1.4 两条直线的交点 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练习围绕“两条直线的交点”分层设计，基础题巩固概念运算，中档题强化性质综合，拔高题提升几何应用，形成从单一到综合的知识巩固路径，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|交点坐标计算、三线共点参数|直接应用联立方程求解，如第1题求交点、第2题三线共点| |中档|交点与垂直/象限/定点结合|综合性质应用，如第3题过交点且垂直直线、第5题恒过定点| |拔高|几何综合与动态问题|复杂情境应用，如第10题三角形高与中线、第16题面积最小值问题|

1.4　两条直线的交点 1.直线x-2y-6=0与直线2x+y-2=0的交点坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(0,-3) B.(1,0) C.(3,-4) D.(2,-2) 2.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和2x+ky+1=0相交于一点,则k= (　 ) A.- B. C.1 D.2 3.[2025·江苏徐州三中高二期中] 已知直线l1:x-y+1=0,l2:2x-y-1=0,则过l1和l2的交点且与直线3x+4y=0垂直的直线方程为 (　 ) A.3x-4y-1=0 B.3x-4y+1=0 C.4x-3y-1=0 D.4x-3y+1=0 4.若直线l1:ax+y-4=0与直线l2:x-y-2=0的交点位于第一象限,则实数a的取值范围是(　 ) A.(-1,2) B.(-1,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 5.[2025·湖南长沙长郡中学高二月考] 无论λ为何值,直线(2λ+3)x+(λ+4)y+2(λ-1)=0恒过定点 (　 ) A.(-2,2) B.(-2,-2) C.(-1,-1) D.(-1,1) 6.(多选题)[2025·广东惠州中学高二质检] 设直线l1:y=px+q,l2:y=kx+b,则下列说法错误的是 (　 ) A.方程y=px+q与y=kx+b都可以表示平面直角坐标系xOy内任意一条直线 B.l1与l2至多有无穷多个交点 C.“l1∥l2”的充要条件是“p=k” D.记l1与l2的交点为M,则y-px-q+λ(y-kx-b)=0可表示过点M的所有直线 7.如果直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值为　　　　.  8.已知A(1,0),点B在直线x+y=0上运动,则当线段AB最短时,点B的坐标为　　　　.  9.(13分)[2025·江苏常州高二期中] 已知直线l1的方程为x+2y-4=0,直线l2过点,且l1⊥l2. (1)求直线l1和直线l2的交点坐标; (2)已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点,且在x轴上的截距是在y轴上的截距的,求直线l3的方程. 10.(13分)[2025·上海七宝中学高二期中] 在△ABC中,边AB,AC上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0与x+y=0,点A的坐标为(1,2). (1)求边BC上的高所在直线的一般式方程; (2)求边BC的中线AM所在直线的斜率. 11.[2025·江苏兴化高二期中] 若直线l1:2x-y+1=0与x轴交于点A,直线l2:x-3y-3=0与x轴交于点B,直线l1与l2交于点P,则∠APB= (　 ) A. B. C.π D. 12.[2025·江苏扬州中学高二月考] 在△ABC中,A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a= (　 ) A. B.1+ C.1+ D.2- 13.已知两直线(m+2)x-y+m=0,x+y=0与x轴不能构成三角形,则符合条件的所有m值的和为　　　　.  14.如果三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x-y=10将平面分为六个部分,那么实数a的取值集合为　　　　　　.  15.[2025·江苏高邮高二期中] 过点P(0,2)作直线l,使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被点P平分,则直线l的方程为　　　　　　.  16.(15分)已知直线l过点P(2,3)且与定直线l0:y=2x在第一象限内交于点A,与x轴正半轴交于点B,记△AOB 的面积为S(O 为坐标原点),点B(a,0). (1)求实数a的取值范围; (2)求当S取得最小值时,直线l的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　两条直线的交点 1.D　[解析] 由得 则交点坐标为(2,-2).故选D. 2.A　[解析] 由得∵点(-1,-2)也在直线2x+ky+1=0上,∴-2-2k+1=0,∴k=-. 3.D　[解析] 由可得因为直线3x+4y=0的斜率为-,所以所求直线的斜率为,故所求直线的方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0.故选D. 4.A　[解析] 当a=-1时,l1:x-y+4=0,此时l1∥l2,不满足题意;当a≠-1时,由得由题知解得-1<a<2,即实数a的取值范围为(-1,2).故选A. 5.A　[解析] 由(2λ+3)x+(λ+4)y+2(λ-1)=0,得λ(2x+y+2)+(3x+4y-2)=0,由得 ∴直线(2λ+3)x+(λ+4)y+2(λ-1)=0恒过定点(-2,2).故选A. 6.ACD　[解析] 对于A,方程y=px+q与y=kx+b都不能表示与x轴垂直的直线,故A中说法错误;对于B,当p=k且q=b时,两直线重合,此时两直线有无穷多个交点,故B中说法正确;对于C,当p=k且q≠b时,l1∥l2,故C中说法错误;对于D,M的坐标满足y=px+q,且满足y=kx+b,但y-px-q+λ(y-kx-b)=0不表示过点M的直线l2,故D中说法错误.故选ACD. 7.±6　[解析] 直线2x+3y-m =0和直线x-my+12=0的交点在y轴上,可设交点为(0,b),所以消去b,可得m=±6. 8.　[解析] 因为直线x+y=0的斜率为-1,所以过点A且与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1,所以过点A且与直线x+y=0垂直的直线的方程为y=x-1.由解得 所以点B的坐标为. 9.解:(1)由题易知直线l2的方程为2-y=0,即2x-y-3=0. 由得 所以直线l1和直线l2的交点坐标为(2,1). (2)因为直线l3与两坐标轴都相交,所以直线l3的斜率一定存在且不为0. 设l3:y-1=k(x-2), 则直线l3交x轴于点,交y轴于点(0,1-2k). 由题意得2-=(1-2k),得k=或k=-2.所以l3的方程为y=x或y=-2x+5. 10.解:(1)由解得则垂心H, 所以高AH所在直线的斜率k==, 所以直线AH的方程为y-2=(x-1),即3x-2y+1=0. (2)因为边AB,AC上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0与x+y=0,所以kAB=-,kAC=1, 则直线AB的方程为y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0, 直线AC的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 由得即C(-2,-1), 由得即B(7,-7), 所以边BC的中点M的坐标为,所以kAM==-4. 11.D　[解析] 易知点A,点B(3,0),由得 所以P,所以=,=,所以cos<,>===,所以<,>=,所以∠APB=.故选D. 12.A　[解析] 因为A(0,3),C(2,0),所以lAC:+=1,即3x+2y-6=0.显然当a∈[0,2]时满足题意,由得因为S△ABC=,所以×a×=,得a=或a=-(舍去).故选A. 13.-5　[解析] 由题知,两直线与x轴相交于同一个点时,m=0,此时不能构成三角形.由(m+2)x-y+m=0,得m(x+1)+(2x-y)=0,由 解得即直线(m+2)x-y+m=0恒经过定点(-1,-2),当直线(m+2)x-y+m=0的斜率k=m+2=0,即m=-2时,直线y=-2,x+y=0与x轴不能构成三角形.当直线(m+2)x-y+m=0与直线x+y=0平行,即m=-3时,两直线与x轴不能构成三角形.综上,当m=0或m=-2或m=-3时,直线(m+2)x-y+m=0,x+y=0与x轴不能构成三角形,故m值的和为-5. 14.　[解析] 若三条直线两两相交,且交点不重合,则这三条直线把平面分成七部分.若这三条直线将平面分为六部分,则包括两种情况.①ax+2y+8=0过另外两条直线的交点,由4x+3y=10和2x-y=10联立,得两直线的交点坐标是(4,-2),代入ax+2y+8=0,解得a=-1.②直线ax+2y+8=0与另外两条直线中的一条平行,当ax+2y+8=0和4x+3y=10平行时,只需=≠,解得a=;当ax+2y+8=0和2x-y=10平行时,只需=≠,解得a=-4.综上,a的取值集合是. 15.2x-3y+6=0　[解析] 不妨设直线l1:2x-y-2=0,l2:x+y+3=0,设直线l夹在直线l1,l2之间的线段为AB(A在l1上,B在l2上),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB被点P(0,2)平分,所以x1+x2=0,y1+y2=4,于是x2=-x1,y2=4-y1.因为A在l1上,B在l2上,所以 则解得 即A的坐标是(3,4),则直线l的方程是=,即2x-3y+6=0. 16.解:(1)当直线l与直线l0:y=2x平行时,不能构成三角形,此时kBP==2,解得a=,所以a≠. 因为点B(a,0)在x轴正半轴上,且直线l与定直线l0在第一象限内交于点A,所以a>. (2)当直线l的斜率不存在,即B(2,0),A(2,4)时,S=×2×4=4. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2)+3 ,因为直线的斜率存在,所以a>,且a≠2. 又k=,所以k>2或k<0. 由得 即A,则S=××=, 即(4-S)k2-(12-2S)k+9=0, 当4-S≠0时,Δ=(12-2S)2-36(4-S)≥0,整理得S(S-3)≥0,得S≥3,即S的最小值为3, 此时k2-6k+9=0,解得k=3, 则直线l的方程为y=3(x-2)+3=3x-3,即3x-y-3=0. 学科网（北京）股份有限公司 $