第3章 3.1.2 椭圆的几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦椭圆的几何性质这一核心知识点，承接椭圆定义与标准方程，系统梳理范围、对称性、顶点、轴长、焦点、离心率等性质，为后续椭圆方程求解及圆锥曲线综合应用提供学习支架。 该资料以维也纳金色大厅声学设计为导语，引导学生用数学眼光观察现实，通过问题链探究离心率与椭圆扁圆程度关系，培养数学思维。例题分类讨论焦点位置，强化逻辑推理，课中助力教师引导学生主动探究，课后练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

3.1.2　椭圆的几何性质 学习目标　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.能利用椭圆的简单性质求椭圆的方程.3.会求椭圆的离心率. 导语 奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处.当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有).所以能产生很好的听觉效果.其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？ 一、椭圆的几何性质 问题1　观察椭圆＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b). 知识梳理　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长B1B2＝2b，长轴长A1A2＝2a，短半轴长等于b，长半轴长等于a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 F1F2＝2c 问题2　椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？ 提示　离心率e＝，假设a固定，当e→0时，c→0，因为a2＝c2＋b2，则b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆.当e→1时，c→a，则b→0，所以离心率越大，椭圆就越扁.可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆. 问题3　已知的值能求出离心率吗？ 提示　可以.e＝. 知识梳理 1.定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为e. 2.性质：离心率e的范围是(0，1).当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. (4)离心率也可以表示为e＝. 例1　(课本例1)求椭圆＝1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆. 解　根据椭圆的方程＝1，得a＝5，b＝3，c＝＝4， 所以椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝，焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，顶点为A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3). 将方程变形为y＝±，根据y＝算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)： x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图). 例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 解　椭圆方程可化为＝1. ①当0<m<4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，). ②当m>4时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0). 反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 跟踪训练1　(多选)已知椭圆C的两个焦点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，离心率为e，则(　　) A.e越接近于0，则C就越接近于圆 B.e越接近于1，则C就越接近于圆 C.若C经过点，则C的长轴长为2 D.若e＝，则C的长半轴长为8 答案　AC 解析　由椭圆的性质可知，e越接近于0，椭圆就越接近于圆；e越接近于1，椭圆就越扁平，故A正确，B错误； 若C经过点，则由椭圆的定义可知C的长轴长2a＝＝2，故C正确； 由已知得，c＝2，则a＝4，长半轴长为4，故D错误. 二、利用几何性质求椭圆的标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝； (2)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率. 解　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝， ∴c＝， ∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为＝1. ∴所求椭圆的方程为＝1或＝1. (2)方法一　由题意知e2＝1－， 所以，即a2＝2b2， 设所求椭圆的方程为＝1或＝1. 将点M(1，2)代入椭圆方程得 ＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3. 故所求椭圆的方程为＝1或＝1. 方法二　设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)， 将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝， 故或， 即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1. 反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等. (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个. 跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解　(1)设椭圆的标准方程为 ＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0). 由已知得2a＝10，a＝5，e＝，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为＝1或＝1. (2)依题意可设椭圆的标准方程为 ＝1(a>b>0). 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)， 且OF＝c，A1A2＝2b，2c＝6， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为＝1. 三、求椭圆的离心率 例3　设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为　　　　.  答案　 解析　方法一　由题意可设PF2＝m，结合条件可知PF1＝2m，F1F2＝m，故离心率e＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程解得y＝±， 所以PF2＝.又由∠PF1F2＝30°可得F1F2＝PF2，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e， 解得e＝或e＝－(舍去). 延伸探究1　若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率. 解　在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设PF1＝m，PF2＝n， F1F2＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有， ∴， ∴e＝. 延伸探究2　若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围. 解　由题意知c>b，∴c2>b2. 又b2＝a2－c2， ∴c2>a2－c2，即2c2>a2，∴e2＝>， ∴e>，又0<e<1， ∴椭圆C的离心率的取值范围为. 反思感悟　求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围. 1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质. (2)由椭圆的几何性质求标准方程. (3)求椭圆的离心率. 2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法). 3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围及长轴长与a的关系. 1.(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 答案　CD 解析　由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，b＝，c＝， 所以长轴长2a＝1，焦距2c＝，焦点坐标为，离心率e＝. 2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A.＝1 B.＋y2＝1 C.＝1 D.x2＋＝1 答案　A 解析　依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝，故所求椭圆的标准方程是＝1. 3.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　由题意知c＝3，， 则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27， ∴椭圆的方程为＝1. 4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为　　　　.  答案　 解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点. 依题意可知，△BF1F2是正三角形. ∵在Rt△OBF2中，OF2＝c， BF2＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝，即椭圆的离心率e＝. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)为使椭圆＝1的离心率为，正数m的值可以是(　　) A.1 B. C. D. 答案　CD 解析　当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m， 所以c2＝a2－b2＝2－m， 所以e2＝， 解得m＝，符合题意； 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2， 所以c2＝a2－b2＝m－2， 所以e2＝，解得m＝，符合题意. 故正数m的值可以是或. 2.已知F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，A为上顶点，则△AF1F2的面积为(　　) A.6 B.15 C.6 D.3 答案　D 解析　由椭圆方程＝1得 A(0，3)，F1(－，0)，F2(，0)， ∴F1F2＝2. ∴F1F2·yA＝×2×3＝3. 3.(2023·新高考全国Ⅰ)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由e2＝e1，得＝3， 因此＝3×，而a>1， 所以a＝. 4.(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是(　　) A.椭圆C的长轴长为10 B.椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0，3) C.椭圆C的离心率等于 D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ＝ 答案　ACD 解析　由题意知椭圆的标准方程为＝1，则a＝5，b＝4，∴c＝3.长轴长为2a＝10，A正确； 两焦点为(3，0)，(－3，0)，B错误； 离心率为e＝，C正确； 将x＝3或x＝－3代入椭圆方程得 16×32＋25y2＝400， 解得y＝±，∴PQ＝，D正确. 5.设F1，F2是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒PF2＝F2F1⇒2＝2c⇒e＝. 6.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　) A.a－c＝m＋R B.a＋c＝n＋R C.2a＝m＋n D.b＝ 答案　ABD 解析　∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得 ∴(*).故A，B正确； 由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确； 由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2. ∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)， ∴b＝，故D正确. 7.(5分)若椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　由△F1F2M的周长为16， 得2a＋2c＝16， ① 由离心率为，得， ② 又a2＝b2＋c2， ③ 由①②③解得a＝5，b＝4. ∴椭圆C的方程为＝1. 8.(5分)已知椭圆＝1(a>b>0)，P为椭圆上一动点(不含左、右端点)，左、右端点分别为A，B，kAP·kBP≤－，则离心率e的取值范围为　　　　　　　　.  答案　 解析　设P(x0，y0)，x0≠±a，A(－a，0)，B(a，0)，∵点P在椭圆上，∴＝1，∴(a2－). kAP·kBP＝×＝－， 由题意可知，－≤－，即≥，得≤，则e＝∈. 9.(10分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点A(－2，0)且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4，求椭圆C的标准方程和离心率. 解　由题意可得a＝2，×2c×2b＝4， 即bc＝2， 又c2＝a2－b2， 解得b＝c＝， 所以椭圆C的标准方程为＝1，离心率e＝. 10.(10分)如图，已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(4分) (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程.(6分) 解　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有OA＝OF2，即b＝c. 所以a＝c，e＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＝1， 得＝1，即＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＝1. 11.(多选)F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　BD 解析　当焦点在x轴上时， cos∠OFA＝. 因为2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.所以椭圆方程为＝1， 同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为＝1. 12.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为＝6(厘米)，短轴长为6厘米， ∴椭圆的离心率e＝， ∴e的取值范围是. 13.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　C 解析　因为△ABF2的周长为8， 所以AB＋AF2＋BF2＝8，所以AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝8，即(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝8， 由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，所以2a＋2a＝8，解得a＝2， 由题意可得abπ＝2π，解得b＝， 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以C的标准方程为＝1. 14.(5分)如图，把椭圆＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F的值为　　　　. 答案　28 解析　设椭圆的另一个焦点为F'， 由椭圆的几何性质可知P1F＝P7F'， ∴P1F＋P7F＝P7F'＋P7F＝2a， 同理可得P2F＋P6F＝P3F＋P5F＝2P4F＝2a，又a＝4， 故P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F＝7a＝28. 15.阿基米德是古希腊著名的物理学家和数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的面积为6π，点P在椭圆C上，且P与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为－.记椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，则△PF1F2的面积可能为　　　　　　.(写出满足条件的一个值)  答案　2(答案不唯一，在(0，2)内的任何数都可以) 解析　由椭圆C：＝1(a>b>0)的面积为6π，得πab＝6π，解得ab＝6， ① 设点P(x0，y0)，显然x0≠0， 由＝1，得－b2＝－， 椭圆C的上、下顶点坐标分别为(0，b)，(0，－b)， 则·＝－＝－， 即， ② 联立①②，解得a＝3，b＝2，半焦距c＝， △PF1F2的面积×2c×|y0|＝|y0|， 而y0∈(－2，2)且y0≠0， 因此∈(0，2)， 所以△PF1F2的面积可能为2. 16.(11分)若一个椭圆的焦距为素数(素数又叫质数，即大于1，只能被1和本身整除的自然数)，且离心率的倒数也为素数，则称这样的椭圆为“朴素椭圆”. (1)证明：椭圆＝1为“朴素椭圆”；(5分) (2)是否存在实数m，使得椭圆＝1(0<m<36)为“朴素椭圆”？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.(6分) (1)证明　由已知椭圆＝1，即＝1，则a＝，b＝3， 则c＝， 所以焦距2c＝3，离心率e＝，则＝5， 所以该椭圆的焦距为素数，离心率的倒数也为素数，该椭圆为“朴素椭圆”. (2)解　椭圆＝1(0<m<36)的焦距为2， 离心率e＝， 若存在实数m，使得椭圆＝1(0<m<36)为“朴素椭圆”， 则2，均为素数， 又0<2<12，所以2＝2，3，5，7，11， 即＝1，，，，， 则＝6，4，，，，这些数都不是素数， 所以不存在实数m，使得椭圆＝1(0<m<36)为“朴素椭圆”. 学科网（北京）股份有限公司 $