1.5 平面上的距离 1.5.2 点到直线的距离 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从点到直线距离公式的直接应用到综合几何问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点到直线距离公式直接应用|含坐标代入计算（如第1题）、参数简单求解（第3题），夯实公式记忆| |能力提升|公式灵活应用与关联知识|涉及平行线间距离（第2题）、距离定值求直线方程（第4题多选题），发展推理能力| |综合拓展|跨情境综合应用|包含几何证明（第10题）、实际问题（第6题“Ω型直线”），体现应用意识与创新思维|

1.5.2　点到直线的距离 1.点(1,2)到直线y=x-2的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D.3 2.[2025·浙江温州十校高二期中] 直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x-4y+3=0间的距离为 (　 ) A.1 B. C. D. 3.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于 (　 ) A. B.2- C.-1 D.+1 4.(多选题)到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程可能为 (　 ) A.2x-y=0 B.2x+y-2=0 C.2x+y=0 D.2x+y+2=0 5.若点P为两条直线2x-3y+1=0和x+y-2=0的交点,则点P到直线l:kx-y+k+2=0的距离的最大值为 (　 ) A. B. C. D.5 6.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使PM=4,则称该直线为“Ω型直线”.下列直线是“Ω型直线”的是 (　 ) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+10 7.已知直线l过点P(3,-1),且点A(1,3)和B(5,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　　　.  8.[2025·安徽合肥一中高二调研] 若P,Q分别为l1:3x+4y+5=0,l2:ax+8y+25=0上的动点,且l1∥l2,则PQ的最小值为　　　　.  9.(13分)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠BAC的平分线所在直线的方程. 10.(13分)求证:两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=. 11.[2025·江苏启东中学高二月考] 已知C(0,3),A,B两点都在直线y=kx+1上,且A,B两点横坐标之差为2,则△ABC的面积为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.[2025·江苏泰州中学高二月考] 已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.(多选题)[2025·湖南湘潭中学高二质检] 已知A(1,0),B(4,-4),若A与B到直线l的距离都为2,则满足条件的直线l的斜率可以为 (　 ) A.-1 B.0 C. D.- 14.[2025·江苏常州一中高二期中] 已知平行四边形ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8=0,l3:x-4y+14=0,l4:2x+y+1=0,则平行四边形ABCD的面积为　　　　.  15.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,6a+8b=1,则的最小值为　　　　.   16.(15分)设集合A={l|直线l与直线y=2x相交且以交点的横坐标为斜率}. (1)点(-2,0)到A中哪条直线的距离最小; (2)设P(-2,a),点P到A中直线l的距离的最小值设为d(a),求d(a). 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.2　点到直线的距离 1.B　[解析] 由y=x-2,得x-y-2=0,所以点(1,2)到直线x-y-2=0的距离d===,故选B. 2.D　[解析] 由题可知直线l2的方程可以化为x-2y+=0,所以l1与l2间的距离d==.故选D. 3.C　[解析] 由题意得=1,解得a=-1+或a=-1-.∵a>0,∴a=-1+.故选C. 4.CD　[解析] 因为所求直线到直线2x+y+1=0的距离为,所以所求直线与直线2x+y+1=0平行,设所求直线的方程为2x+y+c=0,c≠1,则两直线间的距离d==,解得c=0或c=2,故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.故选CD. 5.B　[解析] 由得即P(1,1).由kx-y+k+2=0,得k(x+1)+2-y=0,由得所以直线l过定点A(-1,2).连接AP,易知当直线AP与直线l垂直时,点P到直线l的距离取得最大值,且最大值为AP==.故选B. 6.BC　[解析] 对于A,点M到直线的距离d==3>4,则直线上不存在到点M的距离等于4的点,故A不符合题意;对于B,点M到直线的距离d1=2<4,所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4,故B符合题意;对于C,点M到直线的距离d2==4,则直线上存在一点到点M的距离等于4,故C符合题意;对于D,点M到直线的距离d3==4>4,故直线上不存在点P到点M的距离等于4,故D不符合题意.故选BC. 7.x+4y+1=0或x=3　[解析] 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,由已知得=,可得k=-,所以直线l的方程为y+1=-(x-3),即x+4y+1=0.当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=3,也满足题意.所以直线l的方程为x+4y+1=0或x=3. 8.　[解析] 由l1∥l2,得a=6,则l1:6x+8y+10=0,l2:6x+8y+25=0,所以PQ的最小值为两平行直线间的距离,为==. 9.解:设P(x,y)为∠BAC平分线上的任意一点,则点P到直线AB的距离与到直线AC的距离相等. 由题知直线AB,AC的方程分别是4x-3y-13=0和3x+4y-16=0, 所以由点到直线的距离公式,得=, 即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|, 即4x-3y-13=3x+4y-16或4x-3y-13=-(3x+4y-16),整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0. 易知x-7y+3=0是∠BAC的外角平分线所在直线的方程,所以7x+y-29=0是∠BAC的平分线所在直线的方程. 10.证明:在直线Ax+By+C1=0上任意取一点P(x0,y0), 则点P(x0,y0)到直线Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离,即d=. 因为点P(x0,y0)在直线Ax+By+C1=0上,所以Ax0+By0+C1=0,即Ax0+By0=-C1,因此d===. 11.B　[解析] 设A(x1,kx1+1),B(x2,kx2+1),则|x1-x2|=2,AB==2,显然点C(0,3)不在直线kx-y+1=0上,则边AB上的高h==,所以△ABC的面积为AB·h=2.故选B. 12.D　[解析] 设点C(t,t2).由题意知直线AB的方程是x+y-2=0,AB=2.因为△ABC的面积为2,所以在这个三角形中,AB边上的高h满足×2h=2,即h=,故点C到直线AB的距离为.由点到直线的距离公式,得=,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2,这两个方程各自有两个不相等的实数根,故这样的点C有4个.故选D. 13.BCD　[解析] 连接AB,因为A(1,0),B(4,-4),所以kAB==-,则直线AB的方程为4x+3y-4=0,且线段AB的中点坐标为.若直线l过AB的中点,显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+2=k,即kx-y-k-2=0,则A到直线l的距离d1==2,即(3k+4)2=16(k2+1),解得k=0或k=;若直线l与AB平行,设直线l的方程为4x+3y+m=0(m≠-4),则A到直线l的距离d2==2,解得m=6或m=-14,此时直线l的斜率为-.故选BCD. 14.9　[解析] 设l1与l2的交点为C,l1与l4的交点为B,l2与l3的交点为D由l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8=0,可求得交点C(3,2).由l1:x-4y+5=0,l4:2x+y+1=0,可求得交点B(-1,1).由l2:2x+y-8=0,l3:x-4y+14=0,可求得交点D(2,4).可得点D到l1:x-4y+5=0的距离d==,BC==,所以S▱ABCD=BC×d=×=9. 15.　[解析] 设A(m,n),B(a,b),直线l1:3x+4y-6=0,直线l2:3x+4y-=0,则由题意可知点A(m,n)在直线l1:3x+4y-6=0上,点B(a,b)在直线l2:3x+4y-=0上,表示A,B之间的距离.∵l1与l2平行,∴A,B之间的距离的最小值等于两平行线之间的距离,为=. 16.解:(1)设直线l与直线y=2x的交点为(k,2k),则直线l的方程为y-2k=k(x-k),即kx-y-k2+2k=0. 所以点(-2,0)到直线l的距离为=-, 所以当k=0时,点(-2,0)到直线l的距离最小,最小值为0,此时直线l的方程为y=0. (2)由题可知点P(-2,a)到直线l的距离d1===, 设t=k2+1≥1,则d1=f(t)=, 所以当(a-1)2≥1,即a≥2或a≤0时,d1≥= 当(a-1)2<1,即0<a<2时,f(t)在[1,+∞)上单调递增,则d(a)=f(1)=|a|=a. 综上,d(a)= 学科网（北京）股份有限公司 $