2.1 第3课时与圆有关的轨迹问题同步练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦与圆有关的轨迹问题，通过基础巩固、进阶层级、综合应用三层设计，实现从定义理解到复杂情境应用的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的定义及轨迹直接判断|以单选形式考查圆心轨迹（如第1题）、直角顶点轨迹（如第2题），强化定义应用| |进阶层|轨迹方程求法与限制条件|通过多选（如第6题方程判断）、填空（如第7题中点轨迹），涉及参数方程及轨迹范围限制| |综合层|轨迹综合应用与最值问题|解答题（如第14题轨迹方程及PM+PN最值）融合距离比、中点轨迹等，提升逻辑推理与运算能力|

第3课时　与圆有关的轨迹问题 1.已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（　　） A.点　　 B.直线 C.线段　　 D.圆 2.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），则直角顶点C的轨迹方程为（　　） A.（x－1）2＋y2＝4 B.x2＋（y－1）2＝4 C.（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1） D.x2＋（y－1）2＝4（x≠3，且x≠－1） 3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B的距离之比是常数λ（λ＞0，λ≠1）的点M的轨迹是圆.若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹围成区域的面积为（　　） A.π　　 B.2π C.3π　　 D.4π 4.已知线段AB的端点B的坐标为（4，3），端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹所围成图形的面积为（　　） A.4π　　 B.π C.π　　 D. 5.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），则底边另一个端点C的轨迹方程是（　　） A.（x－4）2＋（y－2）2＝10 B.（x＋4）2＋（y－2）2＝10 C.（x－4）2＋（y－2）2＝10（x≠3，x≠5） D.（x＋4）2＋（y－2）2＝10（x≠3，x≠5） 6.（多选）如果点P的坐标（x，y）满足以下方程，则点P的轨迹是圆的有（　　） A.x2＋y2＝0 B.x2＋y2－2x＋4y＋6＝0 C.x2＋y2＋2ax－b2＝0（ab≠0） D.（θ为参数，r≠0） 7.已知圆O：x2＋y2＝4及一点P（－1，0），Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为　　　　　　　. 8.圆x2＋y2＝8内有一点P（2，－1），AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为　　　　　. 9.已知平面上到两直线y＝x与y＝kx的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数k＝　　　　. 10.在定圆x2＋y2＝R2内，作长度为定值2l（l＜R）的弦，求弦中点的轨迹方程. 11.方程｜x｜－1＝所表示的曲线是（　　） A.一个圆　　B.两个圆 C.半个圆　　D.两个半圆 12.（多选）已知A，B是平面内两个定点，且AB＝6，则满足下列条件的动点P的轨迹为圆的是（　　） A.PA＋PB＝6　　 B.·＝－1 C.PA＝2PB　　 D.PA2＋PB2＝18 13.存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.现已知在平面直角坐标系中A（－2，0），B（2，0），动点P满足PA＝λPB（λ＞0），若点P的轨迹为一条直线，则λ＝　　　　；若λ＝2，则点P的轨迹方程为　　　　　　　　. 14.已知点M（－2，0），N（1，0），点P（x，y）满足PM＝2PN. （1）求点P（x，y）的轨迹方程； （2）求PM＋PN的最大值. 15.已知点M在圆x2＋y2＋8x＝0上运动，N（4，0），A（1，6），点P为线段MN中点. （1）求点P的轨迹方程； （2）已知B（－3，－3），C（3，－3），求PA2＋PB2＋PC2的最大值. 第3课时　与圆有关的轨迹问题 1.D　由圆C的方程知，圆心C的坐标为（a，b），半径r＝1，因为A（1，0）为圆C上一点，所以AC＝＝1，即（a－1）2＋b2＝1，所以圆心C的轨迹是以点A为圆心，以1为半径的圆. 2.C　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）.由直角三角形的性质，知CD＝AB＝2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆（因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）. 3.D　以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（图略），则可取B（3，0）.设M（x，y），依题意有＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即（x－4）2＋y2＝4，故点M的轨迹为圆，该圆的面积为4π. 4.C　设线段AB的中点M（x，y），A（x0，y0），则即因为端点A在圆x2＋y2＝4上运动，所以＋＝4，即（2x－4）2＋（2y－3）2＝4，整理得：（x－2）2＋（y－）2＝1，所以点M的轨迹是圆心为（2，），半径为r＝1的圆.所以该圆的面积为S＝πr2＝π.故选C. 5.C　设C（x，y），由AB＝＝，得（x－4）2＋（y－2）2＝10，又点A，B，C组成三角形，所以点C不能在直线AB上，易得直线AB的方程为y＝－3x＋14，若C点在直线AB上，则C（x，－3x＋14），由AC＝＝，得x＝3或x＝5，故x≠3且x≠5，故选C. 6.CD　对A，由圆的标准方程可知，r2≠0，所以方程x2＋y2＝0不表示圆，A错误；对B，由x2＋y2－2x＋4y＋6＝0，得（x－1）2＋（y＋2）2＝－1＜0，可知该方程不表示圆，B错误；对C，由x2＋y2＋2ax－b2＝0，得（x＋a）2＋y2＝a2＋b2，因为ab≠0，所以a≠0，b≠0，所以a2＋b2＞0，由圆的标准方程可知，该方程表示圆心为（－a，0），半径为的圆，C正确；对D，由（θ为参数，r≠0），得（x－a）2＋（y－b）2＝r2cos2θ＋r2sin2θ＝r2，因为r≠0，所以r2＞0，该方程表示圆心为（a，b），半径为｜r｜的圆，D正确.故选C、D. 7.（x＋）2＋y2＝1　解析：设M（x，y），则Q（2x＋1，2y），因为Q在圆x2＋y2＝4上，所以（2x＋1）2＋4y2＝4，即（x＋）2＋y2＝1，所以轨迹C的方程是（x＋）2＋y2＝1. 8.x2＋y2－2x＋y＝0　解析：设AB的中点为Q（x，y），若AB的斜率不存在，则Q（2，0），若AB的斜率为0，则Q（0，－1），若AB的斜率存在且不为0，则AB的斜率为k＝，又OQ⊥AB，所以kOQ·k＝－1，即·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0，点（2，0），（0，－1）也满足，所以点Q的轨迹方程为x2＋y2－2x＋y＝0. 9.－1　解析：设此点的坐标为（x，y），则依题意有（）2＋（）2＝1，化简得（＋）x2＋（＋）·y2－（＋1）xy＝1，此方程要表示圆，则＋1＝0，且＝，解得k＝－1. 10.解：设坐标原点为O，长度为定值2l（l＜R）的弦的中点为A，A为动点， 则OA垂直于长度为定值2l（l＜R）的弦，故OA＝为定值， 故弦中点的轨迹是以O为圆心，以OA＝为半径的圆， 故弦中点的轨迹方程为x2＋y2＝R2－l2. 11.D　由题意，得 即 或故原方程表示两个半圆. 12.BC　PA＋PB＝6＝AB，显然P的轨迹是线段AB，故A错误；以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A（－3，0），B（3，0），设P（x，y），则＝（－3－x，－y），＝（3－x，－y），已知·＝－1，则x2＋y2＝8，所以点P的轨迹是圆，故B正确；由两点间距离公式得PA＝，PB＝，代入PA＝2PB中化简得x2－10x＋y2＋9＝0，即（x－5）2＋y2＝16，故P的轨迹是圆，故C正确；代入PA2＋PB2＝18中化简得x2＋y2＝0，显然P的轨迹是一个点，故D错误.故选B、C. 13.1　x2＋y2－x＋4＝0　 解析：设P（x，y），由PA＝λPB（λ＞0），可得＝λ，两边平方，整理得点P的轨迹方程为（1－λ2）x2＋（1－λ2）y2＋4（1＋λ2）x＋4－4λ2＝0.若点P的轨迹为一条直线，则解得λ＝1或λ＝－1（舍去）.若λ＝2，则点P的轨迹方程为3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－x＋4＝0. 14.解：（1）由PM＝2PN可知， ＝2，化简得（x－2）2＋y2＝4， 即点P（x，y）的轨迹为以C（2，0）为圆心，半径为2的圆，方程为（x－2）2＋y2＝4. （2）由题意可知，PN＝PM， 所以PM＋PN＝PM， 点M（－2，0）在圆外，所以PM的最大值为MC＋r＝4＋2＝6， 所以PM＋PN的最大值为×6＝9. 15.解：（1）设点P（x，y），M（x0，y0），因为P为MN中点， 所以于是有 因为点M在圆x2＋y2＋8x＝0上运动， 所以＋＋8x0＝0， 代入得（2x－4）2＋（2y）2＋8（2x－4）＝0， 化简得x2＋y2＝4， 所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝4. （2）PA2＋PB2＋PC2＝（x－1）2＋（y－6）2＋（x＋3）2＋（y＋3）2＋（x－3）2＋（y＋3）2＝3x2＋3y2－2x＋73＝85－2x， 因为－2≤x≤2，所以81≤85－2x≤89， 所以PA2＋PB2＋PC2的最大值为89. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $