3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 高中数学椭圆的简单几何性质同步练，新授课适用，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，培养数学推理与运算能力、应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆标准方程、长轴短轴、范围|直接应用公式，如第1题化方程求长轴长，第3题确定坐标范围| |中档|离心率计算、焦点三角形性质|综合性质应用，如第5题结合定义与离心率，第9题求解椭圆方程及面积| |提升|新定义问题、实际情境应用|复杂情境分析，如第14题“倍径椭圆”离心率范围，第15题电影放映灯椭圆应用|

3.1.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 1.椭圆4x2+y2=1的长轴长为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B.2 C. D.4 2.[2025·江苏南通一中高二月考] 已知椭圆C1:+=1和椭圆C2:+=1,则下列说法正确的为 (　 ) A.C1与C2的长轴长相等 B.C1与C2的短轴长相等 C.C1与C2的焦距相等 D.C1与C2的顶点相同 3.椭圆9x2+25y2=225上的点P(x,y)的横、纵坐标的取值范围分别为 (　 ) A.|x|≤3,|y|≤5 B.|x|≤,|y|≤ C.|x|≤5,|y|≤3 D.|x|≤,|y|≤ 4.[2025·江苏盐城中学高二月考] 若椭圆C:+=1(m>0)的离心率为,则椭圆C的长轴长为 (　 ) A.6 B.或2 C.2 D.2或2 5.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,PF1=5-PF2,且椭圆过点M(0,4),则椭圆C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 6.(多选题)已知椭圆C:+=1,则 (　 ) A.椭圆C的长轴长为6 B.椭圆C的一个焦点为(3,0) C.椭圆C的短半轴长为6 D.椭圆C的离心率为 7.已知焦点在y轴上的椭圆x2+my2=1(m>0)的离心率为,则m值为　　　　.  8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作x轴的垂线,交椭圆于点P,若∠F1PF2=30°,则该椭圆的离心率是　　　　.  9.(13分)[2025·厦门高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率e=. (1)求椭圆C的方程; (2)若椭圆C的左焦点为F1,椭圆上的点A的横坐标为-1,求椭圆C的长轴长、短轴长及△AF1O(其中O为坐标原点)的面积. 10.(13分)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为C上一点,O为坐标原点. (1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率; (2)若存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围. 11.(多选题)如图所示,用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱,截面是一个椭圆.若圆柱的底面半径为2,θ=,则 (　 ) A.椭圆的长轴长等于4 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的标准方程可以是+=1 D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2 12.[2025·江苏启东中学高二月考] 已知椭圆+y2=1经过点P(m,n),则m2+n2的取值范围是 (　 ) A.(0,1] B.(0,4] C.[4,+∞) D.[1,4] 13.[2025·湖北黄冈中学高二月考] 已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是C上一点,若3PF1=2F1F2,且∠PF1F2=60°,则C的离心率为 (　 ) A. B.2- C.-2 D.3-2 14.[2025·江苏宿迁中学高二月考] 若椭圆上存在点P,使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1,则称该椭圆为“倍径椭圆”,则“倍径椭圆”的离心率e的取值范围是　　　　.  15.[2025·江苏南京一中高二月考] 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,卡门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知此椭圆的离心率为,且F1F2=5 cm,则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为 (　 ) A.9 cm B.10 cm C.14 cm D.18 cm 16.(15分)[2025·江苏淮阴中学高二月考] 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成,如图所示,在平面直角坐标系xOy中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合,且直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B. (1)求半椭圆所在椭圆的离心率; (2)求线段AB长度的取值范围; (3)求△ABF面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 1.B　[解析] 由4x2+y2=1,得+y2=1,所以a2=1,所以a=1,所以该椭圆的长轴长为2. 2.C　[解析] 对于椭圆C1:+=1,有=12,=4,=12-4=8,∴a1=2,b1=2,c1=2,∴长轴长为4,短轴长为4,焦距为4.对于椭圆C2:+=1,有=16,=8,=16-8=8,∴a2=4,b2=2,c2=2,∴长轴长为8,短轴长为4,焦距为4.∴椭圆C1:+=1和椭圆C2:+=1的长轴长和短轴长均不相等,顶点不相同,焦距相等.故选C. 3.C　[解析] 由9x2+25y2=225,得+=1,则a=5,b=3,因为点P(x,y)在椭圆上,所以|x|≤5,|y|≤3.故选C. 4.D　[解析] 当焦点在y轴上时,由e==,解得m=,符合题意,此时椭圆C的长轴长为2;当焦点在x轴上时,由e==,解得m=6,符合题意,此时椭圆C的长轴长为2=2.故选D. 5.C　[解析] 因为点P在C上,且PF1=5-PF2,所以PF1+PF2=10=2a,所以a=5,又椭圆过点M(0,4),所以b=4,所以椭圆的离心率e====,故选C. 6.AD　[解析] 由题可知,a=3,b=3,c=3,且椭圆C的焦点在y轴上,所以椭圆C的长轴长为6,焦点坐标为(0,±3),短半轴长为3,离心率e==.故选AD. 7.　[解析] 由x2+my2=1,可得x2+=1,故椭圆的离心率为=,解得m=. 8.2-　[解析] 由题意可知PF1=2F1F2=4c,PF2=F1F2=2c,因为PF1+PF2=2a,所以4c+2c=2a,可得==2-,所以该椭圆的离心率e==2-. 9.解:(1)由题意得2c=2,=,所以c=1,a=2,故b2=a2-c2=4-1=3, 故椭圆C的方程为+=1. (2)椭圆C的长轴长为2a=4,短轴长为2b=2. 由题意得F1(-1,0),将x=-1代入+=1,得y=±, 不妨设A,显然AF1⊥x轴,故=OF1·AF1=×1×=. 10.解:(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知,在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,PF2=c,PF1=c, 于是2a=PF1+PF2=c+c,故椭圆C的离心率e===-1. (2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,则|y|·2c=16,·=-1,+=1, 即c|y|=16①,x2+y2=c2②, +=1③. 由②③及a2=b2+c2得y2=, 又由①知y2=,所以b=4. 由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32, 故a≥4,所以当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P. 11.BCD　[解析] 设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,由题意知椭圆长轴在圆柱底面上的射影为圆柱底面的直径,则2a===8,解得a=4,故A不正确;显然b=2,则c==2,离心率e==,故B正确;当以椭圆长轴所在直线为y轴,短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时,椭圆的标准方程为+=1,故C正确;椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为a-c=4-2,故D正确.故选BCD. 12.D　[解析] 因为椭圆+y2=1经过点P(m,n),所以+n2=1,所以n2=1-,则m2+n2=m2+1-=+1.因为椭圆+y2=1经过点P(m,n),所以-2≤m≤2,则0≤m2≤4,所以1≤+1≤4,即m2+n2的取值范围是[1,4].故选D. 13.C　[解析] 在△PF2F1中,∠PF1F2=60°,设F1(-c,0),由题意知PF1=,F1F2=2c,由余弦定理得P=4c2+c2-2×2c×c×=c2,所以PF2=c.由椭圆定义知2a=PF1+PF2=c,即a=c,则离心率e==-2.故选C. 14.≤e<1　[解析] 由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m,m,所以2m+m=2a,解得m=a,又m≥a-c,所以a≥a-c,可得c≥a,故≤e<1. 15.A　[解析] 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为此椭圆的离心率为,且F1F2=5 cm,所以e==,2c=5,所以a=,c=,根据题意,结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为2a=9 cm.故选A. 16.解:(1)由题意得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0),设半椭圆的方程为+=1(a>b>0,x≥0), 因为b=c=3,所以a=3,则半椭圆的方程为+=1(x≥0),则半椭圆所在椭圆的离心率e==. (2)因为直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,所以线段AB长度的取值范围是(0,3+3). (3)不妨设A(x1,t),B(x2,t),则由+t2=9(x1≤0),可得x1=-; 由+=1(x2≥0), 可得x2=. 则S△ABF=(+)t=·t≤×=. 学科网（北京）股份有限公司 $