2.1 圆的方程 第1课时 圆的标准方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习以“圆的标准方程”为核心，通过基础巩固、中档深化、提升拓展三层设计，实现从概念识别到综合应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象、推理意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆心半径识别、点与圆位置关系、基本方程求解|直接应用概念，如第1题圆心半径判断，夯实抽象能力| |中档层|参数范围、对称性质、直径方程|结合参数与几何性质，如第6题对称点在圆上，发展推理意识| |提升层|实际应用、几何综合、曲线面积|联系生活情境与跨知识，如第8题拱桥问题，体现应用意识|

第2章　圆与方程 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 1.已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=4的圆心为C,半径为r,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.C(1,-1),r=4 B.C(-1,1),r=4 C.C(1,-1),r=2 D.C(-1,1),r=2 2.已知圆A的圆心为A(2,-3),半径r=5,则点M(5,-7)与圆A的位置关系是 (　 ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法判断 3.以点(2,0)为圆心,且经过点(0,1)的圆的方程为 (　 ) A.(x-2)2+y2=5 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=13 D.(x+1)2+(y+2)2=13 4.若点A(a,2)不在圆(x-1)2+(y+1)2=5a的外部,则实数a的取值范围为 (　 ) A.[1,5] B.[2,5] C.[3,5] D.[4,5] 5.过点O(0,0),A(2,0),B(0,2)的圆的标准方程为 (　 ) A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-2)2+(y-2)2=4 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x+2)2+(y+2)2=4 6.(多选题)[2025·湖南长沙一中高二质检] 已知圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为,则圆的标准方程可能是 (　 ) A.x2+y2=5 B.(x-1)2+y2=5 C.x2+(y+1)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5 7.[2025·江苏徐州一中高二期末] 已知圆的圆心为A(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则该圆的标准方程为　　　　　　　　　　.  8.如图,某圆拱桥的水面跨度为12米,拱高为4米,现有一船宽8米,则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为　　　　米.(精确到0.01,参考数据≈10.25)  9.(13分)根据下列条件,分别求圆的标准方程: (1)圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3); (2)经过点B(-4,-5),C(6,-1),且以线段BC为直径; (3)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1); (4)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点D(2,-3),E(-2,-5). 10.[2025·江苏南京一中高二期中] 已知集合A={(x,y)|x∈N,y=1},B={(x,y)|x2+y2≤2},则集合A∩B中含有的元素有 (　 ) A.零个 B.一个 C.两个 D.无数个 11.已知a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是 (　 ) A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 12.(多选题)[2025·浙江温州二中高二期末] 设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列说法正确的是 (　 ) A.圆心Ck在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆Ck的面积均为4π 13.[2025·江苏盐城一中高二月考] 在对某一个圆的方程的探究中,有四位同学分别给出了一个结论,甲:该圆的半径为;乙:该圆经过点(3,3);丙:该圆的圆心为(2,1);丁:该圆经过点(7,0).如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是　　　　.  14.(15分)[2025·江苏南通中学高二月考] 如图,矩形ABCD的两条对角线交于点M(3,0),AB边所在直线的方程为x-3y-7=0,点E(0,1)在BC边所在直线上. (1)求AD边所在的直线方程; (2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的标准方程. 15.[2025·江苏苏州一中高二月考] 由曲线x2+y2=|x|-|y|围成的图形的面积是 (　 ) A. B. C. D. 16.(15分)A,B两地均出售某种大型商品,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,A地每千米的运费是B地每千米的运费的两倍,A,B两地相距10千米,若要使顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点? 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章　圆与方程 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 1.D　[解析] 因为圆C的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=4,所以圆心为C(-1,1),半径r=2.故选D. 2.B　[解析] 因为AM==5=r,所以点M在圆上,故选B. 3.A　[解析] 因为圆以点(2,0)为圆心,且经过点(0,1),所以圆的半径r==,所以以点(2,0)为圆心,且经过点(0,1)的圆的方程为(x-2)2+y2=5.故选A. 4.B　[解析] 点A(a,2)不在圆(x-1)2+(y+1)2=5a的外部,则点A(a,2)在该圆的内部或圆上,故(a-1)2+(2+1)2≤5a,且a>0,解得2≤a≤5,故实数a的取值范围为[2,5].故选B. 5.A　[解析] 连接OA,OB,由题可知,线段OA的垂直平分线为x=1,线段OB的垂直平分线为y=1,故所求圆的圆心为(1,1),又半径r==,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选A. 6.AD　[解析] ∵圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在直线x+y=0上.设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.故选AD. 7.(x-2)2+(y+3)2=13　[解析] 由题意知原点在该圆上,则该圆的半径r==,故该圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 8.2.63　[解析] 以圆拱桥的跨度所在直线为x轴,过圆拱桥的最高点且垂直于x轴的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设图中的矩形EFGH表示船刚好能通过桥下的位置.可得A(0,4),B(-6,0),E(-4,0),F(4,0),C(6,0),设圆拱桥所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0),因为点B,A在该圆上,所以解得所以圆的方程为x2+=.令x=4,则y=-≈2.63,所以这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为2.63米. 9.解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+y2=25. 因为点A(2,-3)在圆上,所以(2-a)2+(-3)2=25,解得a=-2或a=6, 所以所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意得a==1,b==-3. 又因为点C(6,-1)在圆上,所以r2=(6-1)2+(-1+3)2=29,所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=29. (3)设圆心为(a,-2a),因为圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以=, 解得a=1, 所以所求圆的圆心为(1,-2),半径r==. 所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (4)设点F为圆心,因为点F在直线x-2y-3=0上,所以可设点F的坐标为(2a+3,a). 又该圆经过D,E两点,所以FD=EF. 所以= ,解得a=-2, 所以F(-1,-2),半径r=. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 10.C　[解析] 易知集合B表示的是圆x2+y2=2及其内部所有的点,则A∩B={(0,1),(1,1)},所以集合A∩B中含有的元素有两个.故选C. 11.A　[解析] 因为a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,所以所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,由此可知,点P(a,b)在圆C:x2+y2=8内.故选A. 12.ABD　[解析] 根据题意,圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)的圆心为(k,k),半径为2.对于A,圆心为(k,k),圆心在直线y=x上,故A正确;对于B,将点(3,0)的坐标代入圆的方程可得(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,可知Δ=36-40=-4<0,则方程无解,所以所有圆Ck均不经过点(3,0),故B正确;对于C,将点(2,2)的坐标代入圆的方程可得(2-k)2+(2-k)2=4,解得k=2±,则经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误;对于D,因为所有圆的半径均为2,所以所有圆的面积均为4π,故D正确.故选ABD. 13.丁　[解析] 设A(3,3),B(2,1),C(7,0),则AB==,BC==,AC==5.假设甲错误,乙、丙、丁均正确,由乙、丙、丁正确得AB=,BC=,则AB≠BC,与丙正确矛盾,假设不成立,所以甲正确.假设乙错误,甲、丙、丁均正确,由甲、丙正确可知圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5,易知点C(7,0)不在该圆上,与丁正确矛盾,假设不成立,所以乙正确.假设丙错误,甲、乙、丁均正确,由乙、丁正确得AC=5>2,与甲正确矛盾,假设不成立,所以丙正确.假设丁错误,甲、乙、丙均正确,由甲、丙正确可知圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5,显然点A(3,3)在该圆上,符合题意.综上所述,结论错误的同学是丁. 14.解:(1)因为AB⊥AD,所以kAD=-3.可求得E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6,-1),且易知点(6,-1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y+1=-3(x-6),即3x+y-17=0. (2)由 解得即A(5.8,-0.4).设矩形ABCD外接圆的半径为r,则r2=AM2=(5.8-3)2+(-0.4-0)2=8. 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x-3)2+y2=8. 15.D　[解析] ①当x≥0,y≥0时,x2+y2=|x|-|y|可化成x2+y2=x-y,即+=.同理,②当x≤0,y≥0时,x2+y2=|x|-|y|可化成+=;③当x≤0,y≤0时,x2+y2=|x|-|y|可化成+=;④当x≥0,y≤0时,x2+y2=|x|-|y|可化成+=.根据以上分析作出曲线x2+y2=|x|-|y|,如图中实线所示,由图可知,所求图形的面积为在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积的4倍,结合①易知,M点的坐标为,N点的坐标为(1,0),且△OMN为等腰直角三角形(其中O为坐标原点),所以在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积S1=π×-×=,从而曲线x2+y2=|x|-|y|围成的图形的面积S=4S1=.故选D. 16.解:以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 设A(-5,0),则B(5,0). 在坐标平面内任取一点P(x,y), 设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米. 若P地居民选择在A地或B地购买此商品的运费相同,则2a=a,整理得+y2=,设C,则圆C上的居民可随意选择A,B两地之一购物,圆C内的居民应在A地购物,圆C外的居民应在B地购物. 学科网（北京）股份有限公司 $