3.1.1 椭圆的标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆的位置关系，通过图解课标要点梳理知识基础，结合基础、中档、拔高三级训练，以思维导图为支架，帮助学生从定义理解到方程应用再到综合问题解决逐步递进。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过“定义双向运用”“焦点三角形分类讨论”等例题培养逻辑推理，利用“设而不求”思想解决弦长问题渗透数学思维，配套高考真题及变式题强化应用意识。包含152张PPT、思维导图及培优练习，助力教师一体化教学，学生可提升解题能力与学科素养。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第三章 圆锥曲线与方程 本节学习椭圆的定义与标准方程，区分焦点在x轴、y轴的两种形式，能根据条件求解椭圆方程，体会数形结合的解析几何思想。 3.1.1 椭圆的标准方程 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括152张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 返回目录 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 椭圆的定义 椭圆 平面内到两个定点,的距离之和等于常数大于 的点的轨迹叫作椭圆 焦点 两个定点, 叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距（也就是 的长） 集合 描述 设是椭圆上的任意一点，则椭圆可看作点集 , 教材帮 返回目录 4 知识剖析 对定义中限制条件“常数<m></m>大于<m></m>”的理解 条件 结论 动点的轨迹是椭圆 动点的轨迹是线段 动点不存在，因此轨迹不存在 教材帮 返回目录 5 定义的双向运用 1.判定点的轨迹为椭圆（三步法：1.求定点之间的距离（焦距）；2.求动点与两 定点的距离之和（常数）;3.判断常数与焦距的大小，常数大于焦距即为椭圆）:符合 定义中条件的动点的轨迹为椭圆. 2.作为性质运用:椭圆上所有的点一定满足定义的条件（即到两焦点的距离之和 为常数）. . . 教材帮 返回目录 6 学思用·典例详解 例1-1 [多选题] 下列命题是真命题的是( ) BD A.已知，，则满足的点 的轨迹为椭圆 B.已知，，则满足的点 的轨迹为线段 C.到， 距离相等的点的轨迹是椭圆 D.若点到，的距离和等于点到，的距离之和，则点 的 轨迹为椭圆 【解析】对于A,因为，所以点 的轨迹不存在. 对于B，因为，所以点的轨迹是线段 . 对于C，到，距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线轴 . 对于D，因为点到，的距离之和为，且,所以点 的轨迹为 椭圆. 教材帮 返回目录 7 知识点2 椭圆的标准方程 标准方程 图形 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 焦点坐标 , , 教材帮 返回目录 8 焦距 相同点 大小、形状都相同，焦距 ,椭圆上任意一点到两焦点距离之和等 于，都有,,,,的关系都满足 . 不同点 标准方程中和 的位置相反，且图形中焦点位置不同 续表 教材帮 返回目录 9 知识剖析 椭圆标准方程中“标准”的含义 椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状态下”的方程，即:①两个焦点， 在坐 标轴上;②线段 的中点是坐标原点.只有同时满足这两个条件时才是标准方程. 如何判断焦点在哪条坐标轴上？ 在椭圆的标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在相应的那条轴上；反过来， 焦点在哪条轴上，相应的那个项的分母就大.简记为“焦点位置看大小，焦点随着大 的跑”.#1.1.4 教材帮 返回目录 10 学思用·典例详解 例2-2 椭圆 的焦距是_____，焦点坐标是_________________. ， 【解析】由知，椭圆的焦点在 轴（首先应判断焦点位置）上，且 , ，所 以，解得，所以焦距，焦点坐标是 和 . . . 教材帮 返回目录 11 例2-3 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点 ，则该 椭圆的标准方程是( ) B A. B. C. D. 【解析】 椭圆的焦点在 轴上， 可设它的标准方程为 ． 椭圆经过点 ， ， 又 ， ， 所求椭圆的标准方程为 ． 教材帮 返回目录 12 知识点3 椭圆方程的其他形式 1 椭圆两种标准方程的统一形式 椭圆标准方程的两种形式可以写成统一的形式：（, , ）.（方程表示椭圆的充要条件） 方程可变形为 ， 当，即时，表示焦点在 轴上的椭圆； 当，即时，表示焦点在 轴上的椭圆. . . . . 教材帮 返回目录 13 2 椭圆的一般方程 当时，方程可以变形为 ,由此可得方程 表示椭圆的充要条件是：，且,,同号， . 此时称方程时，方程为标准方程的统一形式 为椭圆的一 般方程. . . 教材帮 返回目录 14 3 共焦点的椭圆系方程 与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为 （保证分母相减的差不变） ； 与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为 . . . . . 教材帮 返回目录 15 学思用·典例详解 例3-4 (2026·河北省承德市双滦区实验中学期中)如果表示焦点在 轴上 的椭圆，那么实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 转化为椭圆的标准方程（先化为标准方程，再判断焦点位 置），得，因为焦点在轴上，所以，解得.所以实数 的 取值范围是 . . . 教材帮 返回目录 16 例3-5 ［教材改编P86 T4（1）］ 求与椭圆有相同焦点，且过点 的椭圆方程. 【解析】由题意可设椭圆的方程为 . 又所求椭圆过点，所以将代入椭圆方程，得 ,解得 舍去 . 故所求的椭圆方程为 . 教材帮 返回目录 17 知识点4 直线与椭圆的位置关系 1 直线与椭圆的三种位置关系 对教材第86页【练习】第7题的深挖. 位置关系 相离 相切 相交 图示 交点个数 0 1 2 教材帮 返回目录 18 特别提醒 点与椭圆的位置关系 对于点 与椭圆的位置关系，有如下结论： （1）在椭圆上 ; （2）在椭圆外部 ; （3）在椭圆内部 .#1.3.4 教材帮 返回目录 19 2 利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为 ,联立方程得 根据方程组解的情况，便可确定直线与椭圆的位置关系.通常消去方程组中的一 个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程.一般地， 直线与椭圆相交 直线与椭圆有两个公共点； 直线与椭圆相切 直线与椭圆有且只有一个公共点； 直线与椭圆相离 直线与椭圆无公共点. 教材帮 返回目录 20 3 弦长问题 注意 POINT 此处体现了设而不求思想，当然也可以通过求出交点坐标，利用弦长公式求解. 设直线交椭圆于点, 两点， 则 . 教材帮 返回目录 21 学思用·典例详解 例4-6 求直线与椭圆 的位置关系是( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 教材帮 返回目录 22 【解析】 （通解） 联立直线与椭圆的方程得 消去得 ， ， 所以直线与椭圆相交. （优解） 直线过点 ， 而 ， 即点 在椭圆内部， 所以可推断直线与椭圆相交. 教材帮 返回目录 23 例4-7 ［教材改编P86习题3.1（1）T7］ 直线与椭圆相交于 ， 两点，则 ___. 【解析】设,，将代入 整理得 ， . 由根与系数的关系知， ， 所以 . 教材帮 返回目录 24 点评 也可将代入椭圆方程，得到关于的关系式，利用关于 的弦长公式 求解. 教材帮 返回目录 25 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求椭圆标准方程 1 待定系数法 例8 [教材改编P85 T4] 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为,,并且椭圆上一点 与两焦点的距离的和 等于10； 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以可设椭圆标准方程为,且 , ,所以,,所以椭圆的标准方程为 . 方法帮 返回目录 26 （2）焦点坐标分别为,，经过点 ; 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为 . 由椭圆的定义知 , 解得 . 又,所以 . 所以椭圆的标准方程为 . . . 方法帮 返回目录 27 因为所求椭圆过点 ， 所以 . 又，可解得, , 所以椭圆的标准方程为 . 方法帮 返回目录 28 （3）经过两点, ; 【解析】 若焦点在 轴上（当椭圆的焦点位置不确定时，应注意分类讨论）， 设椭圆的标准方程为 . 由已知条件得解方程组时不必去分母，直接求,，然后得， 解得 所以所求椭圆的标准方程为 . . . . . 方法帮 返回目录 29 若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为 . 由已知条件得解得 则，与 矛盾,舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为 . . . 方法帮 返回目录 设椭圆的一般方程为（可避免分类讨论） , ，.分别将两点的坐标, 代入椭圆的一般方程， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为 . . . 方法帮 返回目录 31 （4）过点且与椭圆 有相同的焦点. 【解析】由得，所以，则椭圆的焦点为 . 所求椭圆的方程为,将点代入得,结合 , 可得,,故所求椭圆的标准方程为 . 设所求椭圆的方程为（ ）,（注意不要漏掉参数的取值 范围） 将点代入，解得舍去 . 故所求椭圆的标准方程为 . . . 方法帮 返回目录 32 名师点评 设出椭圆的一般方程（含参）后，若求出的参数值只有一种情况，可直接 写出椭圆的标准方程，避免了因焦点位置不确定而对方程形式进行的分类讨论；若 求出的参数值有两组，则符合条件的椭圆的标准方程有两个. 方法帮 返回目录 33 利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 注意：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在轴上和在 轴上两种情况讨论，也 可直接设椭圆的方程为 再进行求解. 方法帮 返回目录 34 【学会了吗丨变式题】 1.求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距是8，且经过点 ； 方法帮 返回目录 35 【答案】由焦距是8，可得，且焦点坐标为， . 由椭圆的定义知， ，所以 . 又，所以 . 故所求椭圆的标准方程为 . 设所求椭圆的标准方程为 ， 将点代入可得 ， 又，所以， . 故所求椭圆的标准方程为 . 方法帮 返回目录 36 （2） ，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26. 【答案】由题意知，，即 . 又，所以，所以 . 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为或 . 方法帮 返回目录 37 2 转代法（相关点法、代入法） 例9 ［教材改编P87 T12］ 若将曲线 上的点的横坐标变为原来的2倍， 纵坐标变为原来的，得到曲线，则曲线 的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】设曲线上的点为，曲线上的点为，则 得 代入曲线得 ， 即曲线的方程是 . 方法帮 返回目录 38 用转代法（相关点法、代入法）求轨迹方程的思路 如果动点随着另一个在已知曲线上运动的点 而动或所求曲线是由已知曲线进行伸 缩变换而成,则用点坐标表示点的坐标,即由于 点在已知 曲线上,因而它满足已知曲线方程，将代入已知曲线方程,得到关于, 的方程，即为所求的曲线方程,其过程如下： 已知方程 所求方程. 方法帮 返回目录 39 【学会了吗丨变式题】 2.椭圆上有动点,点,分别是椭圆的左、右焦点,求的重心 的 轨迹方程. 方法帮 返回目录 40 【答案】设点,的坐标分别为, , 在已知的椭圆方程中,, , , 则椭圆的两焦点为, . 存在, . 由三角形重心坐标公式有（点为的重心，以此建立点与点 的坐标的联 系） 即 . . 方法帮 返回目录 41 , . 点在椭圆上, , ,即所求的重心的轨迹方程为 .（注意将轨迹方程取不到的情况排除） . . 方法帮 返回目录 题型2 椭圆标准方程的应用 例10 ［教材改编P86 T8］ 已知方程 . （1）若上述方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数 的取值范围； 【解析】依题意，有解得 . （2）若上述方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数 的取值范围； 【解析】依题意，有解得 . 方法帮 返回目录 43 （3）若上述方程表示椭圆，求实数 的取值范围. 【解析】依题意，有 （若忽略这一不等式就会得到错解，事实上 当时，方程表示的是圆，而不是椭圆）解得,且 ， 故实数的取值范围是 . . . 方法帮 返回目录 44 思路点拨 利用椭圆的标准方程的结构特点（方程右端为1，方程左端的, 的分 母均大于0，且谁的分母大，焦点就在谁所对应的坐标轴上）建立关于 的不等式组， 解不等式组即可得解. 名师点评 方程,为常数不一定表示椭圆，只有在, 且 时才表示椭圆. 方法帮 返回目录 45 例11 (2026·黑龙江省哈尔滨市期末)若椭圆的一个焦点为,则 的值为_________. 或 【解析】椭圆方程可化为 . 因为椭圆的一个焦点在 轴上, 所以由条件知,,即 即的值为或 . . . . . 方法帮 返回目录 46 【学会了吗丨变式题】 3.(2026·北京市日坛中学测试)若方程 表示焦点在坐标 轴上的椭圆，则 的取值范围是_ _____________. 方法帮 返回目录 47 【解析】 将椭圆方程化为标准形式，即 ， 则（表示焦点在 轴上） 或（表示焦点在 轴上） 解得或 ， 所以的取值范围为 . 方法帮 返回目录 48 由 （方程表示椭圆的充要条件） 解得或 ， 所以的取值范围为 . 方法帮 返回目录 49 4.已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数 的值为______ ____. 4或 【解析】， . 当椭圆的焦点在 轴上时， 由椭圆的标准方程知， . 由，得，，又，故 . 当椭圆的焦点在轴上时，（本题易错之处是想当然地认为焦点在 轴上，从而漏掉 焦点在 轴上时的解） 由椭圆的标准方程知, . 由，得 ， 又，故 . 综上可知，实数的值为4或 . . . 方法帮 返回目录 50 题型3 椭圆中的焦点三角形问题 母题 致经典·母题探究 图3.1.1-1 母题探源 设和是椭圆的两个焦点, 为椭圆上的任意一点, 当,,三点不在同一条直线上时,点,, 构成一个三角形,我 们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形,如图3.1.1-1所示. 解决焦点三角形问题的关键是充分利用椭圆的定义 ，正、余弦定理以及三角形的面积公式等来分 析解决问题. 教材深挖 POINT 焦点三角形问题是对教材第86页【习题3.1（1）】第6题的深挖. 方法帮 返回目录 51 例12 设,为椭圆的两个焦点，为椭圆上任一点，已知 是一个 直角三角形，且,则 的值为______. 或2 方法帮 返回目录 52 【解析】因为椭圆方程为,所以,, . 所以, . 由题意知，,所以 不可能为直角.（对直角位置进行判断、讨论） 若为直角，则 , 即,解得 . 所以，所以 . 若为直角，则 , 即 , 解得或 （舍去）. 所以，所以 . 综上可知，的值为 或2. . . . . . . 方法帮 返回目录 53 名师点评 在什么情况下焦点三角形中点为直角顶点呢？不妨设 , ， ,下面我们进行研究. 在中运用余弦定理，则有，由于 ,且 ,所以 ，即 即，注意到 ，当 且仅当时,即为短轴（下节将学习）端点时,取得等号，此时 取得最大值， 这也就说明要使 ，则需要 . 本题中,，满足，因此直角顶点可以是，也可以是 ，所以需 要分类讨论. . . 方法帮 返回目录 54 子题 (2026·河北省石家庄实验中学调研)是椭圆上一点，， 分别是椭圆的 左、右焦点，若，则 的大小为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为， ，所以 . 又，所以 . 方法帮 返回目录 55 例13 已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆 上, . （1）求的面积 ; 方法帮 返回目录 56 【解析】如图3.1.1-2所示,由椭圆的定义,可得 . 图3.1.1-2 由余弦定理,可得 , . . 方法帮 返回目录 57 （2）研究的内角 的变化规律. 【解析】 为的内角，,即 . 令点由点向点运动，则的边不变，但上的高在逐渐增大，故 逐渐变大，从而 逐渐变大，由可知， 也逐渐变大. 由此可见，点的纵坐标的绝对值越大， 也越大，当点与点重合时， 达到最大值. 方法帮 返回目录 58 （1） 给什么 得什么 题目给出椭圆方程和 ，则可得 . 求什么 想什么 要求的面积，则由三角形面积公式 来 计算. 差什么 找什么 要求,那么就需要知道的值，则需要找到和 的关系， 可由余弦定理和椭圆的定义得出. （2）由 的范围和三角函数的单调性即可探究 的变化规律. 方法帮 返回目录 59 与椭圆焦点三角形有关的常用公式 （1）焦点三角形的周长 . （2）在焦点三角形 中，由余弦定理可得 . （3）设椭圆上任一点 ，焦点三角形的面积 . 方法帮 返回目录 60 【学会了吗丨变式题】 5.椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的一点， ，则 的面积为( ) C A.1 B. C. D.2 方法帮 返回目录 61 【解析】 由椭圆，知， ， 由余弦定理可得 , 得 ， 的面积 ． 为焦点三角形， 故其面积 . 方法帮 返回目录 62 题型4 与椭圆有关的最值问题 母题 致经典·母题探究 例14 已知椭圆内有一点，,分别为椭圆的左、右焦点， 为 椭圆 上的一点，求： 方法帮 返回目录 63 （1） 的最大值与最小值; 图3.1.1-3 【解析】由椭圆方程知,, . 如图3.1.1-3，连接并延长交椭圆于点 ,（三点一线，结 合图形判断取最值时的点的位置）则是使 取得最 大值的点，于是 . ，则求 的最小值，即求 的最大值，延长交椭圆于点,则是使 取得最大值的点，即 取得最小值的点，于是 . . . 方法帮 返回目录 64 （2） 的最大值与最小值. 【解析】连接,由椭圆定义知,则 ,所以 ,如图3.1.1-3，连接 并延长交椭 圆于点,则是使 取得最大值的点， 于是 . ,延长交椭圆于点，则是使 取得最大 值的点，即取得最小值的点，于是 . 方法帮 返回目录 65 子题 若将点的坐标变为 ,结果如何？ 【解析】（1）当点的坐标为时，点在椭圆外，（将 的坐标代入椭圆方 程，，所以点 在椭圆外） . . 方法帮 返回目录 66 图3.1.1-4 如图3.1.1-4所示，连接并延长交椭圆于点 , 则点是使 取得最大值的点， 即 . 由于,连接 交椭圆于点,则点是使 取得最小值的点，即 （2）连接交椭圆于点，则点是使 取得最小值的点，即 . 又,连接并延长交椭圆于点 , 则点是使 取得最大值的点， 即取得最大值的点，于是 . 取得最小值的点，于是 . 方法帮 返回目录 67 名师点评 设椭圆方程为,,分别为椭圆的左、右焦点， 为 椭圆上任意一点. 若 为椭圆内一定点，则 ; . 若 为椭圆外一定点，则 ; . 方法帮 返回目录 68 解决椭圆最值问题的常见思路 1.与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利 用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件. 2.与,为椭圆上一点，,为椭圆的焦点 的和、差有关的最值问题，一般 利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解. 3.若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求 函数最值. 方法帮 返回目录 69 【学会了吗丨变式题】 6.(2026·河北省石家庄外国语学校月考)已知为椭圆上一点，， 分别 是圆和上的点，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 方法帮 返回目录 70 图D 3.1.1-1 【解析】椭圆中,,则 ，所以左焦 点为，右焦点为，圆 的 圆心为左焦点，半径为，圆 的圆 心为右焦点,半径为 ,如图D 3.1.1-1，由图可知 ,, , , 由椭圆的定义可得 ， 所以 ，从 而所求取值范围为 . 方法帮 返回目录 71 题型5 直线与椭圆的位置关系的应用 1 直线与椭圆的位置关系的判断 例15 已知直线，椭圆.试求当取何值时，直线 与椭圆 （1）有两个公共点； 【解析】当，即 时，方程①有两个不相等的实数根.这时直线 与椭圆 有两个公共点. （2）有且只有一个公共点； 【解析】当,即时，方程①有两个相等的实数根.这时直线与椭圆 有 且只有一个公共点. 方法帮 返回目录 72 （3）没有公共点. 【解析】当，即或时，方程①没有实数根.这时直线 与椭圆 没有公共点. 方法帮 返回目录 73 【解析】直线的方程与椭圆的方程联立，得方程组消去 ,（此时消去 或者消去 都可以，并不影响最终计算的结果） 得 . 方程①的根的判别式 . . . 方法帮 返回目录 74 直线与椭圆的位置关系的判断 判断直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成 的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想的运用. 方法帮 返回目录 75 2 利用直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围 例16 若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则实数 的取 值范围为______. 【解析】因为直线过定点 ， 所以要使直线与该椭圆总有公共点，则点 必在椭圆内或椭圆上， 由此得解得 . 方法帮 返回目录 76 3 弦长问题 母题 致经典·母题探究 母题探源 “设而不求”思想的妙用 所谓“设而不求”，就是根据需要将有关量（如点的坐标、直线的斜率或截距、椭圆 方程中的和 等）用字母参数“设”出来，但解题时，不需要求出所有的参数，只要 最终求出题目所需要的参数即可. 方法帮 返回目录 77 例17 (2026·天津市第三中学检测)已知斜率为2的直线经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆相交于，两点，则弦 的长为_ ___. 思路点拨 可先求出， 两点的坐标，再利用两点间的距离公式求解；也可以利用 弦长公式求解. 【解析】 直线过椭圆的右焦点,且斜率为2， 直线 的方程 为,即 . 由方程组得交点，，或, . . 方法帮 返回目录 78 设点, , 由方程组 消去得，则, . . 方法帮 返回目录 79 由方程组 消去得,设点,,则, . . 方法帮 返回目录 80 名师点评 本题中方法2、方法3虽设出, 两点坐标，但却未求其具体值，而是应用 了“整体思想”求出了,或, 的值，充分体现了“设而不求”的魅力. 方法帮 返回目录 81 子题 设,分别是椭圆的左、右焦点，过点 且斜率为1的直线 与相交于,两点，且 . 方法帮 返回目录 82 （1）求证 ； 【解析】由椭圆的定义知，又 ，则可得 .易知直线的方程为，其中 . 设点，，则，两点的坐标满足方程组消去 ，化简 得，则， . 因为直线的斜率为1，所以 ， 即,故 . 方法帮 返回目录 83 （2）设点满足，求 的方程. 【解析】设线段的中点为，由（1）知 ， . 由，得，即，把,代入，得 ，从而 , . 故椭圆的方程为 . 方法帮 返回目录 84 （1） 方法帮 返回目录 85 （2） 方法帮 返回目录 86 求弦长的两种方法 （1）求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； （2）结合根与系数的关系， 利用弦长公式 或 求解. 方法帮 返回目录 87 4 中点弦问题（点差法的应用） 母题 致经典·母题探究 母题探源 椭圆中有一个与圆类似的性质——垂径定理，这在解决有关椭圆中点弦 问题中有着广泛的应用. 事实上，对于与椭圆有关的问题，我们可以将椭圆方程设为 ，然后将点, 代入椭圆方程得 将两式作差并整理得，记弦 的中点 为 . 方法帮 返回目录 88 若，则 ， 即，从而，即 .这是有关椭圆垂径定理 的表达式.由此可见， 的值与椭圆的焦点位置无关. . . 方法帮 返回目录 例18 (2026·北京市第二中学期中)已知椭圆的弦的中点 的坐标为 ，则直线 的方程为_______________. 【解析】 易知直线的斜率 存在. 设所求直线的方程为 , 由得 . 设点,,则,是上述方程的两根，于是 . 又为 的中点， ,解得 . 故所求直线的方程为 . 方法帮 返回目录 90 （点差法） 由题意知，直线斜率存在.（用“点差法”求中点弦所在直线方 程的前提是斜率 存在） 设点, . 为的中点，, . 又,两点在椭圆上，则, , 两式相减，得 , 于是 . ,即. 事实上，由椭圆的垂径定理得， ,其中为坐标原点，又, 故所求直线的方程为 . . . 方法帮 返回目录 91 设所求直线与椭圆的一个交点为，由于的中点为 ，则另一 个交点为 . , 两点都在椭圆上， ,化简得 . 显然点的坐标满足这个方程，代入验证可知点 的坐标也满足这个方程，而过点 ，的直线只有一条，故所求直线的方程为 . 方法帮 返回目录 92 子题 过点作斜率为的直线与焦距为2的椭圆相交于, 两点,若是线段的中点,则椭圆 的标准方程为_ __________. 【解析】由椭圆的垂径定理得,为坐标原点,即 ,即 ,又,，所以, , 所以椭圆的方程为 . 方法帮 返回目录 93 解决椭圆的中点弦问题的三种方法 （1）方程组法 联立直线方程与椭圆方程，消去其中一个未知量后得到一个一元二次方程，利用根 与系数的关系及中点坐标公式求解. （2）点差法 设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为 , ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点 和斜率 有关的式子，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法. 点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点 和斜率有关. 方法帮 返回目录 94 （3）中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭 圆方程作差可得. 方法帮 返回目录 95 【学会了吗丨变式题】 7.[多选题] (2026·江苏省海门中学段考)已知椭圆的方程为,斜率为 的直线 不经过原点,且与椭圆相交于,两点,为线段 的中点,则下列结论正确的是 ( ) BD A.直线与 垂直 B.若点的坐标为,则直线的方程为 C.若直线的方程为,则点的坐标为 D.若直线的方程为,则 方法帮 返回目录 96 【解析】对于A,根据椭圆的中点弦的性质知, ,所以A不正确; 对于B,,根据,知,所以直线 的方程为 ,即 ,所以B正确; 对于C,,由,得 ,所以C不正确; 对于D,若直线的方程为,与椭圆方程 联立,得 ,整理得,解得或 ,所以 ,所以D正确.故选 . 方法帮 返回目录 97 8.已知椭圆 ，则斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程为 _ _______________________. 【解析】设斜率为2的直线与椭圆交于点,,弦 的中点 为，由点差法可知，，即 . 又椭圆的弦的中点只能在椭圆内, ，解得 . 所求的轨迹方程为 . 方法帮 返回目录 98 新考法 情境应用 图3.1.1-5 例19 新情境 影片门 圆锥曲线具有丰富的光学性质， 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射 光线过椭圆的另一个焦点，如图3.1.1-5.为了使影片门 （电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝 与 影片门 应位于椭圆的两个焦点处．已知椭圆 ，椭圆的左、右焦点分别为， ，一 束光线从发出，射向椭圆上位于第一象限的点后反射光线经过点 ，且 ，则 的平分线所在的直线方程为________________． 方法帮 返回目录 99 方法帮 返回目录 100 图3.1.1-6 【解析】 设 ,如图3.1.1-6，则 ，解得或（舍去）， 为锐角， 为正值 （焦点三角形面积公式） . 设，则，则 ，代入椭圆方程， 可得.又, 轴. ，的平分线所在直线的斜率为 ， 的平分线所在的直线方程为，即 ． . . . . 方法帮 返回目录 101 （角平分线性质） 同方法1先求得点,， . 则直线的方程为，直线的方程为 ， 设的平分线上任意一点的坐标，则点到两直线， 的距离相等， 则，化简得或 （舍去）.（【警示】 该直线为与角平分线垂直的直线） 名师点评 由椭圆的一个焦点射向椭圆上任意一点的光波或声波，经该椭圆反射后必 经过另一个焦点，椭圆的这一独特的光学性质在现实生活中有着广泛的应用. . . 方法帮 返回目录 102 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容是高考考查的重点，主要考查椭圆方程的求解及其应用、椭圆定义的应用、 直线与椭圆的位置关系等，可以单独考查，也可以与向量、解三角形等知识综合考 查，椭圆定义的应用多以选择、填空的形式出现，试题难度中等或中等偏下，直线 与椭圆的位置关系多以填空、解答的形式出现，试题难度中等偏上或困难. 核心素养：直观想象（由题目作出平面图形解题）,逻辑推理, 之间的数量关 系 ,数学运算（点差法、三角形面积的计算）. 返回目录 103 考向1 求椭圆的标准方程 例20 (2024· 新课标Ⅱ卷)已知曲线,从上任意一点向 轴作 垂线段，为垂足，则线段的中点 的轨迹方程为( ) A A. B. C. D. 返回目录 104 【解析】 （代入法） 设，则，因为点在曲线 上， 所以，即 ， 所以线段的中点的轨迹方程为 . （数形结合法） 由题意可知把曲线 上所有点的纵坐标缩短至原来的一半， 横坐标不变，即可得到点 的轨迹. 曲线为半圆，则点的轨迹为椭圆轴上方部分 ，其中长半轴长为4，短半轴长为 2，所以线段的中点的轨迹方程为 . 返回目录 105 例21 (全国Ⅰ卷)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于， 两 点.若，,则 的方程为( ) B A. B. C. D. 返回目录 106 给什么 得什么 _________________________________________ 由椭圆的两焦点为,，知椭圆的焦点在轴上，且 .如 图3.1.1-7,设,则, . 求什么 想什么 要求椭圆的方程，需要求出, 的值. 图3.1.1-7 返回目录 107 差什么 找什么 由椭圆定义及,,得，则， , ，由此可得点在轴上.设 为坐标原点），在 中，有 . 又为等腰三角形，所以 .由倍角公式得 ，解得，则 ，故椭圆方程 为 . 续表 返回目录 108 考向2 椭圆定义的应用 例22 (2023·全国甲卷)设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点,点 在上，，则 ( ) B A. B. C. D. 返回目录 109 图3.1.1-8 【解析】 依题意,, .如图 3.1.1-8，不妨令,.设, ，在 中， , 由椭圆的定义可得 ②. 由①②，解得 . 设.在和中， ，由余 弦定理得 ，得 ,所以 . 返回目录 110 【另解】在求出， 后，我们还可以利用向量知识进行求解：因为 ，所以 ，所以 依题意,, . 如图3.1.1-8，设点的坐标为 ， 利用焦点三角形面积公式知其中 . 因为，所以 ， 故 . 返回目录 111 又,故 , 又,所以 , , . 返回目录 考向3 直线与椭圆的位置关系 例23 (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知直线与椭圆在第一象限交于,两点， 与轴、轴分别交于,两点，且,，则 的方程为____________ ________. 返回目录 113 【解析】 设直线的方程为，分别令, ,得 点, . 设， . 由题意知线段与线段 有相同的中点， 所以即 因为，所以 . 将， 代入椭圆方程， 返回目录 114 得 相减得 ， 返回目录 由题意知, ， 所以，即 ， 整理得 ①. 又，所以由勾股定理，得 ②， 由①②并结合,，得 所以直线的方程为 ， 即 . 返回目录 116 设直线的方程为，分别令, ,得点 , . 由题意知线段与线段有相同的中点，设为，则 ， 则,为坐标原点 . 由椭圆中点弦的性质知，，即 ，以下同方法1. 返回目录 117 例24 (2024·全国甲卷)已知椭圆的右焦点为，点 在 上，且 轴. （1）求 的方程; 返回目录 118 【解析】 （直接法） 由题意知 得 所以椭圆的方程为 . （巧用椭圆的定义） 设为的左焦点，连接,则, , 在中， , 由椭圆的定义知， , 所以, ， 又，所以 ， 所以椭圆的方程为 . 返回目录 119 （2）过点的直线交于，两点，为线段的中点，直线交直线 于 点,证明: 轴. 图3.1.1-9 【解析】直线的斜率必定存在，设 ， ， ，如图3.1.1-9所示. 由 可得 ， 故 ， 又, ， 而，故直线 ， 返回目录 120 因为,所以 ， 所以 ， 故，即 轴. 返回目录 高考新题型专练 1.[多选题] (2026·山东省菏泽第一中学期中)已知椭圆 的左、右两个焦 点分别为，，为椭圆上一动点， ，则下列说法正确的是( ) ABD A.的周长为8 B.的最大面积为 C.存在点使得 D. 的最大值为7 返回目录 122 【解析】由椭圆的方程可得，，则 ，所以 ，， . A中，由题意可得的周长为 ， 所以A正确； B中，当为椭圆与轴的交点时， 的面积最大,此时最大面积 ，所以B正确； C中，因为,所以以为直径的圆与椭圆无交点，所以不存在点 使得 ，即 不成立，所以C不正确； D中，连接, ， 当且仅当为线段的延长线与椭圆的交点时取等号，所以D正确.故选 ． 返回目录 123 2.[多选题] 设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上．若 为直角三角形，则下列说法正确的是( ) BD A.符合条件的点有4个 B.点的纵坐标可以是 C.的面积一定是 D.的周长一定是 返回目录 124 【解析】由题意知，焦点，， 为直角三角形， 以为直角顶点的直角三角形有2个，以为直角顶点的直角三角形 有2 个.因为，，,则以线段为直径的圆与椭圆 有4个公共点，即 以为直角顶点的直角三角形有4个，因此，符合条件的点 有8个，A不正确. 以为直角顶点时，设，由消去得，即点 的 纵坐标为 ，B正确. 由选项B知，以为直角顶点时， 的面积 ，C不正确. 由椭圆定义知，的周长为 ，D正确． 返回目录 125 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.已知椭圆的右焦点为，点 在椭圆上，则椭圆的 方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意可得解得 故椭圆的方程为 . 返回目录 126 2.(2026·江苏省泰州中学月考)化简方程 的结果 是( ) C A. B. C. D. 【解析】由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在 轴 上的椭圆，且,，所以,故化简结果为 . 返回目录 127 3.[教材改编P87 T12]已知曲线的方程是，把曲线 上的点的横坐标变为 原来的，纵坐标变为原来的，得到曲线，则曲线 的方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】设所得曲线上任一点的坐标为,曲线上对应点的坐标为 .由题 意可得因为，所以，即 ，故 选B. 返回目录 128 4.[教材改编P86 T8]［多选题］(2026·福建省福州第一中学质检)对于曲线 ,给出的下面四个说法中正确的是 ( ) CD A.曲线 不可能是椭圆 B.“”是“曲线 是椭圆”的充分不必要条件 C.“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“ ”的必要不充分条件 D.“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“ ”的充要条件 返回目录 129 【解析】当且,，且时，曲线 是 椭圆，所以A错误； 当时，，此时曲线 是圆，所以B错误； 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得，所以“曲线 是 焦点在轴上的椭圆”是“ ”的必要不充分条件，所以C正确； 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得 ,所以D正确.故选 . . . 返回目录 130 5.(2026·上海市华东师范大学第二附属中学调研)椭圆 的一个焦点坐标为 ，则实数 的值为___. 4 【解析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，所以，， ，因为 ，所以 . 返回目录 131 6.(2026·安徽省阜阳市期中)已知,分别是椭圆的左、右焦点， 为椭 圆上一点，则 的最小值为___. 1 【解析】因为,分别为椭圆的左、右焦点， 在椭圆上运动，所以 . 所以，所以，当且仅当 时 等号成立. 所以 ， 即 的最小值为1. 返回目录 132 7.(2026·江苏省南京师范大学附属实验学校月考)求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点，焦点坐标分别为， ； 【答案】由题知,焦点在轴，且，设椭圆标准方程为 ， 则，由椭圆过点知，解得或 （舍去）． 所以椭圆的标准方程为 ． 返回目录 133 （2）经过， 两点． 【答案】椭圆经过， 两点，设所求椭圆的方程为 ，把点，代入得解得 所以所求椭圆的方程为 ． 返回目录 134 8.已知椭圆上一点，且， ． （1）求 的值； 【答案】由题意知点在椭圆上，则，解得． 又,故 ． （2）求过点且与椭圆 共焦点的椭圆的方程． 【答案】椭圆的焦点在轴上，且 ，故可设所求椭 圆的方程为 . 由（1）可知点的坐标为，将其代入所设方程，得 ， 解得 ． 故所求椭圆的方程为 ． . . 返回目录 135 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.(2026·天津市武清区城关中学月考)如果椭圆的弦被点 平分，那么这 条弦所在直线的方程是( ) A A. B. C. D. 返回目录 136 【解析】设弦的两端点,，斜率为,则有, ,且 ,，两式相减，得 ， 即 ， 弦所在的直线方程为弦被点 平分，即弦所在直线过点 ，即 ． . . 返回目录 137 10.(2026·陕西省咸阳市永寿县中学月考)已知椭圆 的左、右焦点分别 为,,直线与交于,两点，若面积是 面积的2倍，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意，直线与椭圆交于两点，则由消去 得 ,由,即 ,得 .因为,,面积是面积的2倍，所以点 到直线的距离是点到直线 的距离的2倍（同底，不同高），即 ，解得或 （舍去）. . . . . 返回目录 138 11.［多选题］已知椭圆的左、右焦点分别为，， 为 坐标原点，直线过交于，两点，若 的周长为8，则( ) BC A.椭圆焦距为 B.椭圆方程为 C.弦长 D. 返回目录 139 【解析】因为的周长为8，所以，得.因为直线过点 ， 所以，所以，所以椭圆的焦距为 ，故A错误； 所以椭圆的方程为 ，故B正确； 设，，由得，故 ， ，所以 ,故C 正确； 原点到直线的距离 ，所以 ，故D错误． 返回目录 140 12.已知,分别为椭圆的左、右焦点，是 上的任意一点，若点 ，则的最小值为___;若,则 的最小值为___. 4 返回目录 141 图D 3.1.1-1 【解析】当点坐标为 时，如图D 3.1.1-1，由椭圆 ，可得，．连接 ,则 当点坐标为时，由，可得 ，则 .因为（当且仅当 在线 段 上时取等号），所以 ，又点，，所以 ， 当且仅当，，三点共线且点在点， 之间时取等号． 返回目录 142 13.设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点的坐标为. （1）当与轴垂直时,求直线 的方程; 【答案】由，得点.当直线与垂直时，的方程为 ，代入椭 圆，得，，则点的坐标为或 . 又点，所以直线的斜率，直线 的方程为 ，即 . 返回目录 143 （2）设为坐标原点,证明: . 【答案】要证明，只需证明 . 当直线的斜率不存在时，显然有 . 图D 3.1.1-2 如图D 3.1.1-2，当直线的斜率存在时，可设 .由 消去整理得 ， 设点，，所以， ， 综上，即证得 . 则 . 返回目录 144 14.已知椭圆过点,且 . （1）求椭圆 的方程； 【答案】因为，所以椭圆的方程为 ， 又椭圆过点，所以有，解得，所以椭圆 的方程为 . 返回目录 145 （2）过点的直线交椭圆于点,,直线,分别交直线于点, , 求 的值. 【答案】由题意知直线 的斜率存在. 当直线的斜率为0时，不妨设, ， 则直线,直线 , 则,, . 当直线的斜率不为0时，设直线,与椭圆方程 联立,化简得 , ,解得 . 返回目录 146 设,，则, . 直线的方程为，则，即 . 直线的方程为，则，即 . 所以 . 综上， . 返回目录 C 培优练丨能力提升 15.(2026·山东省青岛第五十八中学期中)已知点,,动点 满足直线 与的斜率之积为.记的轨迹为曲线 . （1）求的方程,并说明 是什么曲线; 【答案】由题设得,化简得,所以 为中心在坐标原 点，焦点在 轴上，不含左、右顶点的椭圆. 返回目录 148 （2）过坐标原点的直线交于,两点,点在第一象限,轴,垂足为,连接 并 延长交于点 . （i）证明: 是直角三角形; 返回目录 149 【答案】由题易知直线的斜率一定存在，设直线的斜率为 ，则其方程为 . 由得 . 记，则,, . 返回目录 150 于是直线的斜率为,方程为.直线过点 由得 ①. 设点,则和是方程①的解（直线与椭圆的交点为点和点 ，故方程 的解即为点的横坐标），故,由此得 . 从而直线的斜率为，所以（斜率之积为 ）,即 是直角三角形. . . . . . . 返回目录 151 （ii）求 面积的最大值. 【答案】由得, , 所以的面积 . 设，则由得,当且仅当 时取等号. 因为函数在上单调递减（在 上单调递增）， 所以当，即时，取得最大值，最大值为 . 因此，面积的最大值为 . . . 返回目录 152 $