维，解题通法总结提升运算能力，方便教师一体化教学，助力学生核心素养发展。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第三章 圆锥曲线与方程 本节理解抛物线的定义，掌握抛物线四种标准方程的形式，能够根据已知条件求抛物线的标准方程，由方程写出焦点与准线，发展数形结合、数学运算的核心素养 3.3.1 抛物线的标准方程 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括125张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 抛物线的定义 抛物线 平面内到一个定点和一条定直线（不在 上）的距离相等的 点的轨迹叫作抛物线. 焦点 定点 叫作抛物线的焦点. 准线 定直线 叫作抛物线的准线. 知识剖析 对限制条件“不在 上”的理解 注意定点不在定直线上,这是动点轨迹为抛物线的必要条件,否则，若定点 在 定直线上，则动点轨迹为过定点且和定直线 垂直的一条直线. . . 4 学思用·典例详解 例1-1 过点且与 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) D A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 【解析】如图3.3.1-3，设为满足条件的一点，则点到点的距离等于点到 轴 的距离，故点在以点为焦点，轴为准线的抛物线上，故点 的轨迹为抛物线. 图3.3.1-3 5 知识点2 抛物线的标准方程 1 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种不同的形式： 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 开口方向 向右 向左 向上 向下 6 2 参数 的几何意义 易错点POINT 当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误. 抛物线的标准方程中参数 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离 （即焦准距）注意:焦点到原点的距离，原点到准线的距离，都为，所以 的值永 远大于0. . . . . 7 特别提醒（1）坐标原点在抛物线上，焦点在坐标轴上，准线与焦点所在坐标轴垂直 时，抛物线才具有标准形式，所得方程才是标准方程. （2）标准方程的特征：（某个变量的平方） （另一个变量的一次单 项式） . （3）焦点在轴上的抛物线的标准方程 通常又可以写成 ,这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程 求焦 点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式. 8 学思用·典例详解 例2-2 [教材改编P113 T2] 抛物线的焦点在直线 上， 则 的值为( ) C A. B.1 C.2 D.4 【解析】由题意可得抛物线开口向右，焦点坐标为 ，因为焦 点在直线上，所以，解得 . 9 例2-3 抛物线的准线方程为，则其焦点坐标为______，实数 的 值为___ 1 【解析】由题意得焦点坐标为 ， 抛物线的方程可化为 ， 由题意得，解得 . 10 【想一想丨归纳总结】 11 知识点3 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切、相交. （1）直线的斜率存在时，设直线与抛物线 相交于 , 两点， 将代入 , 消去并化简，得 .#1.1.2 12 ①当 时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，（判断直线与抛物 线的位置关系时，一定要注意该特殊情况） 直线与抛物线相交，直线与抛物线相交，只有一个公共点. ②当 时， 判别式 直线与抛物线相交，有两个公共点； 判别式 直线与抛物线相切，有且只有一个公共点； 判别式 直线与抛物线相离，没有公共点.#1.1.4.3 . . 13 （2）直线的斜率不存在时，设直线，抛物线： . 显然，当 时，直线与抛物线相离，无交点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当 时，直线与抛物线相交，有两个交点. 14 学思用·典例详解 例3-4 已知直线与抛物线只有一个交点，则直线 与抛物线的位置 关系是( ) D A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 【解析】当直线与轴平行或重合时，直线与抛物线 有一个交点， 此时直线 与抛物线是相交的. 当直线的斜率存在，直线与抛物线只有一个交点时，直线 与抛物 线相切. 15 警示 直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，讨论直 线与抛物线的位置关系时，要根据直线斜率是否存在,以及直线是否与抛物线对称轴 平行或重合等进行讨论. 16 释疑惑 重难拓展 知识点4 抛物线的焦半径公式 1 抛物线的焦半径 若点是抛物线上一点，抛物线的焦点为，准线为，则线段 叫作抛物线的 焦半径. 17 2 用坐标表示的焦半径公式 设是抛物线上一点，如图3.3.1-1所示，过点作 的垂 线段,由抛物线的定义可知 . 图3.3.1-1 18 同理可得其他形式标准方程下的焦半径公式. 抛物线 焦半径公式 由抛物线的焦半径公式可知，抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为 ，此时 该点为坐标原点. 19 3 用角 表示的焦半径公式 图3.3.1-2 如图3.3.1-2,若倾斜角为 的直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线交于， 两点，则有 , . 证明：如图3.3.1-2所示，设,在准线与 轴上的射影分别为 ,和，，准线与轴交于 点， 则有 ， 所以,同理可得 . 由焦半径公式我们可以得到 ,是一个定值. . . 20 学思用·典例详解 例4-5 过抛物线的焦点的直线交抛物线于， 两点，如果 ，则 等于( ) B A.9 B.8 C.7 D.6 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为 .根据题意可得， . 21 例4-6 [教材改编P114 T9] 已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线 相交于，两点，且，则直线 的斜率为( ) B A. B. C. D. 【解析】设直线的倾斜角为 ，因为，所以 ， 由，，可得,即，所以 . 当点在轴上方时，（注意对的位置进行讨论），又 所以，，即直线的斜率为 ； 当点在轴下方时，由对称性知，直线的斜率为 ． 综上，直线的斜率为 . . . . . 22 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 抛物线的标准方程 1 定义法求标准方程 图3.3.1-4 例7 如图3.3.1-4所示，过抛物线的焦点 的直线 依次交抛物线及准线于点，，，若，且 ， 则抛物线的方程为( ) A A. B. C. D. 23 图3.3.1-5 【解析】如图3.3.1-5,分别过点， 作准线的垂线，分别交准 线于点，，设准线与轴交于点，设，则 ， 由抛物线的定义得，故 . 在直角三角形中，， ， ，即，从而得 . ，,即，求得 ， 因此抛物线方程为 ． 24 2 待定系数法求抛物线的方程 例8 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： （1）[教材改编P112 T2（3）] 准线方程为 ； 【解析】易知抛物线的准线交 轴于正半轴，所以抛物线开口向下，设标准方程为 ,且,则 , 故所求抛物线的标准方程为 . 25 （2）经过点 ； 【解析】因为点 在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为 或 . 若抛物线的标准方程为，则由，解得 ； 若抛物线的标准方程为，则由，解得 . 故所求抛物线的标准方程为或 . 26 （3）［教材改编P113练习T3］ 焦点为直线 与坐标轴的交点. 【解析】对于直线方程 ， 令，得；令，得，所以抛物线的焦点为或 . 当焦点为时，设抛物线标准方程为,，所以 ，此 时抛物线的标准方程为 ； 当焦点为时，设抛物线标准方程为,，所以 ，此时抛 物线的标准方程为 . 故所求抛物线的标准方程为或 . 27 28 用待定系数法求抛物线标准方程的思路 第一步：定位（关键） 确定抛物线的开口方向，一般结合图形确定方程形式， 避免漏解 第二步：定量 确定参数 的值 注意：（1）若无法定位，则需分类讨论. （2）已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. 29 【学会了吗丨变式题】 1.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点在 轴，且焦点到准线的距离是2； 【答案】焦点到准线的距离，又焦点在 轴上，于是有两种情况， 故所求抛物线的标准方程为或 . （2）准线与直线 的距离为3. 【答案】准线与直线的距离为3，说明抛物线的准线与 轴垂直，所以抛物线的 开口方向向左或向右. 设抛物线方程为，则抛物线的准线方程为 ，则 ，解得或 ， 故所求抛物线的标准方程为或 . 30 3 抛物线方程与其他方程的综合 例9 如图3.3.1-6，曲线是以原点为中心,，为焦点的椭圆的一部分，曲线 是 以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且 为钝角，若 ，，求曲线和 的方程. 图3.3.1-6 31 【解析】设椭圆方程为，, ,则 ，即 . 设,则， ，两式相减得 . 由抛物线的定义可知，则,或, （舍去,因为 为钝角）. 由,得 . 所以曲线的方程为，曲线的方程为 （ ）. （注意曲线是椭圆的一部分，曲线 是抛物线的一部分，因此在求出椭圆方程和 抛物线方程后应限定 的取值范围） . . . . 32 图3.3.1-7 如图3.3.1-7，过作垂直于轴的直线 ，即 抛物线的准线，过点作于点，作轴于点 . 则由抛物线的定义得 ， 则，所以， ， 所以曲线的方程为，曲线 的方程 为 . 所以 ， ， 33 【学会了吗丨变式题】 2.已知双曲线的两条渐近线与抛物线 的准 线分别交于，两点，为坐标原点，双曲线的两条渐近线与直线 围 成的三角形是等边三角形，则双曲线的离心率为___，若的面积为 ，则抛 物线方程为___________. 2 34 【解析】根据题意可得双曲线的渐近线的倾斜角为 或 ，， 双曲 线的离心率为 . 设抛物线的准线与轴的交点为 ， 的面积为，且 ， ， ， ， 的面积为 ， 解得，又，．故抛物线方程为 . 35 题型2 抛物线定义的应用 1 抛物线定义的简单应用 例10 若抛物线上的两点，到焦点的距离之和是5，则线段 的中点的横 坐标是___. 2 【解析】设点,,由抛物线的定义知点到焦点的距离等于点 到准 线的距离， 即 .（焦半径公式） 同理 . 故，即,得 . 故线段 的中点的横坐标是2. . . 36 抛物线定义的应用思路 通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，或者把抛物线上某点 到准线的距离转化为该点到焦点的距离，然后根据平面几何的相关知识求解. 37 【学会了吗丨变式题】 3.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上，且 ,则 ( ) C A. B. C. D. 38 图D 3.3.1-1 【解析】如图D 3.3.1-1所示，过点作抛物线 的准线的垂线，垂 足为,过点作的垂线，垂足为,则,（设抛物线 的准线 与轴交于点,则四边形为矩形,所以 ,即焦准距） 由抛物线的定义知,则 . 在中， , 所以 . . . 39 2 解决最值问题 点与抛物线的位置关系 对于点和抛物线 ， 当时，点在抛物线 上； 当时，点在抛物线 外； 当时，点在抛物线 内. 同理可得其余三种形式的抛物线与点 的位置关系. 40 母题 致经典·母题探究 例11 (2026·上海市大同中学期末)已知为抛物线上的任意一点， 为抛物线 的焦点，点坐标为,则 的最小值为( ) A A.4 B.3 C. D. 图3.3.1-8 【解析】由抛物线知，则,准线 方程为 .如图3.3.1-8所示，点在抛物线内，过点作抛物线准线 的垂线段，垂足为点,过点作于点 .由抛物线的定义得 ,（将转化为点 到准线的距离是利用平面几何的性质 确定最小值点的关键） 所以,当且仅当点是线段 与抛物线 的交点（即,, 三点共线）时取等号. 故的最小值为 . . . 41 命题探源 利用抛物线定义研究最值，本质是利用三角形不等式求解，即两边之和大 于第三边，两边之差小于第三边，共线时取最值.在做题之前先判断中, 分 别位于抛物线的同侧还是两侧，若位于同侧，需要先利用抛物线的定义把, 两点转 化到两侧，再利用三角不等式求解.母题中 点与所求两点距离的最值问题中，两点 位于抛物线的内侧，下边我们来看一下两点位于抛物线外侧和内外两侧的情形. 42 子题 子题1 已知点为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为 , 求 的最大值与最小值. 【解析】易知焦点的坐标为.如图3.3.1-9，连接并延长,交抛物线于点 ,易知 ，当且仅当点在点 位置时取等号，所以 . 图3.3.1-9 延长交抛物线于点 ，如图3.3.1-9所示， 又,则，当且仅当点 在点 位置时取等号，所以 . . . . . 43 子题2 (2026·河南省南阳市期末)已知为抛物线上的任意一点， 为抛物线 的焦点，点的坐标为 . （1）求 的最小值; 【解析】,当且仅当点为线段 与抛物线的交点时取等号，所以 . 44 （2）求 的最大值与最小值. 【解析】如图3.3.1-10，延长交抛物线于点，则,当且仅当点 在 点的位置时取等号，所以 . 又 , 过点作准线的垂线，垂足为，延长交抛物线于点，过点作准线 的垂线， 垂足为，如图3.3.1-10，则,当且仅当点在点 的位置 时取等号，即,所以 . 45 【解析】如图3.3.1-10所示，点 在抛物线外（即不含焦点的区域）. 图3.3.1-10 46 与抛物线有关的最值问题的解题思路 求抛物线最值的常见题型有求抛物线上一点到定点的距离的最值、求抛物线上一点 到定直线的距离的最值.解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线 的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决； 二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以 目标函数最值的求法解决. 47 特别地，已知为抛物线的焦点，为上的点, 为定点，则有下列结论成立: 的最小值 的最大值 ; 的最小值 48 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·天津市咸水沽第一中学月考)已知直线和直线 ,则 抛物线上一动点到直线和直线 的距离之和的最小值是___. 2 图D 3.3.1-2 【解析】如图D 3.3.1-2，是抛物线 的准线方程， 易知抛物线的焦点为 ， 点到直线的距离与点到点 的距离相等，可知所求距 离之和的最小值为到直线的距离 ,易知 . 49 题型3 直线与抛物线的位置关系 1 直线与抛物线的交点个数问题 例12 已知抛物线的方程为,直线过定点，且斜率为,问 为何值时， 直线与抛物线 （1）只有一个公共点? （2）有两个不同的公共点? （3）没有公共点？ 50 【解析】由题意，得直线的方程为 . 由 得 . 当 （不要忽略对二次项系数为0的讨论，此时直线与抛物线相交且只有一个公 共点）时，由方程（*）得 ,方程组有一组 实数解，此时，直线与抛物线只有一个公共点. 当时，方程（*）的根的判别式为 . ①由，得,解得或 , . . 51 当或 时，方程组有两组相同的实数解，此时，直线与抛物线相切，只 有一个公共点. ②由,得,解得 , 当且 时，方程组有两组不同的实数解，此时，直线与抛物线相交， 有两个不同的公共点. ③由，得,解得或 , 当或 时，方程组无解， 此时，直线与抛物线相离，没有公共点. 综上，（1）当或或 时，直线与抛物线只有一个公共点； （2）当且 时，直线与抛物线有两个不同的公共点； （3）当或 时，直线与抛物线没有公共点. 直线与抛物线交点问题的解题思路及特殊情形 1.判断直线与抛物线的交点个数时,一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为 形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程, 则利用判别式判断方程解的个数. 2.直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：（1）直线与抛物线的对称轴重合或平行； （2）直线与抛物线相切. 3.过抛物线上一点 （非原点）的切线方程为 . 54 2 弦长问题 例13 ［教材改编P113习题3.3（1）T6］ 已知直线 被一顶点在坐标原 点，焦点在轴上的抛物线截得的弦长为 ,求抛物线的方程. 思路点拨 设出抛物线方程，利用弦长公式列出方程，求出参数的值即可. 【解析】依题意，设抛物线的方程为. 由于不知抛物线的开口方向， 因此设抛物线的方程为，可以避开分类讨论 将代入整理，得 . 设此方程的两根为,,则, . 又直线被抛物线截得的弦长为 , 则 ，整理得 ,解得或 . 故所求抛物线的方程为或 . . . 55 抛物线弦长的求解思路 斜率的情况 弦长 斜率 存在且不为零 斜率为0 只有抛物线的对称轴是 轴时弦长存在 斜率不存在 只有抛物线的对称轴是 轴时弦长存在 注意 过焦点的弦，就是我们将在下节学习的焦点弦，可以利用焦点弦长公式来处理. 56 3 中点弦问题 例14 已知抛物线,过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦 的 中点的轨迹方程为_ _______________. 思路一 思路二 57 【解析】 （直接法） 设,,弦的中点为 ,则 . 当直线的斜率不存在，即轴时，的中点为 . 当直线的斜率存在时，若,两点重合，则 , 若,两点不重合， .（为点差法做准备） 易知 ，得 , 所以,即 , 即且 . . . 58 经检验和 也适合上式， 故所求轨迹方程为 . 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 , 由得 , 则 所以.事实上，由于点 位于抛物线内，因此，结合图形我们 可以很明显得到 设,,的中点为 , 则, . 所以= . . . 60 则， ， 消去得 . 当直线的斜率不存在，即轴时，的中点为 ，适合上式. 故所求轨迹方程为 . 解决中点弦问题的基本方法与一般情况 解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程 联立时消 有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解. 一般地，已知抛物线上两点,及 的中点 ，则.直线的方程为.线段 的垂直平分线的 方程为 . 62 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·浙江省杭州外国语学校期中)过点作抛物线的弦，恰被点 所平分，则弦 所在直线的方程为________________. 63 【解析】 由题意知，当垂直于轴时，不满足题意，故弦 所在的直线 的斜率存在. 设该直线的斜率为，, , 则弦所在直线的方程为 . 由消去，得，则 .又 ，是弦的中点所以,解得 . 故所求弦所在直线的方程为 . 由题意知，当垂直于轴时，不满足题意，故弦 所在的直线的斜率存在． 设, ， . . 64 则 ①， ②，且， 是弦的中点 ③. ，得 ④. 将③代入④，得，即，则弦 所在直线的斜率为4. 故所求弦所在直线的方程为，即 . . . . . 4 定点问题 例15 已知抛物线的焦点为,直线与轴的交点为 ，与抛 物线的交点为,且 , （1）求 的值； 【解析】设,则 ,（焦半径公式） 又,即,解得 , 将点代入抛物线方程，解得 . . . 66 （2）已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线 和直 线的斜率之和为，求证直线 恒过定点，并求出定点的坐标． 【解析】由（1）知抛物线的方程为，所以点坐标为 ． 设直线的方程为，点，，由 得 ，且，所以， ，所 以 ， 故，所以直线的方程为 ，故该直线恒过定点 ． 67 （1） 68 （2） 69 5 定值问题 图3.3.1-11 例16 如图3.3.1-11所示，抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原 点，点，， 均在抛物线上． （1）求抛物线的方程及其准线方程； 【解析】设抛物线的方程为 ， 由点在抛物线上，得，解得 ， 故抛物线的方程是，准线方程是 ． 70 （2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线 的斜率为定值． 【解析】 （设线法） 因为的斜率存在，故设直线 的方程为 ，即 ， 代入，消去得 . 因为, ， 所以由根与系数的关系得，即 . 因为直线,的倾斜角互补，所以 ， 故设直线的方程为 ， 同理可得 . 71 所以直线的斜率，所以直线 的斜 率为定值. （设点法） 因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以 ，即 ． 又， 均在抛物线上， 所以，，从而有 ， 即，得，故直线的斜率 ，为 定值． 73 （设点法） 设点，， ,则 , 因为,的倾斜角互补，所以 , 所以，所以 ， 因为，所以 ， 所以的斜率为定值 . 74 （齐次化法） 平移抛物线，使点 与原点重合（抛物线向左平移1个单 位，向下平移2个单位），则抛物线的方程变为 ， 即 . 设平移后直线的方程为 ， . . . . 75 （直线方程一定要设为此种形式，且无论如何平移，直线的斜率不变） 将直线的方程与抛物线方程齐次化联立曲线方程的一次项乘以 ,整体配 成二次方程可得 ， 整理得 ， 即，构造成关于的二次方程， 或 因为直线,的倾斜角互补，所以 ， 所以（根与系数的关系），所以 , 又由直线的方程可知, , 故直线的斜率 . . . . . . . 76 思路点拨 第（1）问可以利用待定系数法解决；第（2）问求解的关键是如何将 与两条直线的倾斜角互补与直线 的斜率联系起来. 77 解与抛物线有关定值问题的求解思路 （1）解决与抛物线有关的定值问题时，常考虑利用抛物线的定义及一元二次方程根 与系数的关系来解决，过焦点的弦长问题常结合抛物线的定义来解决. （2）在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值问题.解决这类问题的方法很多， 如点差法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化. （3）求解抛物线中的定值问题，还可以选择一个参数来表示问题中的几何量，通过 运算说明与参数无关，进而找到定值，也常用特殊值法找定值. 78 齐次化法处理圆锥曲线中已知斜率和（积）求定点定值问题 齐次化法适用于处理曲线上的点与定点连线有关的斜率运算问题,“齐次”即, 的次数 相等的意思.齐次化法解决此类问题的步骤如下： （1）如果定点在原点，不需要平移；如果不在原点，则先平移图形，将定点平移到 原点处，列出平移后的圆锥曲线方程，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. “上减下加”是在等式中对 的同侧进行加减，而以往记忆的“上加下减”，是在等式 中对的异侧进行加减.例如，函数 的图象向上平移1个单位,新的图象对应 的函数解析式为,即；抛物线 向上平移 一个单位，变为 （2）将平移后的直线方程设为 .（这样齐次化更加方便，相当于“1”的 妙用，但要注意， 不能表示过原点的直线，少量题目需要讨论） . . 79 （3）与平移后的圆锥曲线方程联立，曲线方程的一次项乘以 ,常数项乘以 ,构造齐次式,然后等式两边同时除以 ，得 到 . （4）利用根与系数的关系得出斜率之和或者斜率之积 ，进而 即可得出答案. 注意：如果是过定点问题，还需要将点的坐标还原回原来的坐标系，之前如何平移， 就反平移回去. 80 新考法 情境应用 图3.3.1-12 例17 (2026·上海大学附属中学月考)一种卫星接收天 线如图3.3.1-12（1）所示，其曲面与轴截面的交线为 抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入 形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点 处，如 图3.3.1-12（2）所示．已知接收天线的口径 为 ,深度为．若为接收天线上一点，则点 与 焦点 的最短距离为( ) B A. B. C. D. 81 图3.3.1-13 【解析】以线段的中垂线为轴，以抛物线与 轴的交 点为原点建立坐标系，如图3.3.1-13，则由题意可得 ，设抛物线的方程为，将 点的 坐标代入，得，即 .所以抛物线的方程 为，所以，解得.设点 坐标 为,,所以点 到焦点的距离为 ， 所以点与焦点的最短距离为 . 82 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 抛物线的定义与标准方程的应用是近几年的高频考点，单独考查的频率较高，主要 涉及求距离、求线段长、求准线方程等问题，以选择题、填空题的形式呈现，难度 中等偏下.另外，对于直线与抛物线的位置关系的考查，以解答题的形式呈现，难度 中等偏上，常常利用根与系数的关系及设而不求思想解题，点差法也是常用的解题 方法. 核心素养：直观想象（根据题干画出图形，以图助数），数学运算（距离、线段、 方程的求解，直线与抛物线方程的联立等） 83 考向1 抛物线的定义与标准方程的应用 例18（1）(2025· 全国二卷)设抛物线的焦点为,点在上,过 作 的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为,则 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】根据直线得，所以的准线方程为， 的方程为 ，所以,所以，所以 . （2）(2023·全国乙卷)已知点在抛物线上，则到 的准线的距 离为__. 【解析】将点的坐标代入抛物线方程，得，于是 ，则抛物线的准线 方程为，所以到准线的距离为 . 84 考向2 抛物线与其他曲线的综合 例19 (2025·天津)双曲线的左、右焦点分别为, ，以右焦 点为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为 ,若 ,则双曲线的离心率 ( ) A A.2 B.5 C. D. 【解析】由题意知，所以抛物线方程为.因为 ， ， 所以，又点 在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义可得 ，所以, ， 85 图3.3.1-14 如图3.3.1-14所示，过点作抛物线准线的垂线，垂足为 ， 因为点 在抛物线上， 所以 ， 所以 ， ，把点 的 坐标代入抛物线方程，可得 ，化简得 ，即 ,故选A. 86 考向3 直线与抛物线的位置关系 例20 [多选题] (2024· 新课标Ⅱ卷)抛物线的准线为，为上动点.过 作 的一条切线，为切点.过作的垂线，垂足为 ．则 ( ) ABD A.与相切 B.当，，三点共线时， C.当时， D.满足的点 有且仅有2个 87 【解析】对于A,由抛物线的方程知,圆心到直线的距离等于 的半 径1，故与 相切，A正确； 对于B，，的半径，当,,三点共线时，，所以 ,因为 与相切于点，所以，所以 ，故 B正确； 对于C，当时，,或,,易知与 不垂直，故 C错误； 对于D，记抛物线的焦点为，则,连接,,由抛物线定义可知 ， 因为，所以,所以点在线段 的中垂线上， 88 因为线段的中点坐标为,,所以线段 的中垂线方程为 ，即，即,代入 可得 ，，即 的中垂线和抛物线 有两个交点，所以满足条件的点有且仅有两个，故D正确.故选 . 例21 (2023·全国甲卷)已知直线与抛物线交于 ， 两点， ． （1）求 ； 【解析】设， ， 把代入，得 ， 由,得 . 由根与系数的关系，可得, ， 所以，解得 或 （舍去）， 故 . 90 （2）设为的焦点，，为上两点，且，求 面积的最小值． 【解析】设， ， 由（1）知抛物线，则点 . 因为,所以 ， 则 . 当直线的斜率不存在时，点与点关于 轴对称， 因为 ，所以直线与直线的斜率一个是1，另一个是 . 不妨设直线的斜率为1，则 ， 由得 ， 91 得或 代入式计算易得，当时， 的面积取得最小值，为 . 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 . 由得 ， ， 则 . 又 ， 所以 ， 化简得 . 所以 . 令，则 , 因为 ， 所以 ， 即 ， 得或 ， 从而得 . 故面积的最小值为 . 高考新题型专练 1.[多选题] (2026·云南师范大学附属中学期中)已知为坐标原点，点 在抛物线 上，过点的直线交于， 两点，则( ) BCD A.的准线为 B.直线与 相切 C. D. 95 【解析】因为抛物线过点，所以，解得，所以抛物线 的准线为 ，所以A错误. 由题可知直线的方程为 , 由得,,故直线与相切即 , 可得直线与 相切，故选项B正确. . . 96 设过点的直线交于,,由得 , 由得,则或,由根与系数的关系得 ,则有 ,所以, , 故选项C正确. P，两点在轴同侧，即, . 因为 ，借助 C选项的结果，知道,所以有 ,故选项D正确. 2.新考法 结构不良 已知抛物线 ,满足下列三个条件中的一个:①抛 物线上一动点到焦点的距离比到直线的距离大1;②点到焦点 与到 准线的距离之和等于7; ③直线被该抛物线 所截得弦长为16. 请选择其中一个条件解答下列问题. 98 （1）求抛物线 的标准方程; 【答案】若选择①,则抛物线上一动点到焦点的距离与到直线 的距离相等, 故 ， 故,所以抛物线的标准方程为 . 若选择②，则,解得 ，故抛物线的标准方程为 . 若选择③，则由可得,所以 ,解 得,故抛物线的标准方程为 . 99 （2）为坐标原点,直线与抛物线交于,两点，直线的斜率为,直线 的斜率为,当时,求 的面积的最小值. 【答案】由题意知直线的斜率不为0,设,, ,因 为与抛物线相交于，两点,所以将代入,消去 得 ,则,且, .由题意 可知,,所以,所以 , 所以的面积 ,当且仅当 时,等号成立，所以 的面积的最小值为8. 100 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间:30分钟 1.[教材改编P111 例1] 已知抛物线的焦点坐标是 ，则抛物线的标准方程为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 抛物线的焦点坐标是， 抛物线的焦点在轴负半轴上，且 ， 得 抛物线的标准方程为 ． 101 2.(2026·安徽省淮南市期中)为坐标原点，为抛物线的焦点,为 上一 点，若,则 的面积为( ) C A.2 B. C. D.4 【解析】由题意知抛物线的焦点为，准线方程为.设点 在抛物线准 线上的射影为点，且.由抛物线的定义知,又 ,所以 ，代入抛物线方程求得，所以 . 102 3.(2026·江西省新余市月考)已知动圆与直线 相切，且与定圆 外切，则动圆圆心 的轨迹方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】设动圆圆心为，半径为，由题意可得到 的距离与到直线 的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以为焦点，以直线 为准线 的一条抛物线， 所以,，的轨迹方程为 . 103 图3.3.1-1 4.(2026·广东省东莞市东莞中学段考)如图3.3.1-1，在正方体 中，是侧面内一动点，若到直线 与直线的距离相等，则动点 的轨迹所在的曲线是( ) D A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 【解析】连接, 几何体是正方体， 直线 侧面 ，，则为点到直线的距离.又点到直线 的距离等 于点到直线的距离，即点到点的距离等于点到直线的距离， 动点 的 轨迹所在的曲线是抛物线． 104 5.新定义 阿基米德三角形 阿基米德是古希腊伟大的数学家，他研究出抛物线的求 积法，而且抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角 形”．若抛物线上任意两点，处的切线交于点，则 为“阿基米德三角形”， 且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1） 点必在抛物线的 准线上；（2）；（3）．若经过抛物线 的焦点的一条弦为 ，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线 的方程 为( ) A A. B. C. D. 105 【解析】由题意可知，抛物线的焦点的坐标为，准线方程为 .由 为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，可得 点必在抛 物线的准线上， 点， 直线的斜率为 . ， 直线 的斜率为1， 直线的方程为，即 ，故选A． 106 6.［多选题］ (2026·江西省景德镇一中期中)设抛物线的焦点为 ， 为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于， 两点，点 ，则下列结论正确的是( ) BD A.抛物线的方程为 B. 的最小值为6 C.若线段中点的纵坐标为4，则直线 的斜率为2 D.当直线过焦点时，以为直径的圆与 轴相切 107 【解析】由题意知，，，故 ，A错误； 过作垂直准线于，则，当，， 三点共线时等号 成立，故B正确； 设，，若中点的纵坐标为4，则，且 ， ，相减得，所以直线 的斜率 ，故C错误； 设为中点， 点坐标为, , 圆心到 轴的距离等于半径， 故以为直径的圆与 轴相切，故D正确． 故选 ． 108 7.抛物线上的点到直线 的最小距离为_ _. 图D 3.3.1-1 【解析】如图D 3.3.1-1（数形结合，求出切线方程，转化为求两 平行线间的距离），设与直线 平行的抛物线的 切线方程为 , 由消去得 , , . 故最小距离为 . . . 109 8.新考法 结构不良 在，，轴时， 这 三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．问题：已知抛物线 的焦点为，点在抛物线 上，且___ ． （1）求抛物线 的标准方程． 110 【答案】选择条件①， 由抛物线的定义，可得 ， ，，解得 ， 故抛物线的标准方程为 ． 选择条件②， ，， ， 点在抛物线上，，解得 ， 故抛物线的标准方程为 ． 选择条件③， 当轴时，，解得 ， 故抛物线的标准方程为 ． 111 （2）若直线与抛物线交于，两点，求 的面积． 【答案】设， ， 由（1）可知，联立直线与抛物线方程 化简整理可得，， ， . . 点到直线的距离 ， 故的面积 ． 112 B 综合练丨高考模拟 建议时间:40分钟 9.已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，抛物线上存在点 与轴上一点关于直线对称，则 ( ) C A. B.1 C.2 D.3 【解析】由题意得，,设,直线的方程为 ,由 得,又，即 ,由 解得 113 图3.3.1-2 10.(2026·湖南省长沙市第六中学期中)我们知道：用平行 于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥 侧面的交线是抛物线一部分.如图3.3.1-2，在底面半径和 高均为2的圆锥中，,是底面圆 的两条互相垂直的 直径，是母线的中点，已知过与 的平面与圆锥 侧面的交线是以 为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆 锥曲线的焦点到其准线的距离等于( ) C A. B. C. D.1 114 【解析】如图D 3.3.1-2（1）所示，过点作，垂足为 ， 是母线 的中点，圆锥的底面半径和高均为2， ， . 图D 3.3.1-2 在平面 内建立平面直角坐标系，如图D 3.3.1-2 （2）所示. 设抛物线的方程为 ， ，，解得 ， 故该圆锥曲线的焦点到其准线的距离为 ．故选C． 115 11.［多选题］ 已知抛物线的焦点为，点为 上任意一点，若点 ，下列结论正确的是( ) CD A. 的最小值为2 B.抛物线的准线方程为 C.过点与抛物线 有一个公共点的直线有且只有一条 D.点到点的距离与到焦点 距离之和的最小值为4 116 图D 3.3.1-3 【解析】设，则， ， 又抛物线的焦点为 ，所以 易知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过 与对称轴平行的直线与抛 物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确. 抛物线的焦点在轴上，抛物线的准线方程为 ，B 错误. ， 当且仅当时，等号成立，所以 的最小值是1，A 错误. 117 记抛物线的准线为,准线方程为，过作于，过作于 ，如 图D 3.3.1-3，则，，所以当，，三点共线，即 与重合时，最小，最小值为 ，D正确． 故选 ． 12.平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线 的距离相等， 若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则 的取值范围是_____________ ________. 【解析】由题意可知机器人的轨迹为抛物线，其轨迹方程为,过点 且 斜率为的直线方程为 ,由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消 去，得,则,所以 ，解得 或 . 119 13.如图3.3.1-3，已知抛物线,圆,过点 作 不过原点的直线,分别与抛物线和圆相切，, 为切点. 图3.3.1-3 （1）求点, 的坐标; 120 【答案】由题意知直线的斜率存在，故可设直线的方程为 ,由 消去整理得 , 由直线与抛物线相切，得 , 解得.因此，点的坐标为 . 设圆的圆心为,点的坐标为,由题意知，点， 关于直线 对称， 故解得 因此，点的坐标为 . 121 （2）求 的面积. 【答案】由（1）知 , 直线的方程为 . 点到直线的距离 . 设的面积为,则 . 122 14.新考法 数学建模 如图3.3.1-4,地在地东偏北 方向，相距处, 地与 东西走向的高铁线（近似看成直线）相距.已知曲线形公路上任意一点到 地的距离等于到高铁线的距离,现要在公路旁建造一个变电房 （变电房与公路之间 的距离忽略不计），分别向地、 地送电. 图3.3.1-4 123 （1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路 所在曲线的方程. 图D 3.3.1-4 【答案】如图D 3.3.1-4,以经过点且垂直于垂足为 的直 线为轴，线段的中点为原点,建立直角坐标系 ,则 , . 因为曲线形公路上任意一点到地的距离等于到高铁线 的距离,所以所在的曲线是以为焦点, 为准线的抛 物线. 设抛物线方程为,则，故曲线形公路 所在曲线的方程为 . 124 （2）问变电房建在相对 地的什么位置（方位和距离）,才能使得架设电路所用电 线长度最短?并求出最短长度. 【答案】要使架设电路所用电线长度最短,即使 的值最小. 如图D 3.3.1-4所示，过作,垂足为,依题意得 ，所以 ,故当，，三点共线时, 取得最小值,即 取得最小值,此时 . 故变电房建在地正南方向且与地相距 时,所用电线长度最短，最短长度为 . 125 $