3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的几何性质 第2课时 椭圆几何性质的综合问题 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质综合应用，通过基础巩固、中档综合、拔高探究三层设计，实现从单一知识点到跨情境应用的递进，培养数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直线与椭圆位置关系（相交、相切）、弦长计算|单选/填空题，直接应用联立方程求弦长等基础方法| |中档层|中点弦、面积问题、综合应用|多选题结合分类讨论，解答题融合方程思想与几何直观| |拔高层|蒙日圆、切线性质、椭圆光学性质|创新情境题（如“天眼”光学性质），渗透数学文化与探究能力|

第2课时　椭圆几何性质的综合问题 1.直线y=x被椭圆x2+=1截得的弦长为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是 (　 ) A. B.- C.± D.± 3.椭圆+=1与直线x+2y-4=0相交所得的弦被点M平分,则点M的坐标为 (　 ) A.(2,4) B.(2,2) C.(3,1) D.(2,1) 4.加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”,如图,则椭圆C:+=1的“蒙日圆”的半径为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点的个数为 (　 ) A.0或1 B.2 C.1 D.0 6.(多选题)已知直线l:y=x+m与椭圆C:+=1,则下列结论正确的是 (　 ) A.若C与l至少有1个公共点,则m≤2 B.若C与l有且仅有2个公共点,则m<2 C.若m=3,则C上到l的距离为5的点只有1个 D.若m=-,则C上到l的距离为1的点只有3个 7.已知直线y=x+m被椭圆4x2+y2=1截得的弦长为,则实数m的值为　　　　　　.  8.[2025·安徽合肥一中高二期中] 已知点P是椭圆C:+y2=1上任意一点,则点P到直线l:x-y+2=0距离的最小值为　　　　.  9.(13分)[2025·山东临沂一中高二月考] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若△ABO的面积为(O为坐标原点),求直线l的方程. 10.(13分)[2025·江苏徐州一中高二月考] 在平面直角坐标系xOy中,A(-5,0),B(5,0),P是平面内的一个动点,且直线PA和直线PB的斜率之积为-.记点P的运动轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)若直线l与曲线C交于M,N两点,且线段MN的中点为Q,求MN. 11.已知一组斜率为1的平行直线与椭圆+=1相交,则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为 (　 ) A.y=x B.y=-2x C.y=-x D.y=2x 12.[2025·江苏泰州中学高二期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的四个顶点构成的四边形的面积为16,直线l:x-2y+6=0与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为(-2,2),则椭圆C的方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 13.(多选题)已知F为椭圆C:+=1的左焦点,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与椭圆C的另一个交点为P,则 (　 ) A.+的最小值为2 B.△ABE面积的最大值为 C.直线BE的斜率为k D.∠PAB为钝角 14.[2025·江苏镇江一中高二期中] 已知A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,点P为椭圆上异于A,B的任意一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若椭圆的离心率为,则k1·k2=　　　　.  15.[2025·江苏海安中学高二月考] 已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为+=1(a>b>0),则在椭圆上一点A(x0,y0)处的切线方程为+=1,试运用该性质解决以下问题:已知椭圆C1:+y2=1,O为坐标原点,点B为C1在第一象限内的任意一点,过B作C1的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,则△OCD面积的最小值为 (　 ) A.1 B. C. D.2 16.(15分)[2025·江苏启东中学高二质检] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A,B,且短轴长为2,T为椭圆上(除A,B外)任意一点,直线TA,TB的斜率之积为-,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点. (1)求椭圆C的方程. (2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜,它的外形像一口“大锅”,可以接收到百亿光年外的电磁信号.在“天眼”的建设中,用到了大量的圆锥曲线的光学性质,请以上面的椭圆C为代表,证明:由焦点F1发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射,反射光线必经过另一焦点F2.(提示:光线射到曲线上某点并反射时,法线垂直于该点处的切线) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　椭圆几何性质的综合问题 1.B　[解析] 由解得 或所以直线y=x与椭圆x2+=1交于点A,B,所以AB==.故选B. 2.C　[解析] 由消去y得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±,故选C. 3.D　[解析] 设直线与椭圆的两个交点为(x1,y1),(x2,y2),由得y2-2y=0 ,∴y1+y2=2,∴x1+x2=4,∴点M的坐标为(2,1) .故选D. 4.C　[解析] 由蒙日圆的定义可知,椭圆C:+=1的两条切线x=4,y=3的交点(4,3)在椭圆C的“蒙日圆”上,所以椭圆C的“蒙日圆”的半径R==5.故选C. 5.B　[解析] 因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4,则+≤+<1,所以点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆有两个交点.故选B. 6.BCD　[解析] 由消去y得4x2+6mx+3m2-6=0,则Δ=12(8-m2).对于A,令Δ=12(8-m2)≥0,解得-2≤m≤2,A错误;对于B,令Δ=12(8-m2)>0,得|m|<2,B正确;对于C,令Δ=12(8-m2)=0,解得m=±2,所以直线y=x±2与椭圆C相切,又直线y=x+3与直线y=x-2的距离d==5,因此,当m=3时,C上到l的距离为5的点只有1个,C正确;对于D,直线y=x-与直线y=x-2,直线y=x的距离均为1,因此,当m=-时,C上到l的距离为1的点只有3个,D正确.故选BCD. 7.±1　[解析] 把方程y=x+m与椭圆方程4x2+y2=1联立得,5x2+2mx+m2-1=0,设该直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1,x2是方程5x2+2mx+m2-1=0的两根,则x1+x2=-,x1x2=,所以AB=·=·=,故m=±1. 8.　[解析] 设与椭圆C相切且平行于l的直线的方程为y=x+m,m≠2,由消去y得3x2+4mx+2m2-2=0,则Δ=16m2-24(m2-1)=0,∴m=±,又两平行线间的距离d=,∴P到直线l:x-y+2=0距离的最小值为=. 9.解:(1)由题意得可得 故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)由题可知直线的斜率不为0, 设直线的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得(m2+4)y2+2my-3=0,则Δ=(2m)2-4(m2+4)×(-3)=16m2+48>0, y1+y2=-,y1y2=-, 故|y1-y2|===, 因为△ABO的面积为,所以OP·|y1-y2|=×1×==. 设t=≥,则=, 整理得(3t-1)(t-3)=0, 解得t=3或t=(舍去),则m=±. 故直线l的方程为x=±y+1,即x±y-1=0. 10.解:(1)设P(x,y),由题可得x≠±5,则kPAkPB=·=-, 整理得+=1,故曲线C的方程为+=1(x≠±5). (2)方法一:设M(x1,y1),N(x2,y2), 则两式相减得+=0,则=-, 因为线段MN的中点为Q,所以=,=-,所以=1,故直线l的方程为y-=x-,即y=x-2. 由消去y整理得6x2-20x-5=0, 则Δ=(-20)2-4×6×(-5)=520>0,x1+x2=,x1x2=-,则MN=·=. 方法二:易知直线斜率存在,设直线方程为y=kx+m, 由消去y整理得(5k2+1)x2+10kbx+5b2-25=0, 则Δ=100k2b2-4(5k2+1)(5b2-25)=500k2-20b2+100>0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=, 又x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2b=-,所以 即x1+x2=,x1x2=-,则MN=·=. 11.C　[解析] 设斜率为1的平行直线的方程为y=x+n,且斜率为1的平行直线与椭圆交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x,y),∴=1,x=,y=,∵A,B两点在椭圆+=1上,∴+=1且+=1,两式 相 减得+=0,即+=0,∴·=-,∴1×=-,即y=-x,故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为y=-x.故选C. 12.A　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式作差并化简整理得=-·,因为线段AB的中点为(-2,2),所以x1+x2=-4,y1+y2=4,所以=,由kl=,得=,又由题意得×2a×2b=2ab=16,所以b2=8,a2=16,所以椭圆C的方程为+=1.故选A. 13.BC　[解析] 对于A,设椭圆C的右焦点为F',连接AF',BF',则四边形AF'BF为平行四边形,∴AF+BF=AF+AF'=2a=4,∴+=(AF+BF)=≥,当且仅当BF=2AF时等号成立,A错误.对于B,由得x=,∴|yA-yB|=,∴△ABE的面积S=|xA||yA-yB|==≤,当且仅当k=±时等号成立,B正确.对于C,设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),E(x0,0),故直线BE的斜率kBE==·=k,C正确.对于D,设P(m,n),直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA·kPB=·=,又点P和点A均在椭圆C上,∴+=1①,+=1②,①-②整理得=-,易知kPB=kBE=k,则kPA·k=-,得kPA=-,∴kPA·kAB=·k=-1,∴∠PAB=90°,D错误.故选BC. 14.-　[解析] 由题意可得A(-a,0),B(a,0),设P(x0,y0),x0≠±a,则由P在椭圆上可得=·b2,∴k1·k2=·==-.∵椭圆的离心率为,∴==,故=,即k1·k2=-. 15.C　[解析] 设B(x1,y1)(x1>0,y1>0),由题意得,过点B的切线l的方程为+y1y=1,令y=0,可得C,令x=0,可得D,所以△OCD面积S=××=,又点B在椭圆上,所以+=1,所以S===+≥2=,当且仅当=且+=1,即x1=1,y1=时等号成立,所以△OCD面积的最小值为. 16.解:(1)由题意知,直线TA,TB的斜率存在且不为0,设T(x,y),直线TA,TB的斜率分别为k1,k2, 由题意知A(0,),B(0,-), 由k1k2=-,得·=-,整理得+=1(x≠0),故椭圆C的方程为+=1. (2)证明:当M为椭圆顶点时结论显然成立,当M不是椭圆顶点时,要证明结论成立,只需证明法线平分∠F1MF2. 设点M的坐标为(m,n)(m·n≠0),则3m2+4n2=12. 设与椭圆切于点M的切线方程为y=k(x-m)+n=kx-km+n, 由消去y得(3+4k2)x2-8k(km-n)x+4(km-n)2-12=0,则Δ=64k2(km-n)2-16[(km-n)2-3](4k2+3)=48[4k2-(km-n)2+3]=0,可得k=-. 所以切线的斜率为-,所以法线的斜率为,故法线方程为y-n=(x-m),令y=0,可得法线与x轴交点N的横坐标为, 易知F1(-1,0),F2(1,0), 所以=,F1M===2+m,F2M=2-m,所以===,又==, 所以sin∠F1MN=sin∠F2MN,则∠F1MN=∠F2MN或∠F1MN+∠F2MN=π(舍去), 所以法线MN平分∠F1MF2,所以原结论成立. 学科网（北京）股份有限公司 $