1.5.2第1课时点到直线的距离同步练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版-选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“点到直线的距离”，分层设计基础巩固（40%）、中档综合（30%）、提升拓展（30%），实现从公式直接应用到几何综合应用的递进，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点到直线距离公式直接应用|单选（1-4）直接套用公式，夯实运算能力| |中档综合|公式逆用、对称问题、距离范围|多选（5-6）参数讨论，填空（7-8）对称与不等式，发展推理意识| |提升拓展|几何综合、最值问题、实际应用|解答题（10-15）三角形面积、动点距离最值，培养模型观念与创新意识|

第1课时　点到直线的距离 1.点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（　　） A.3　　 B. C.1　　 D. 2.若第二象限内的点M（m，1）到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m＝（　　） A.0　　 B.－4 C.－4或0　　 D.0或4 3.若直线l平行于直线3x＋y－2＝0且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是（　　） A.3x＋y±10＝0 B.3x＋y±＝0 C.x－3y±10＝0 D.x－3y±＝0 4.点P（x，y）在直线x＋y＝4上，O是坐标原点，则OP的最小值是（　　） A.　　 B. C.2　　 D. 5.（多选）已知点A（－3，－4），B（6，3）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a＝（　　） A.－　　 B.－ C.　　 D. 6.（多选）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使PM＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（　　） A.x－y－1＝0　　 B.y＝5 C.4x－3y＝0　　 D.2x－y＋1＝0 7.已知点（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到直线y＝x＋1的距离为　　　　. 8.点（4，t）到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则t的取值范围是　　　　. 9.经过点P（－3，4），且与原点的距离等于3的直线l的方程为　　　　. 10.已知△ABC三边所在直线的方程分别为lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0（m∈R，m≠30）. （1）判断△ABC的形状； （2）当BC边上的高为1时，求实数m的值. 11.点P（sin θ，cos θ）到直线x＋y＋8＝0的距离的最小值为（　　） A.4　　 B.2 C.3　　 D.2 12.点A（5，0），B（1，－4）到直线的距离都是4，满足条件的直线有（　　） A.一条　　 B.两条 C.三条　　 D.四条 13.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是　　　　. 14.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. （1）若点A（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程； （2）求点A（5，0）到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程. 15.已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（m，），C（4，2），1＜m＜4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 第1课时　点到直线的距离 1.B　点P（1，－1）到直线l的距离为d＝－1－＝，故选B. 2.B　由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m＜0，∴m＝－4. 3.A　设与直线3x＋y－2＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0（m≠－2），由原点到直线l的距离为，得＝，则m＝±10，所以直线l的方程是3x＋y±10＝0. 4.C　直线x＋y＝4即x＋y－4＝0，OP的最小值即原点O到直线x＋y－4＝0的距离，为＝＝2.故选C. 5.AB　由点到直线的距离公式可得＝，化简得｜3a＋3｜＝｜6a＋4｜，解得a＝－或－. 6.AC　由题意知，“切割型直线”需满足点M（5，0）到直线的距离小于或等于4.A：点M（5，0）到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝2＜4，故A符合题意；B：点M（5，0）到直线y＝5的距离为d＝5＞4，故B不符合题意；C：点M（5，0）到直线4x－3y＝0的距离为d＝＝4，故C符合题意；D：点M（5，0）到直线2x－y＋1＝0的距离为d＝＝＞4，故D不符合题意.故选A、C. 7.2　解析：∵点（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），∴解得即P（4，1），直线y＝x＋1的一般式方程为x－y＋1＝0.∴所求距离为d＝＝2. 8.[0，10]　解析：由题意得≤3，即｜3t－15｜≤15，∴－15≤3t－15≤15，解得0≤t≤10. 9.x＝－3或7x＋24y－75＝0　 解析：①当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x＋3），即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离为d＝＝3，解得k＝－.直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0. 10.解：（1）直线AB的斜率为kAB＝.直线AC的斜率为kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以直线AB与AC互相垂直，因此△ABC为直角三角形. （2）由得即A点坐标为（2，6）. 由点到直线的距离公式，得点A到BC边的距离即BC边上的高为＝＝1， 即｜30－m｜＝5，解得m＝25或m＝35. 11.C　点P（sin θ，cos θ）到直线x＋y＋8＝0的距离为d＝＝≥＝3，所以当sin（θ＋）＝－1，即θ＝2kπ＋，k∈Z时，d取得最小值为3.故选C. 12.C　因为点A（5，0），B（1，－4），所以由两点间距离公式可得AB＝＝＝8，则点A（5，0），B（1，－4）到线段AB的垂直平分线的距离都等于4.位于直线AB两侧并与直线AB平行且距离为4的直线各有一条，满足点A（5，0），B（1，－4）到直线的距离都是4.综上可知，共有三条直线满足点A（5，0），B（1，－4）到直线的距离都是4.故选C. 13.4　解析：设P（x，x＋），x＞0，则点P到直线x＋y＝0的距离为d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4. 14.解：（1）设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0， 所以＝3，解得λ＝或λ＝2， 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. （2）由解得交点为P（2，1）.如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离， 则d≤PA（当l⊥PA时等号成立），所以dmax＝PA＝，此时直线l的方程为3x－y－5＝0. 15.解：AC＝＝，直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0. ∵点B（m，）到直线AC的距离d＝， ∴△ABC的面积S＝AC·d＝｜m－3＋2｜＝（－）2－. ∵1＜m＜4，∴1＜＜2， ∴0＜≤，0＜S≤， ∴当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $