第3章 3.1.1 第2课时 椭圆的标准方程的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本高中数学讲义聚焦椭圆标准方程的综合应用，系统梳理椭圆方程的常见设法（如共焦点椭圆设法、一般式设法）、椭圆定义的应用（焦点三角形性质及面积计算）、与椭圆相关的轨迹问题（定义法、相关点法），构建从基础设法到综合应用的学习支架。 资料通过例题与跟踪训练结合、多种解题方法对比（如例2焦点三角形面积的余弦定理法与公式法），培养学生数学思维中的推理能力和运算能力。反思感悟总结方法规律，课时对点练分层设计，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学语言表达与模型应用意识。

第2课时　椭圆的标准方程的综合问题 学习目标　1.了解椭圆方程的常见设法.2.掌握椭圆定义的应用.3.会求和椭圆相关的动点的轨迹方程. 一、椭圆方程的设法 例1　求下列椭圆的标准方程. (1)过点(－3，2)且与椭圆＝1有相同的焦点； (2)经过点P，Q. 解　(1)方法一　由方程＝1可知，其焦点的坐标为(±，0)，即c＝. 设所求椭圆方程为＝1(a>b>0)，则a2＝b2＋5，因为过点(－3，2)，代入方程得＝1(a>b>0)， 解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10， 故椭圆的标准方程为＝1. 方法二　设椭圆方程为＝1(m>－4). 将点(－3，2)代入方程得＝1， 解得m＝6. 故椭圆的标准方程为＝1. (2)方法一　①当椭圆的焦点在x轴上时， 设标准方程为＝1(a>b>0)， 依题意，有解得 因为a>b>0，所以方程组无解. ②当椭圆的焦点在y轴上时， 设标准方程为＝1(a>b>0)， 依题意，有解得 所以所求方程为＝1. 方法二　设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)， 依题意得解得 故所求方程为5x2＋4y2＝1，即＝1. 反思感悟　(1)与椭圆＝1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程可设为＝1(m>－b2). (2)椭圆过两定点，焦点位置不确定时，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n). 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同的焦点. 解　(1)方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上， 设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1. 若焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0). 由已知条件得解得 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去. 综上，所求椭圆的标准方程为＝1. 方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).将两点(2，－)，代入，得解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1. (2)方法一　因为所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为＝1(a>b>0). 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ① 又点(，－)在椭圆上， 所以＝1， 即＝1. ② 由①②得b2＝4，a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. 方法二　设椭圆方程为＝1(m>－9)， 将(，－)代入方程，解得m＝－5， 所以椭圆的标准方程为＝1. 二、椭圆定义的应用 例2　已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解　方法一　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝3， 从而F1F2＝2c＝6， 在△F1PF2中， F1＝P＋P－2PF1·PF2cos 60°， 即36＝P＋P－PF1·PF2. ① 由椭圆的定义得PF1＋PF2＝4， 所以48＝P＋P＋2PF1·PF2. ② 由①②得PF1·PF2＝4. 所以PF1·PF2·sin 60°＝. 方法二　＝b2tan＝3×tan 30°＝. 延伸探究　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝3. 从而F1F2＝2c＝6. 在△F1PF2中，由勾股定理可得 P＝P＋F1， 即P＝P＋36， 又由椭圆定义知PF1＋PF2＝4， 所以PF2＝4－PF1. 从而有(4－PF1)2＝P＋36， 解得PF1＝. 所以PF1·F1F2＝××6＝. 反思感悟　椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a＋2c. (3)利用椭圆定义，结合余弦定理、三角恒等变换等知识可推得焦点三角形△PF1F2的面积S＝b2tan，其中θ＝∠F1PF2. 跟踪训练2　(1)已知椭圆＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于(　　) A.3∶5 B.3∶4 C.5∶3 D.4∶3 答案　C 解析　依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有P－P＝4c2＝16，又根据椭圆定义知PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2， 从而PF1＝5，PF2＝3，即PF1∶PF2＝5∶3. (2)已知椭圆＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△PF1F2的面积为，则∠F1PF2＝　　　　.  答案　60° 解析　方法一　不妨设P在x轴上方，过P作x轴的垂线交x轴于点H，由＝1可得F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2＝2，F1F2·PH＝，则PH＝，即P点的纵坐标为，代入椭圆方程得P点的坐标为(0，)，则PF1＝PF2＝F1F2＝2，所以∠F1PF2＝60°. 方法二　由＝1， 可知b2＝3， ＝b2tan ＝3tan ，则tan ， 因为∠F1PF2是△PF1F2的内角， 则＝30°， 所以∠F1PF2＝60°. 三、与椭圆有关的轨迹问题 例3　(1)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝81和C2：(x＋4)2＋y2＝1，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1(去掉点(－5，0)) D.＝1(去掉点(－5，0)) 答案　D 解析　圆C1：(x－4)2＋y2＝81和C2：(x＋4)2＋y2＝1的圆心、半径分别为C1(4，0)，r1＝9，C2(－4，0)，r2＝1， 由C1C2＝8＝9－1，得圆C2内切于圆C1，且切点为(－5，0).则动圆P与圆C2外切，与圆C1内切，且不过点(－5，0). 设动圆半径为r， 依题意，PC2＝r2＋r，PC1＝r1－r， 则PC1＋PC2＝r1＋r2＝10>8＝C1C2， 因此P点的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆(去掉点(－5，0))，其中2a＝10，2c＝8，即a2＝25，b2＝a2－c2＝9， 所以M的方程为＝1(去掉点(－5，0)). (2)点B是椭圆＝1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程. 解　设动点M的坐标为(x，y)，点B的坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得 ⇒ 即点B的坐标可表示为(2x－2a，2y). 又点B(x0，y0)在椭圆＝1上， ∴＝1，从而有＝1. 整理得动点M的轨迹方程为＝1. 反思感悟　求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.常见方法有直接法、定义法、相关点法等. 跟踪训练3　设点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，点M的轨迹方程为(　　) A.＝1(x≠±5) B.＝1(x≠±5) C.＝1(y≠±5) D.＝1(y≠±5) 答案　A 解析　设M(x，y)，因为直线AM，BM的斜率之积是－，则有·＝－，整理为＝1， 显然有x≠±5，所以点M的轨迹方程为＝1(x≠±5). 1.知识清单： (1)椭圆方程的设法. (2)椭圆定义的应用. (3)与椭圆有关的轨迹问题. 2.方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法、相关点法. 3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除的点. 1.与椭圆3x2＋4y2＝12有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　C 解析　椭圆3x2＋4y2＝12，即＝1，设所求椭圆方程为＝1(λ>－3)，将点(4，0)代入得＝1，解得λ＝12，所以所求椭圆的方程为＝1. 2.已知椭圆＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 答案　B 解析　设椭圆的右焦点为F2， 由题意，知PO＝MF2，PF1＝MF1， 又MF1＋MF2＝2a， 所以PO＋PF1＝a>F1O＝c， 故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆. 3.椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大值为12，则椭圆方程为　　　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大， ∴×8b＝12，∴b＝3. 又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25. ∴椭圆的标准方程为＝1. 4.已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2＝　　　　.  答案　120° 解析　由椭圆的定义知a2＝9，b2＝2， ∴a＝3，c2＝a2－b2＝7，即c＝，∴F1F2＝2. ∵PF1＝4，∴PF2＝2a－PF1＝2. ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝－， 又0°<∠F1PF2<180°. ∴∠F1PF2＝120°. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　) A.2 B.6 C.4 D.12 答案　C 解析　设在BC边上的另一个焦点为F，利用椭圆的定义，得BA＋BF＝2，CA＋CF＝2，便可求得△ABC的周长为4. 2.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＝1(x≠0) B.＝1(x≠0) C.＝1(x≠0) D.＝1(x≠0) 答案　B 解析　由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，可得AB＋AC＝12>BC，所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12，2c＝8，所以a＝6，c＝4.所以b2＝a2－c2＝20，则轨迹方程为＝1.因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，所以x≠0，故点A的轨迹方程为＝1(x≠0). 3.过点P和点Q的椭圆的标准方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或＋x2＝1 C.＋y2＝1 D.以上都不对 答案　A 解析　设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 由题意得解得 所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1. 4.已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于(　　) A.24 B.26 C.22 D.24 答案　A 解析　由椭圆方程可得焦点在y轴上，a＝7， b＝2，c＝＝5， 由椭圆定义可得PF1＋PF2＝2a＝14， 又3PF1＝4PF2，则PF1＝8，PF2＝6， ∵F1F2＝2c＝10，满足P＋P＝F1，则PF1⊥PF2， ∴PF1·PF2＝×8×6＝24. 5.已知A(－2，0)，B(2，0)是x轴上两定点，C(0，m)，D是y轴上两动点，则直线AC与BD的交点P的轨迹方程为(　　) A.－y2＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0) C.x2－＝1(y≠0) D.x2＋＝1(y≠0) 答案　B 解析　设点P(x，y)，由题意可知，m≠0， 由kAP＝kAC，得， ① 由kBP＝kBD，得＝－， ② ①×②得＝－，整理可得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1，其中y≠0， 所以点P的轨迹方程为＋y2＝1(y≠0). 6.(多选)点F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的标准方程可以是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　ACD 解析　设椭圆方程为＝1(a>b>0)，且椭圆与y轴正半轴的交点为B，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需满足∠F1BF2≥90°，∴B＋B≤F1，即a2＋a2≤4c2，∵c2＝a2－b2，∴a2≥2b2，结合选项知A，C，D满足. 7.(5分)P是椭圆＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足，则动点Q的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　设Q(x，y)， ∵， ∴＝－， ∵P是椭圆＝1上的任意一点， ∴＝1，∴＝1. 8.(5分)设F1，F2为椭圆C：＝1的左、右焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　　　　　　　　.  答案　(3，) 解析　由已知可得a2＝36，b2＝20， ∴c2＝a2－b2＝16， ∴c＝4. 由于M为C上一点且在第一象限，则MF1>MF2， ∴MF1＋MF2＝2a＝12>2MF2， ∴MF2≠F1F2＝8， ∵△MF1F2为等腰三角形， ∴MF1＝F1F2＝8， ∴MF2＝2a－MF1＝12－8＝4， 设点M的坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 则F1F2·y0＝4y0， 又×4×＝4， ∴4y0＝4，解得y0＝， ∴＝1， 解得x0＝3或x0＝－3(舍去)， ∴M的坐标为(3，). 9.(10分)已知椭圆＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程；(5分) (2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值.(5分) 解　(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2， 且3a2＝4b2， 所以a2－a2＝1，即a2＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为＝1. (2)由于点P在椭圆上，所以PF1＋PF2＝2a＝2×2＝4.又PF1－PF2＝1，所以PF1＝，PF2＝.又F1F2＝2c＝2，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝. 故∠F1PF2的余弦值等于. 10.(11分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程. 解　圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1，0)，如图所示， 因为AD＝AC， 所以∠ACD＝∠ADC. 因为EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD， 故∠EBD＝∠ADC. 所以EB＝ED， 故EA＋EB＝EA＋ED＝AD. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16， 从而AD＝4， 所以EA＋EB＝4. 由题设得A(－1，0)，B(1，0).AB＝2， 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与x轴的交点)，且2a＝4，c＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 所以点E的轨迹方程为＝1(y≠0). 11.如图，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F'，连接PF'，如图所示. 因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由OP＝OF＝OF'知，∠FPF'＝90°，即FP⊥PF'.在Rt△PFF'中，由勾股定理，得PF'＝＝8.由椭圆定义，得PF＋PF'＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＝1. 12.如图所示，已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，A为椭圆与y轴正半轴的交点，B在x轴上，∠BAF2＝90°，且F1是BF2的中点，O为坐标原点，若点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　D 解析　∠BAF2＝90°且BF1＝F1F2，则△AF1F2是等边三角形， 设F1F2＝2c，则a＝2c， ① ∴直线AB的方程为＝1，即bx－3cy＋3bc＝0， ∴O到直线AB的距离为＝3， ② 又a2＝b2＋c2， ③ 联立①②③，解得a2＝16，b2＝12，故椭圆C的方程为＝1. 13.(多选)已知椭圆C：＝1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若OF1＝OA，△OF1A的面积为2，则AF1的值可以为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　BD 解析　设AF1的中点为N，连接ON，如图，因为OF1＝OA， 所以ON⊥AF1，记AF1＝m，AF2＝n， 因为点O为F1F2的中点，所以ON为△F1AF2的中位线， 所以ON＝AF2＝n， 又因为AF1＋AF2＝2a＝6， 则有得 解得或所以AF1＝2或4. 14.(5分)已知椭圆C：＝1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN＋BN＝　　　　.  答案　12 解析　取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有GF1＝AN，GF2＝BN， 所以AN＋BN＝2(GF1＋GF2)＝4a＝12. 15.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程＝6的解是(　　) A. B.± C. D.± 答案　D 解析　因为， 所以可以转化为M(x，1)到N(－2，0)的距离， 同理，可以转化为M(x，1)到P(2，0)的距离， 因为＝6，所以M(x，1)到两定点N(－2，0)和P(2，0)的距离之和为6， 所以M(x，1)在以点N(－2，0)和P(2，0)为焦点的椭圆上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 则2a＝6，即a＝3，又a2－b2＝4，所以b2＝5，所以椭圆的方程为＝1， 由y＝1，得＝1，解得x＝±. 16.(12分)(1)已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，求PF1·PF2的最大值；(4分) (2)已知A(1，1)，F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，点P是椭圆上的动点，求PA＋PF1的最大值和最小值.(8分) 解　(1)∵a＝10，20＝PF1＋PF2≥2， ∴PF1·PF2≤100，当且仅当PF1＝PF2时取等号，∴PF1·PF2的最大值为100. (2)设F2为椭圆的右焦点，5x2＋9y2＝45可化为＝1，由已知，得PF1＋PF2＝2a＝6， ∴PF1＝6－PF2，∴PA＋PF1＝6－(PF2－PA). ①当PA>PF2时，有0<PA－PF2≤AF2，等号成立时，PA＋PF1最大，此时点P是射线AF2与椭圆的交点，PA＋PF1的最大值是6＋. ②当PA<PF2时，有0<PF2－PA≤AF2，等号成立时，PA＋PF1最小，此时点P是射线F2A与椭圆的交点，最小值是6－. 综上，可知PA＋PF1的最大值为6＋，最小值为6－. 学科网（北京）股份有限公司 $