3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的几何性质 第2课时 直线与双曲线的综合应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 高中数学“直线与双曲线的综合应用”同步练，以分层设计构建“概念理解-综合应用-复杂推理”路径，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|渐近线、焦点、弦长等单一知识点|单选1-5聚焦概念辨析，如直线与渐近线平行时公共点个数判断| |中档|位置关系、中点弦等综合应用|多选6结合直线与双曲线交点分类讨论，填空7-8训练性质灵活运用| |拔高|多曲线综合、面积最值等复杂推理|解答9、14、16题融合方程求解与建模，如第16题跨椭圆与双曲线综合论证|

第2课时　直线与双曲线的综合应用 1.若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0或1 B.1 C.0或2 D.1或2 2.过双曲线-=1的一个焦点且与x轴垂直的弦长为 (　 ) A. B. C. D. 3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 (　 ) A.(1,2) B.(-2,-1) C.(-1,-2) D.(2,1) 4.过点(0,-1)且与双曲线-=1有且只有一个公共点的直线有 (　 ) A.0条 B.2条 C.3条 D.4条 5.已知双曲线C:2x2-y2=2,过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M,N两点,若P为线段MN的中点,则MN= (　 ) A. B. C.4 D.4 6.(多选题)[2025·江苏无锡一中高二月考] 已知双曲线C:4x2-y2=1,直线l:y=kx+1(k>0),则下列说法正确的是 (　 ) A.若k=2,则l与C仅有一个公共点 B.若k=2,则l与C仅有一个公共点 C.若l与C有两个公共点,则2<k<2 D.若l与C没有公共点,则k>2 7.[2025·福建厦门一中高二调研] 已知双曲线C:-y2=1,过右焦点F且与一条渐近线垂直的直线l交双曲线于M,N两点,则M,N两点的纵坐标之和为　　　　.  8.[2025·江苏淮安中学高二月考] 过双曲线x2-=1的左焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若满足AB=λ的直线l恰有3条,则λ=　　　　.  9.(13分)[2025·江苏启东中学高二月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求C的方程; (2)经过点M(1,4)的直线l交C于A,B两点,且M为线段AB的中点,求l的方程. 10.[2025·江苏靖江中学高二质检] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与直线y=-x+2相交于A,B两点,弦AB的中点M的横坐标为-1,则双曲线C的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±3x C.y=±x D.y=±x 11.(多选题)[2025·浙江学军中学高二调研] 已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,过其右焦点F的直线l与Γ交于点A,B,下列结论正确的是 (　 ) A.若a=b,则e= B.AB的最小值为2a C.若满足AB=2a的直线l恰有一条,则e> D.若满足AB=2a的直线l恰有三条,则1<e< 12.[2025·江苏南京一中高二质检] 已知双曲线C:-=1的右焦点为F,过原点O的直线与双曲线C交于A,B两点,且∠AFB=60°,则△BOF的面积为　　　　.  13.[2025·江苏扬州中学高二质检] 已知曲线C:2x2-2y2=1,过它的右焦点F作直线交曲线C于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于点P,则=　　　　.  14.(15分)[2025·河北保定中学高二质检] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,焦距为2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若O为坐标原点,过P(0,4)的直线l交双曲线C于A,B两点,且△OAB的面积为24,求直线l的方程. 15.[2025·江苏张家港中学高二调研] 已知直线l:y=x+m与曲线C:y=仅有三个交点,则实数m的取值范围是　　　　.  16.(15分)[2025·江苏苏州中学高二调研] 已知a>b>0,如图,曲线Γ由曲线C1:+=1(y≤0)和曲线C2:-=1(y>0)组成,其中点F1,F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点,点F3,F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点. (1)若F2(2,0),F3(-6,0),求曲线Γ的方程; (2)作直线l平行于曲线C2的一条渐近线,交曲线C1于点A,B,求证:弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线Γ,若直线l1(斜率不为0)过点F4且交曲线C1于点C,D,求△CDF1面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线与双曲线的综合应用 1.B　[解析] 因为渐近线与双曲线没有公共点,所以若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为1,故选B. 2.A　[解析] c==,将x=代入-=1,可得y2=,则过双曲线-=1的一个焦点且与x轴垂直的弦长为2=. 3.C　[解析] 设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x-1代入2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,由此可得弦的中点的横坐标为==-1,所以y1+y2=(x1+x2)-2=-4,故弦的中点的纵坐标为-2,所以弦的中点坐标是(-1,-2).故选C. 4.D　[解析] 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.①过点M(0,-1)且与一条渐近线平行的两条直线y=x-1,y=-x-1与双曲线有且仅有一个公共点;②设过点M(0,-1)且与双曲线相切的直线方程为y=kx-1,由可得(9-4k2)x2+8kx-40=0,则9-4k2≠0,Δ=(8k)2+4×40×(9-4k2)=0,解得k=±,则切线y=x-1,y=-x-1分别与双曲线有且仅有一个公共点.综上可知,过点M(0,-1)且与双曲线-=1仅有一个公共点的直线共有4条.故选D. 5.D　[解析] 由题知,直线l的斜率必存在,设过P(1,2)的直线MN方程为y-2=k(x-1),与双曲线方程联立,消去y得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k2-4k+6)=0,则k2≠2,Δ=[2k(k-2)]2+4(2-k2)(k2-4k+6)>0,可得k<且k≠±,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,因为x1+x2=2,所以-=2,解得k=1,则x1+x2=2,x1x2=-3,故MN=·=×=4.故选D. 6.ABD　[解析] 因为双曲线的方程为4x2-y2=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,又因为直线l:y=kx+1过定点(0,1),所以当k=2时,直线l与双曲线C有且只有一个交点,故A正确;由消去y得(4-k2)x2-2kx-2=0,当k=2时,4-k2≠0,且Δ=(2k)2+8(4-k2)=0,所以直线l与双曲线C有且只有一个交点,故B正确;若l与C有两个公共点,则 解得2<k<2或0<k<2,故C错误;若l与C没有公共点,则 解得k>2,故D正确.故选ABD. 7.±　[解析] 双曲线C:-y2=1的右焦点F(2,0),渐近线方程为y=±x.如图所示,当直线l垂直于直线y=x时,直线l的斜率为-,所以直线l的方程为y=-(x-2),将直线l与双曲线C的方程联立,消去x得-y2-y+1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-;同理可得,当直线l垂直于直线y=-x时,y1+y2=.故y1+y2=±. 8.4　[解析] 因为左支内最短焦点弦的长为=4,与左、右两支相交的焦点弦长不小于2a=2,且满足AB=λ的直线l恰有3条,所以根据双曲线对称性可知,其中一条与x轴垂直,另两条关于x轴对称,如图所示(图中AB=A1B1=A2B2),故λ=4. 9.解:(1)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x, 所以=2,又焦点(0,c)到直线y=2x的距离d==1, 所以c=,又c2=a2+b2,所以a2=4,b2=1, 所以双曲线C的方程为-x2=1. (2)易知直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k, 则x1+x2=2,y1+y2=8, -=1,-=1, 可得--+=0, 即=(x1+x2)(x1-x2),即=4, 所以4k=4,解得k=1,所以直线l的方程为y-4=x-1,即y=x+3, 经检验直线l:y=x+3与双曲线C有两个交点,满足条件, 所以直线l的方程为y=x+3. 10.A　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),则由点差法得-=0.易知M(-1,3),∴x1+x2=-2,y1+y2=6,∴-=0,又kAB==-1,∴b2=3a2,∴双曲线C的渐近线方程为y=±x,即y=±x. 11.ACD　[解析] 对于A,当a=b时,因为c2=a2+b2,所以e===,故A正确;对于B,当过右焦点F的直线l与Γ交于左、右两支时,AB的最小值为2a(此时A,B为双曲线的两顶点),当过右焦点F的直线l与Γ交于同一支时,最短弦为通径,将x=c代入双曲线方程得-=1,解得y=±,则AB的最小值为,由于a不一定小于或等于b,故B错误;对于C,若满足AB=2a的直线l恰有一条,由选项B可知直线与双曲线的左、右支分别交于一点,所以2a<,即b2>a2,此时e===>,故C正确;对于D,若满足AB=2a的直线l恰有三条,则其中一条与双曲线的两支分别相交,另两条仅与双曲线的一支相交,所以2a>,即b2<a2,所以e===<,又e>1,所以1<e<,故D正确.故选ACD. 12.　[解析] 由双曲线的方程知a=4,b=3,c=5,设双曲线的左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形AFBF1是平行四边形,∵∠AFB=60°,∴∠F1AF=120°,则S△BOF==,由余弦定理得100=A+AF2-2AF·AF1cos 120°=(AF1-AF)2+3AF1·AF=64+3AF1·AF,则3AF1·AF=100-64=36,即AF1·AF=12,则=AF1·AFsin 120°=×12×=3,则S△BOF==. 13.　[解析] 由C:2x2-2y2=1,得a2=b2=,则c=1,∴F(1,0).易知弦MN所在直线的斜率存在,设MN:y=t(x-1),由得(2-2t2)x2+4t2x-2t2-1=0,则t2≠1,Δ>0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴MN=·|x1-x2|=·= ·=.由=,=t·=,得弦MN的中点坐标为,则弦MN的垂直平分线方程为x=0(t=0)或y-=-(t≠0),当t≠0时,令y=0,可得x=xP=,则PF==,∴==.当t=0时,MN=,P(0,0),则PF=1,∴=.综上可得=. 14.解:(1)由题意得=,2c=2,a2+b2=c2,解得c=,a=2,b=, ∴双曲线C的标准方程为-=1. (2)由题意可知,直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2), 由方程组消去y整理得(3k2-4)x2+24kx+36=0, 则3k2-4≠0,Δ=(24k)2-4×36(3k2-4)>0,x1+x2=,x1x2=, ∴AB=·=·=12·, 又原点到直线AB的距离d=, ∴S△AOB=AB·d=××12·==24,解得k2=1或k2=, 则k=±1或k=±, 故直线l的方程为y=±x+4或y=±x+4. 15.(1,)　[解析] 由题意得曲线C:y=,即C:2y=,可得C:4y2=|4-x2|(y≥0).当4-x2≥0时,4y2=4-x2(y≥0),即+y2=1(y≥0);当4-x2<0时,-y2=1(y≥0).由以上分析可得曲线C如图中实线所示,易知m>0且直线l:y=x+m与双曲线-y2=1的一条渐近线y=x平行,直线y=x+1过点(0,1),直线y=x+1与曲线C有两个交点,则m>1.设直线y=x+t与椭圆+y2=1的上半部分相切,则t>0,联立直线y=x+t与椭圆的方程得消去y得2x2+4tx+4t2-4=0,则Δ=16t2-8(4t2-4)=0,即t=或t=-(舍),则m<.由图可得1<m<. 16.解:(1)∵F2(2,0),F3(-6,0), ∴解得 则曲线Γ的方程为+=1(y≤0)和-=1(y>0). (2)证明:由题意得曲线C2的渐近线方程为y=±x, 当直线l与渐近线y=x平行时,设直线l:y=(x-m)(m≠0), 由得2x2-2mx+(m2-a2)=0,∴Δ1=4m2-8(m2-a2)>0,解得-a<m<a, 由数形结合知a≤m<a. 设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x1+x2=m, ∴x0=,y0=-, ∴y0=-x0,即点M在直线y=-x上. 由曲线C1与曲线C2的对称性可知,当直线l与渐近线y=-x平行时,点M在直线y=x上.故弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上. (3)由(1)知,曲线C1:+=1(y≤0),点F4(6,0), 设直线l1的方程为x=ny+6(n>0), 由得(5+4n2)y2+48ny+64=0,∴Δ2=(48n)2-4×64×(5+4n2)>0,得n2>1, 设C(x3,y3),D(x4,y4), ∴y3+y4=-,y3y4=, ∴|y3-y4|==,∴△CDF1的面积S=F1F4·|y3-y4|=×8×=64×, 令t=,∴n2=t2+1,t>0, ∴S==≤, 当且仅当t=,即n=时等号成立,∴△CDF1面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $