3.2.2 双曲线的几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦高二苏教版选择性必修一“双曲线的几何性质”，系统梳理范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等核心知识，通过对比椭圆性质建立知识联系，以思维导图、例题讲解、分层练习为支架，帮助学生构建圆锥曲线知识体系。 其亮点在于融合逻辑推理与数学运算素养，采用结构化思维解析例题，结合高考真题与变式训练，如离心率求解、渐近线应用等实例，培养学生解题能力。教师可利用一体化资源提升教学效率，学生能在对比与探究中深化数形结合意识。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第三章 圆锥曲线与方程 本节掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质，能利用性质求解双曲线相关问题，对比椭圆性质加深认知，提升数形结合、数学运算与逻辑推理素养。 3.2.2 双曲线的几何性质 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括141张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：轴、 轴.中心（双曲线的对称中心叫作中心）：原点. . . . . 4 顶点 ， ， 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴.实轴长 , 虚轴长，叫作双曲线的实半轴长， 叫作双曲线的虚半轴长. 渐近线 直线 直线 离心率 续表 5 知识剖析 双曲线图形的特点 （1）当无限增大时， 也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的. （2）双曲线的顶点只有两个，即实轴的两个端点，虚轴的两个端点并不在双曲 线上（并不是双曲线的顶点，而是人为作出的.）.另外，实轴长不一定大于虚轴长， 这要和椭圆中长轴长和短轴长区别开来. 双曲线渐近线的求解 由双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可把双曲线的标准方程 或 中等号右边的“1”改成“0”，然后 分解因式即可得到渐近线的方程或 .由此我们也能联想到，方程形 如 的双曲线有相同的渐近线. . . . . 6 离心率的几何意义 由等式,得.因此越大， 也越大， 即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线 的开 口就越大，因此离心率 可以用来反映双曲线开口的大小. 7 学思用·典例详解 例1-1 (2026·陕西省西安交通大学附属中学月考)双曲线 的渐近线方程为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由方程，则,，所以渐近线 . 8 例1-2 (2026·陕西省汉中中学月考)点到双曲线 的一条渐近线的距离 为( ) A A. B. C. D. 【解析】双曲线的一条渐近线方程为，即，点 到双曲线的一 条渐近线的距离为 ． 点评 双曲线关于坐标轴对称，因此坐标轴上的点到两渐近线的距离相等． 9 例1-3 已知双曲线过点， ，且实轴的两个端点 与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线 的标准方程是_ __________. 【解析】 实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形， ，即 ， 双曲线过点， ， ，即 ， 解得， ， 故双曲线的标准方程是 . 10 释疑惑 重难拓展 知识点2 等轴双曲线与共轭双曲线 1 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质： （1）方程形式为 ; （2）渐近线方程为 ,它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长相等，离心率 . 11 2 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双 曲线.例如，双曲线与 是一对共轭 双曲线，其性质如下： （1）两个共轭双曲线有相同的渐近线； （2）两个共轭双曲线有相等的焦距； （3）由于,,则 ，可知，共轭双曲线的离心率不 同，但离心率倒数的平方和等于常数1. 教材深挖 POINT 此处是对教材第108页【习题3.2（2）】第14题的深挖. 12 学思用·典例详解 例2-4 ［教材改编P107 T7］已知等轴双曲线的中心在原点，且过点 ，则该双 曲线方程为_ __________. 【解析】设双曲线方程为，将 代入方程，可得 ，所以双曲线方程为，即 . 13 例2-5 [多选题](2026·河北省廊坊贺阳高级中学月考)下列有关双曲线 与 的说法正确的是( ) BC A.有公共顶点 B.焦距相等 C.有公共渐近线 D.离心率相等 【解析】因为两个双曲线互为共轭双曲线，所以它们有公共的渐近线，C说法正确； 由两个双曲线的实、虚轴互换，可知A说法不正确，B说法正确；前者离心率为 ， 后者为 ，故D说法不正确. 14 知识点3 椭圆与双曲线的统一性 链接教材第118页【链接】 1 定义的统一性 椭圆 双曲线 第二定 义 平面内到定点的距离与到定直线不在上的距离之比是常数 的点的轨 迹. 当 时为椭圆. 当 时为双曲线. 当为左焦点时，称为左准线，此时 ； 当为右焦点时，称为右准线，此时 . 15 椭圆 双曲线 第三定 义 平面内到两定点,的斜率乘积等于常数 的点的轨迹. 当 时为椭圆. 当 时为双曲线. ，为曲线与 轴的交点. 续表 其中， 为离心率. 特别提醒 椭圆与双曲线中的“垂径定理” 直线<m></m>与椭圆<m></m>交于<m></m>,<m></m>两点,设线段<m></m>的中点为 <m></m>,<m></m>为坐标原点,则有<m></m>为离心率<m></m>. 直线<m></m>与双曲线<m></m>交于<m></m>,<m></m>两点,设线段<m></m>的中 点为<m></m>,<m></m>为坐标原点,则有<m></m>为离心率<m></m>. 17 2 椭圆、双曲线几何性质的统一性 椭圆 双曲线 通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被椭圆（双曲线）截得 的线段叫作椭圆（双曲线）的通径，椭圆与双曲线的通径均 为 . 特征三角形 （含有圆锥曲线几何 量的三角形） __________________________________ ________________________________ 18 椭圆 双曲线 焦点三角形 焦半径 , 当点在双曲线右支上时, , ; 当点 在双曲线左支上时， , 续表 19 椭圆 双曲线 的值 焦点三角形的面积 离心率 续表 20 特别提醒 双曲线与渐近线形成的特征三角形图3.2.2-1所示的 也可称为特征 三角形.焦点到渐近线的距离 ，即双曲线的焦点到渐近 线的距离为虚半轴长.而且在中，很容易得到 .即若知道两条渐近线 的夹角,我们可以很容易求出双曲线的离心率.#1.1 图3.2.2-1 . . . . 21 学思用·典例详解 例3-6 (2026·广西玉林市八校联考调研)如图3.2.2-2，和 分别是双曲线 的两个焦点，和是以为圆心， 的长为半径的圆与该 双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为________. 图3.2.2-2 22 图3.2.2-3 【解析】 如图3.2.2-3,连接，由 是等边三角形， 知 . 为直角三角形， 为直径，为直径所对的圆周角，即为 则, , , 从而双曲线的离心率 . 如图3.2.2-3,连接, , , ， 于是离心率 . . . 23 例3-7 已知双曲线,则的右焦点的坐标为______； 的焦点到其渐近 线的距离是____. 【解析】双曲线中，,，则 的右焦点的坐标为 ,的渐近线方程为 , 即,即，则的焦点到其渐近线的距离 .（双曲线的 焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长,利用该结论可快速解题） . . 24 例3-8 已知双曲线的两条渐近线为,，过右焦点作，且交于点 ，过点 作，且交于点.若轴，则双曲线 的离心率为_ ___. 【解析】如图3.2.2-4，延长交于点，则易得 . 图3.2.2-4 在中，为的中点，而，所以为 的中点. 又，于是中边上的高线与中线重合，从而 为等边三角 形，所以边与轴的夹角为 ，所以 . 25 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求双曲线的标准方程 1 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程 例9 ［教材改编P106 T2］根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： （1）焦点在 轴上，焦距为10，虚轴长为8； 【解析】设所求双曲线的标准方程为,则， ， 从而，，代入,得,故双曲线的标准方程为 . 26 （2）过点，离心率 ； 【解析】若双曲线的实轴在 轴上，（当题目条件没有明确双曲线的焦点所在位置时， 应分两种情况进行讨论） 则设 为所求双曲线的标准方程. 由得 ①. 由点在双曲线上得 ②. 由，结合①②得, . 故所求双曲线的标准方程为 . 若双曲线的实轴在轴上,则设 为所求双曲线的标准方程. . . . . 27 同理有,, , 解得 （不合题意）. 综上，所求双曲线的标准方程为 . （3）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分. 【解析】由两顶点间的距离是6，得,即 . 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分，可得,即 ，于是有 . 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或 . 29 由双曲线几何性质求双曲线标准方程的基本思路 步骤 注意点 第一步：定位 双曲线的实轴、焦点的位置 第二步：定形 是否给出了离心率及渐近线方程 30 【学会了吗丨变式题】 1.已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且 ， ，双曲线的离心率为2，求双曲线的标准方程. 31 【答案】设双曲线的标准方程为,由题意知 , ，由双曲线的定义，得 . 由余弦定理得 ， ，即 . 又 ， ,, . , . 故所求双曲线的标准方程为 . 32 2 巧设双曲线方程 例10 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）以直线为渐近线，过点 ； 33 【解析】 （优解） 由题意可设所求双曲线方程为 （两条渐近线的方程左端式子相乘，即得 ） ， 将点的坐标代入方程，解得 . 因此所求双曲线的标准方程为 . （通解） 由题意可设所求双曲线方程为 . 由题意，得解得 因此所求双曲线的标准方程为 . . . 34 （2）与双曲线具有相同的渐近线，且过点 ； 【解析】设所求双曲线方程为 . （渐近线相同时，双曲线的焦点位置不一定在相同的轴上，因此只需限定 即可） 由点 在双曲线上, 得 ,得 . 故所求双曲线的标准方程为 . . . 35 （3）过点，与双曲线 的离心率相等； 【解析】易知所求双曲线的焦点在轴上，可设双曲线方程为 , （由得离心率相同时， 的值也相同，因此在设方程时，必须保证 ） 将点的坐标代入方程得 ， 故所求双曲线的标准方程为 . . . 36 （4）与椭圆 有公共焦点，离心率为 . 【解析】 （通解） 由椭圆方程可得焦点坐标为,，即 且焦 点在 轴上. 设双曲线的标准方程为 . 因为,所以,则 ， 故所求双曲线的标准方程为 . 37 （优解） 因为椭圆焦点在 轴上，所以可设双曲线的标准方程为 . 因为,所以,解得 . 故所求双曲线的标准方程为 . 38 巧设双曲线方程的方法 1.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避 免讨论，也可设双曲线的方程为 . 2.常见双曲线方程的设法. （1）渐近线为的双曲线方程可设为 ;如果 两条渐近线的方程为 ,那么双曲线的方程可设为 .#2.1.2.1 39 （2）与双曲线或 共渐近线的双曲线方程可设为 或 . （3）与双曲线 的离心率相等的双曲线方程可设为 或 ,这是因为由离心率不能确定焦点位置.#2.1.2.3 40 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·黑龙江省哈尔滨市期中)与曲线共焦点，且与双曲线 共 渐近线的双曲线的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且 ，所求双 曲线与双曲线 共渐近线， 所以设所求双曲线的方程为 ， 即，（注意焦点在 轴上） 则，解得 ， 所以所求双曲线的方程为 ． 41 题型2 求双曲线的离心率 1 与双曲线的渐近线有关的离心率问题 母题 致经典·母题探究 母题探源 双曲线的渐近线方程为 ，离心率 ，因此当知道渐近线方程、离心率中的一个时，可以直接跳过求 ， ，直接求出另一个. 42 例11 (2026·重庆市渝北中学校质量检测)中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条 渐近线经过点 ，则它的离心率为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知，过点的渐近线的方程为, ， . 设,则, , . ,故 . 43 子题 ［教材改编P107 T8］双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 的离心率为( ) D A. B. C. D. 【解析】 依题意知， ，两边 平方得，，又 , . 渐近线与轴的夹角为 ,由特征三角形的知识可知 . 44 2 寻找齐次方程求离心率 例12 (2026·河南师范大学附属中学月考)双曲线 的左焦 点为，右顶点为，虚轴的一个端点为，若为等腰三角形，则双曲线 的离 心率是( ) D A. B. C.或 D. 45 【解析】由题意易知, , 设,则 , , , 由为等腰三角形，分析可得 , 即 , 变形可得 , 又,则有,解得 , 又 ,（双曲线的离心率大于1，要注意利用该隐含条件对答案进行取舍）则 . . . . . 46 3 与焦点三角形有关的离心率问题 例13 设双曲线的左、右焦点分别为，，过 的直线分 别交双曲线左、右两支于，两点，是以 为斜边的等腰直角三角形，则 双曲线的离心率为____. 47 【解析】设,是以为斜边的等腰直角三角形， , ， ，两点在双曲线上，，为双曲线的左、右焦点， , , , ,,则 , 由，得，解得， ， ， 在中，由余弦定理得 ，化简整理 得，即，则离心率 ． 48 求双曲线的离心率的方法 （1）由条件寻找， 所满足的等式，常用的公式变形为 ． （2）依据条件列出含，的齐次方程，利用转化为含或 的方程，解方程即 可，注意依据 对所得解进行取舍. 49 【学会了吗丨变式题】 3.(2026·福建省莆田第一中学月考)已知为双曲线 的一 条渐近线，与圆（其中）相交于， 两点，若 为等腰直角三角形，则 的离心率为( ) D A.2 B. C. D. 50 【解析】由题意可设的方程为 . 已知圆的圆心为，半径为 ， 为双曲线 的一条渐近线， 与圆（其中）相交于，两点， 为等腰 直角三角形， . 又到的距离，（焦点到渐近线的距离为 ） ，将代入上式，得 . 又， . 51 4.(2026·河南省信阳市期中)设双曲线 的左、右焦点分别 为，，过坐标原点的直线与交于，两点．若， ， 则 的离心率为( ) D A. B.2 C. D. 52 图D 3.2.2-1 【解析】因为为的中点，所以四边形 为平行四 边形，如图D 3.2.2-1， ，又 ,所以, ， 所以.在 中，由余弦定理得， ，整理得,所以 ． 53 4 利用焦半径公式求离心率范围 双曲线的焦半径公式 双曲线上的点<m></m>与左（下）焦点<m></m>或右（上）焦点<m></m>的距离称为焦半径，分 别记作<m></m>,<m></m>. 方程 点 位置 左支 右支 上支 下支 最小值 最小值 54 例14 已知,分别为双曲线的左、右焦点， 为双曲线左 支上任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率 的取值范围是______. 【解析】设.由双曲线的定义有,所以 ,从而 ，当且仅当 时等号成立. 由于双曲线的焦半径 , 则，即 . 由于，所以，从而.（注意，不要遗漏 ） 因为的最小值为,所以,则,所以 , 又，所以 . . . 55 5 构造齐次不等式求离心率范围 例15 已知双曲线的左、右焦点分别为, .若 双曲线上存在点使 ,则该双曲线的离心率的取值范围是___________． 56 图3.2.2-5 【解析】在中,由正弦定理可得 ,所以 ,即,则点 在双曲线的右支上， 且点不在直线 上，画出示意图如图3.2 .2-5所示.由双曲线的 定义知,则,即 . 由双曲线的性质知（右支上一点到右焦点的最小焦半径为 ）,则 ,即，所以,解得 . 又,所以 . . . 57 求双曲线离心率取值范围的思路 求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于 ,,的不等关系，结合和得到关于 的不等式，然后求解. 58 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·福建省同安第一中学期初)已知,分别是双曲线 的左、右焦点，过点 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线 于点,若点在以线段 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】设直线方程为,与联立，可得两直线交点 的坐标为 .又,,所以, ,由题意可得 （“点在以线段为直径的圆内”，即 为钝角或平角，亦即 ）,即,化简可得,即 ， 可得,即,所以,又,所以 ,故选A. . . 59 题型3 双曲线的渐近线 1 直线与双曲线的交点个数与渐近线的关系 母题 致经典·母题探究 图3.2.2-6 母题探源 由上节学习的直线与双曲线的位置关系，我们 进一步探究直线与双曲线的交点个数与渐近线的关系，用数 形结合的方法讨论，具体情况如下. 如图3.2.2-6（1）所示， 是平面内双曲线渐近线所夹区域 内一点，双曲线渐近线的斜率为, .已知过 点的双曲线的切线,的斜率分别为,，过点的直线的斜率为 ，如图3.2.2-6 60 （2）. ①当或时， 与双曲线无交点； ②当或或时， 与双曲线有一个交点； ③当或时， 与双曲线的一支交于不同的两点; ④当时， 与双曲线的两支相交. 例16 ［开放题］(2026·云南师范大学附属中学期末)记双曲线 的离心率为，写出满足条件“直线与 无公共点” 的 的一个值__________________. （答案不唯一） 【解析】由题意可得，,所以.又，所以离心率 的取值 范围是,.故填写,内的任意值均可,如 . 62 子题 直线与双曲线 的交点个数是( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 联立直线与双曲线 的方程，得 方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 观察可知直线 就是双曲线的一条渐近线，因此没有 交点. 63 2 求双曲线的渐近线 例17 已知，椭圆的方程为,双曲线的方程为, 与的离心率之积为，则 的渐近线方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】椭圆的离心率 ， 双曲线的离心率 . 由,解得,所以 ,所以 双曲线的渐近线方程是,即 . 64 求双曲线的渐近线方程的基本步骤 1.利用条件求出与的值或建立与 的等量关系; 2.确定双曲线焦点的位置； 3.写出双曲线的渐近线方程：当双曲线的焦点在轴上时，渐近线方程为 ； 当双曲线的焦点在轴上时，渐近线方程为 . 65 【学会了吗丨变式题】 6.已知,是双曲线的左、右焦点，是双曲线 右支上 一点，是线段的中点,是坐标原点，若的周长为 为双曲线的半 焦距,,则双曲线 的渐近线方程为( ) C A. B. C. D. 66 【解析】连接,因为是线段的中点，由三角形中位线定理知 , , . 由双曲线定义知,因为 的周长为 ,所以,解得 , , 在中，由余弦定理得 ,即 ,整理得 , 所以，即 , 所以双曲线的渐近线方程为 ,故选C. 67 题型4 与双曲线有关的综合问题 例18 (2026·广东省茂名市月考)已知双曲线的渐近线方程为 ，且过点 ， ． （1）求 的方程； 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，故设 的方程为 ， 又过点，所以 ，解得，所以的方程为 ． 68 （2）设，直线不经过点且与相交于，两点，若直线与 交于另一点，求证：直线 过定点． 【解析】显然直线 的斜率不为0， 设直线的方程为，，， ，联立 消去整理得，依题意 且 ，即且 ， 所以， ， 直线的方程为 ， 令，得 ，所以直线过定点 ． 69 70 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 双曲线的几何性质是高考考查的重点内容,一是求离心率、渐近线方程，以选择题、 填空题的形式呈现，难度中等；二是以双曲线为背景，考查直线、圆与双曲线的综 合问题，如定点、定值问题、面积最值、证明等问题，试题中等偏难，要引起足够 重视. 核心素养：逻辑推理（由题目条件推出,, 之间的关系、利用根与系数的关系求解 “定”问题等），数学运算（离心率的求解、距离或线段的求解等），直观想象 （画出图象、以图助数等）. 71 考向1 双曲线的离心率 例19 (2025·全国一卷)已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则 的离心率为 ( ) D A. B.2 C. D. 【解析】依题意得，又,所以 ,即 ，故 . 例20 (2025·北京)双曲线 的离心率为( ) B A. B. C. D. 【解析】将双曲线方程化为标准方程，得，则 , ，所以,，得，所以双曲线的离心率 . 72 例21 (2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为,，点 在该双 曲线上，则该双曲线的离心率为( ) C A.4 B.3 C.2 D. 【解析】 （方程组法） 根据焦点坐标可知，根据焦点在 轴上，可设 双曲线的方程为，则解得 所以离心 率 . （定义法） 根据双曲线的定义，得 ，根据焦点坐 标可知，所以离心率 . 73 例22 (2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过作平行于轴的直线交于，两点,若 ， ，则 的离心率为__. 74 图3.2.2-7 【解析】 如图3.2.2-7，由 及双曲线的对称性得 ，因为,所以 , ,所以， ， 则的离心率 . （二级结论） 因为，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，得 ，所以 ，得，所以的离心率 . （二级结论：椭圆和双 曲线的通径长均为 ） 75 例23 (2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,.点在上，点在轴上，，,则 的离心率为_ ___. 76 【解析】 由题意可知,,,设, , 所以, , 因为,所以 即所以 . , ， 因为，所以 ， 77 即，解得 . 因为点在双曲线上，所以，又 ，所以 ，即，化简得，所以 ， 所以 . 图3.2.2-8 如图3.2.2-8，设，则 , . 在中， ， 即 ， 则 ， 故或 （舍去）. 所以,， ， 则，故 . 在中，由余弦定理得 ， 整理得，故 . 79 考向2 双曲线的渐近线问题 例24 [多选题](2025·全国二卷)双曲线 的左、右焦点分 别为，，左、右顶点分别为,，以为直径的圆与 的一条渐近线交于 ，两点，且 ，则( ) ACD A. B. C.的离心率为 D.当时，四边形的面积为 80 【解析】对于A，根据双曲线和圆的对称性，（题眼）知四边形 为平行四边 形，因为，所以 ，A正确. 对于B， （余弦定理）如图3.2.2-9，在 中， ，故 ，在 中， , . . . . 81 图3.2.2-9 （此思路是从“数”的角度分析，在两个三角形中，分别将需要求 解关系的两条线段的长度用, 表示出来） 在中， ,即 ，则 ， 所以， ， 所以 ,B错误. 82 （解析几何法） 设，则 ，又 ，，联立可得,，所以，所以 轴， （此思路是找到直角三角形，减少了运算量，从“形”的角度分析了线段的比值关系） 在中，因为，所以 ,B错误. 对于C，根据，得 ,C正确. 对于D，当时，，，所以四边形 的面积为 ,D正确. 83 命题 探源 试题从双曲线的标准方程出发，综合考查双曲线的渐近线、离心率等基础 知识，以及解三角形的基本方法，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能 力. 素养 探源 素养 考查途径 逻辑推理 试题中涵盖了除双曲线外的多个几何 图形，如直线、圆、三角形、四边 形，需要综合运用几何图形的性质以 及代数或几何方法，结合具体图形特 征来选择解决问题的合理路径. 数学运算 直观想象 84 变式探源 (2023·全国甲卷)已知双曲线的离心率为， 的一条渐 近线与圆交于，两点，则 ( ) D A. B. C. D. 85 【解析】由得,所以双曲线的渐近线方程为 . （通解） 由 得 . 设,，则, . 所以 . （优解） 圆心到渐近线的距离 ， 所以 . 86 考向3 双曲线的综合问题 例25 (2023·全国乙卷)设,为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 中点的是( ) D A. B. C. D. 87 【解析】设，，的中点为，由点， 在双曲线上，得 两式作差，得 ， 即 ， 化简得 ， 即 ， 因此 . 88 由双曲线方程可得渐近线方程为 ， 选项中的点均位于双曲线两支之间，故， 分别在双曲线的两支上且不关于原点对 称，则，即 ，结合选项可知选D. 例26 (2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为 ,离心率 为 . （1）求 的方程; 【解析】设双曲线的方程为，为双曲线 的半焦距， 由题意可得 解得 所以双曲线的方程为 . 90 （2）记的左、右顶点分别为,,过点的直线与的左支交于， 两点， 在第二象限,直线与交于点,证明:点 在定直线上. 【解析】 （根与系数的关系） 设,,直线 的方程为 ，则, .（直线方程设成此种形式可避免对直线 的斜率是否存在进行讨论） 联立得 得 . 因为直线与双曲线的左支交于，两点,所以,且 . 91 由根与系数的关系得 所以 . 因为，分别为双曲线 的左、右顶点， 所以, . 直线的方程为 , 直线的方程为 , （用两点式表示直线和 的方程） 所以，得, . 因为 93 （构造的巧妙之处是可以和 联系） ， 所以，解得 ， 所以点在定直线 上. （齐次化） 由题意得, . 设,,直线的方程为,则,即 . 94 图3.2.2-10 如图3.2.2-10，连接 , ①. 由，得 ， ，（构造 是为了下一步得到关于 的齐次式） , . 由，得， ， . 95 ， ，两边同时除以 , 得 ， 即.（这里可以理解为点与点 连线的斜率，点 与点 连线的斜率） , , 由根与系数的关系得 ②. 由①②可得 . , . 由解得 . 所以点在定直线 上. 97 98 高考新题型专练 1.新情境 国宝金杯 ［多选题］ 如图3.2.2-11为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐金 筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．如图3.2.2- 12，该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 的右支与直 线，，围成的曲边四边形绕 轴旋转一周得到的几何体，若 该金杯主体部分的上口外直径为,下底外直径为,双曲线与坐标轴交于， ， 则( ) 99 图3.2.2-11 图3.2.2-12 A.双曲线的方程为 B.双曲线与双曲线 共渐近线 C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线 有两个交点 D.存在无数个点，使它与， 两点的连线所在直线的斜率之积为3 √ √ √ 【解析】由题意可知,，将， 的坐标代入双曲线 , 得即解得 对于A，双曲线的方程为 ，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，又双曲线 的渐近 线方程为 ，故B正确； 101 对于C，由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时， 此时与双曲线有一个交点，故不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线 有两个交 点，故C错误； 对于D，双曲线的方程为，则， ，设 为双曲线上任意一点， 则，即 ， , 双曲线 上存在无数个点 （不与,重合），使它与， 两点的连线所在直线的斜率之积为3，故D正确. 2.新考法 结构不良 已知双曲线的右焦点为 ,渐近 线方程为 . （1）求 的方程； 【答案】由题意得 ①． 因为双曲线的渐近线方程为 ， 所以 ②． 又③，所以联立①②③并解得, ， 所以双曲线的方程为 ． 103 （2）过的直线与的两条渐近线分别交于,两点，点,在 上， 且,.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点 .从 下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. 在上；; . 104 【答案】由,知直线的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，将直线的方程代入 的方程，整理得 ， 则,,所以 ， 所以 . 设点的坐标为 , ,（直线 的方程.） ,（直线 的方程.） , 则 105 两式相减，得 , 又 ， 所以，解得 ; 两式相加，得 , 又 , 所以 ， 解得 . 因此，点的轨迹为直线,其中为直线 的斜率. 若选择,因为,所以直线的方程为，设 ， ， 不妨令点在直线 上， 则由解得 同理可得, , 所以, . 点 的坐标满足 ，（在 上.） ，（ 的轨迹方程.） 得， , 故为的中点，即 . 若选择①③，当直线的斜率不存在时，点即为点,此时不在直线 上，矛盾. 当直线的斜率存在时，易知直线的斜率不为0，设直线 的方程为 ，， ， 不妨令点在直线 上， 则由解得 同理可得, , 因为在上，且 ， 所以, , 又点在直线 上， 所以,解得,因此 . 若选择②③，因为，所以直线的方程为,设 ， , 不妨令点在直线 上， 则由解得 同理可得, . 设的中点为 ， 则, . 因为，所以在的垂直平分线上，即点在直线 , 即 上, 将与 联立， 得, , 即点恰为的中点，故点在直线 上. 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.已知双曲线的右焦点为 ，则该双曲线的离心率等于( ) C A. B. C. D. 【解析】根据右焦点坐标为，知，则，所以，故 . 112 2.若双曲线的渐近线方程是,虚轴长为4，且焦点在 轴上，则双曲线的标准 方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】双曲线的焦点在轴，设双曲线的标准方程为 ,双曲 线的虚轴长为4，即，即，其渐近线方程为，即 ， 则 ， 故双曲线的标准方程为 ． 113 3.(2026·安徽省安庆市月考)设双曲线与直线 相交 于两个不同的点，则双曲线的离心率 的取值范围为( ) C A.， B. C. D. 【解析】由消去并整理得 .由于直线与双 曲线相交于两个不同的点，则，即，且此时 ， 即,所以 . 另一方面,,则,故或 ,解得 . 114 4.已知双曲线的左、右焦点分别为，， 是右支上 一点，且，则双曲线 的离心率的取值范围是( ) C A.（0, B. C.（1, D. 【解析】根据双曲线的定义知,又 ， ,即 ， 又点 在双曲线的右支上， ,即,即 , ，又，，即双曲线的离心率的取值范围为（1， ． 115 5.(2026·江苏省启东中学期中)已知椭圆与双曲线 的 离心率分别为，，若 ，则双曲线的渐近线方程为( ) D A. B. C. D. 116 【解析】椭圆的离心率 ， 双曲线的离心率 ， 因为，所以 ， 所以 ， 化简得，解得 . 所以双曲线的渐近线方程为 . 6.[多选题](2026·广东省广州市期末)已知双曲线 的焦距 为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是( ) ABD A.的离心率为 B.的标准方程为 C.的渐近线方程为 D.直线经过 的一个焦点 【解析】由题意可得，，又焦点到渐近线的距离为1，则 ， ，，的离心率为， 正确； 的标准方程为， 正确； 的渐近线方程为， 错误； 在直线上，故直线经过的一个焦点， 正确.故 选 . 118 7.若双曲线 的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是 ____. 【解析】由双曲线的两条渐近线互相垂直，得此双曲线为等轴双曲线，渐近线与 轴 的夹角，又双曲线的焦点在 轴上， 所以 . 119 8.（1）中心在原点，实轴在轴上，求一个焦点为直线 与坐标轴的 交点的等轴双曲线的方程； 【答案】由双曲线的实轴在轴上知其焦点在轴上，直线与 轴的 交点坐标为，故双曲线的一个焦点为，又中心在原点，故 . 设等轴双曲线方程为,则,解得, 双曲线方 程为，即 . 120 （2）已知双曲线与双曲线共渐近线，且过点.若双曲线 以 双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线 的标准方程. 【答案】由题意，设双曲线的方程为 . 点在双曲线上， , 得, 双曲线的标准方程为 . 又双曲线与双曲线互为共轭双曲线，则双曲线的标准方程为 . 121 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.(2026·河南省项城市第二高级中学月考)设为双曲线 的 右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于， 两点.若 ，则 的离心率为( ) A A. B. C.2 D. 122 【解析】 记.连接,，则 ，所以 ，即，即 ，即 ，所以，因此的离心率 ， 故选A. 记.依题意，是以为直径的圆的一条弦，因此垂直平分 . 又，因此是以为直径的圆的直径,且，所以 ，点 的横坐标为，纵坐标的绝对值为，于是有，所以，即 的离 心率为 ，故选A. 123 10.(2026·北京师范大学附属实验中学月考)双曲线 的左、右 焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为.已知，直线 的斜率为 ,则双曲线的方程为( ) D A. B. C. D. 124 【解析】不妨取渐近线，此时直线的方程为，与 联立并解得即 . 因为直线与渐近线垂直，所以的长度即为点到直线 （即）的距离,由点到直线的距离公式得 ,所以 . 125 因为，，且直线的斜率为,所以，化简得 ， 又，，所以,整理得 ，即 ，解得 . 所以双曲线的方程为 . 11.[多选题]已知双曲线，其上、下焦点分别为，， 为坐 标原点．过双曲线上一点作直线，分别与双曲线的渐近线交于， 两点， 且点为 中点，则下列说法正确的是( ) ACD A.若轴，则 B.若点的坐标为，则直线的斜率为 C.直线的方程为 D.若双曲线的离心率为，则 的面积为2 127 【解析】若轴，则直线过双曲线的顶点，点的坐标为 ，双曲线的渐近 线方程为，由对称性可知，，两点的横坐标为 ， ，即A正确. 若点的坐标为，代入双曲线方程，解得 ，易得双曲线渐近线方程为 ，设，，则， ，两式作差 可得，，即， 直线的斜率 ，即B 错误. 由对选项B的分析可得， 直线 的方程为 ，即 ， ， ，故C正确. 128 若双曲线的离心率为，则,即,则双曲线方程为 ， 渐近线方程为，不妨令直线与渐近线交于点 ,与渐近线 交于点,设，， （三角形面 积公式的向量坐标形式），联立方 程得可得 ， 同理可得 ， ，故D正确.故选 ． . . 12.[多选题](2026·安徽省淮北市月考)关于双曲线 ，下列说法正确的是 ( ) ACD A.该双曲线与双曲线 有相同的渐近线 B.过点作直线与双曲线交于，两点，若 ，则满足条件的直线只有 一条 C.若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 D.过点能作4条直线与双曲线 仅有一个交点 130 【解析】对于A，两个双曲线的渐近线均为 ，故选项A正确. 对于B，当直线与双曲线的右支交于，两点时，的最小值为 ，此 时线段为双曲线的通径;当直线与双曲线的左、右两支分别交于点，时， 的 最小值为，所以存在关于 轴对称的两种情况，使其弦长为5，故满足条件的 直线共有3条，故选项B错误. 对于C，双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线 的两支各有一个交 点，则直线的斜率 ，故选项C正确. 对于D，由于点在双曲线的两条渐近线的上方，过点 可作两条与渐近线 平行的直线和两条双曲线的切线，均与双曲线只有1个交点，故满足条件的直线有4 条，故选项D正确．故选 ． 131 13.已知双曲线的左、右焦点分别为， ，焦距为 ．以右顶点为圆心，半径为的圆与过的直线相切于点．设与 的交点为 ，，若 ，则双曲线 的离心率为___． 2 132 【解析】 直线过左焦点，，圆的半径为 ，直线 与圆相切， 直线与轴的夹角为 ． 不妨设的倾斜角为，则， . 连接,，， . 由解得 . 133 ，为线段的中点，设，，由 消 去，整理得，则 ， ，整理得，即 ， ，解得 . 由方法1知 . ，为线段的中点，设，，由 两式 相减整理可得，而 ， ,，代入上式整理得，结合 ， 可得，即，解得 . 135 直线过左焦点，，半径为， 直线与 轴的夹 角为 ． 不妨设的倾斜角为，则 连接,在 中， ， ； 在 中， ， . 136 ， ，整理得 ， 即， . 14.新考法 结构不良已知双曲线经过点 ．从下列几 个条件中再选出一个，解答本题. ①与椭圆有相同的焦点；②一条渐近线方程为；③离心率 . 138 （1）求双曲线 的方程； 【答案】选①. 双曲线与椭圆有相同的焦点，则 . 因为双曲线经过点，所以整理可得 ，解得 或 . 又，所以， ， 所以双曲线的方程为 . 选②. 139 因为一条渐近线方程为，所以，则 , 又双曲线经过点，所以 , 所以，，所以双曲线的方程为 . 选③. 因为离心率，所以，所以,又双曲线经过点 ，所以 ,所以， ， 所以双曲线的方程为 . （2）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为 ， 与双 曲线交于，两点，求 的面积． 【答案】易知，，直线的方程为 ． 设，，联立直线方程和双曲线方程 ，化简 得，满足，所以， ，由 弦长公式得 . 点到直线的距离 ，所以 ． 141 $