1.5 平面上的距离 1.5.1 平面上两点间的距离 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 练习围绕“平面上两点间的距离”，分层设计从基础公式应用到综合创新，覆盖单一到综合路径，适配新授课巩固与提升，培养运算能力、几何直观及推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|两点间距离公式直接应用|如1题代入坐标计算，强化公式记忆与运算能力| |中档|中点、对称、图形判断等公式灵活应用|如4题光线反射用对称点转化，培养几何直观与模型意识| |提升|代数证明、创新情境、综合最值等能力提升|如10题坐标法证明平行四边形性质，发展推理能力与数学表达|

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 1.[2025·湖南邵阳七中高二期中] 已知A(3,6),B(2,4),则A,B两点间的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.5 B. C.3 D. 2.[2025·江苏扬州大学附中高二期中] 已知△ABC的顶点为A(0,4),B(3,-2),C(5,4),则BC边上的中线长为 (　 ) A.4 B.5 C.3 D.4 3.已知点P(-2,5),线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为 (　 ) A.41 B. C. D.39 4.若光线从点A(-3,5)出发射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的路程为 (　 ) A.5 B.2 C.5 D.10 5.已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0),B(3,-2),C(5,1),D(2,3),则四边形ABCD的形状是 (　 ) A.非平行四边形 B.正方形 C.直角梯形 D.等腰梯形 6.(多选题)已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是 (　 ) A.(2,0) B.(0,2) C.(4,6) D.(6,4) 7.已知点A(-2,3),点B在y轴上,若AB=3,则点B的坐标为　　　　　　.   8.[2025·江苏徐州一中高二期末] 若直线l1:3ax-y-2=0过定点A,直线l2:(4a-1)x+2ay-1=0过定点B,则A,B两点间的距离是　　　　.  9.(13分)在△ABC中,A(1,-1),B(-1,3),C(3,0),求△ABC的面积. 10.(13分)用坐标法证明:平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和. 11.(多选题)[2025·江苏启东中学高二月考] 在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线l与函数y=的图象交于P,Q两点,则线段PQ的长可以是 (　 ) A.2 B.4 C.6 D.16 12.[2025·江苏徐州高二期中] 已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则PA+PB的最小值为 (　 ) A.5 B. C.5 D.2 13.[2025·江苏苏州中学高二期末] 如图所示,将平面直角坐标系中的纵轴绕点O按顺时针方向旋转30°(坐标轴的单位长度不变)构成一个斜坐标系xOy,平面上任意一点P关于斜坐标系的坐标(x,y)用如下方式定义:过P作两坐标轴的平行线,交x轴于点M,交y轴于点N,则M在x轴上表示的数x为点P的横坐标,N在y轴上表示的数y为点P的纵坐标.在斜坐标系中,若点A,B的坐标分别为(1,2),(-2,3),则线段AB的长为 (　 ) A. B. C. D. 14.[2025·福建宁德一中高二月考] 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+y+a=0与点A(2,0),若直线l上存在点M满足MA=2MO(O为坐标原点),则实数a的取值范围是　　　　　　.  15.[2025·江苏无锡一中高二质检] 著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决.已知0<x<2,0<y<1,则+++的最小值为　　　　.  16.(15分)[2025·湖北黄冈中学高二质检] 已知直线l1:y=mx+1,l2:x=-my+1相交于点P,其中|m|≤1. (1)求证l1,l2分别过定点A,B,并求点A,B的坐标. (2)当m为何值时,△ABP的面积S取得最大值?并求出最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 1.B　[解析] 因为A(3,6),B(2,4),所以A,B两点间的距离为=.故选B. 2.B　[解析] 设BC的中点为D,因为B(3,-2),C(5,4),所以D(4,1).又A(0,4),所以BC边上的中线长AD==5.故选B. 3.B　[解析] 设M(x,y),由中点坐标公式得解得所以点M(4,-5),则OM==. 4.C　[解析] 易知点A(-3,5)关于x轴对称的点为A'(-3,-5),则光线从A到B的路程即A'B的长,可得A'B==5,即光线从A到B经过的路程为5. 5.B　[解析] 依题意得,AB==,BC==,CD==,AD==,所以AB=BC=CD=AD,所以四边形ABCD是菱形.又直线AB的斜率kAB=-,直线AD的斜率kAD=,所以kABkAD=-1,则AB⊥AD,所以菱形ABCD是正方形.故选B. 6.AC　[解析] 设B(x,y),根据题意可得 即 解得或所以B(2,0)或B(4,6).故选AC. 7.(0,8)或(0,-2)　[解析] 设B(0,y),因为点A(-2,3),所以AB==3,整理得(y-3)2=25,解得y=8或y=-2,所以点B的坐标为(0,8)或(0,-2). 8.　[解析] 由得 所以A(0,-2).由(4a-1)x+2ay-1=0,得(4x+2y)a-x-1=0,由解得即B(-1,2).所以AB==. 9.解:方法一:∵AB==2,AC==,BC==5, ∴AB2+AC2=BC2,则△ABC是以A为直角顶点的直角三角形. ∴S△ABC=AB·AC=×2×=5. 方法二:∵kAB==-2,kAC==, ∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC. ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形. ∵AB==2,AC==, ∴S△ABC=AB·AC=×2×=5. 10.证明:如图,建立平面直角坐标系,在平行四边形ABCD中,设点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(a,0),点D的坐标为(b,c), 由平行四边形的性质得,点C的坐标为(a+b,c). 由两点间的距离公式得,AC2=(a+b)2+c2,BD2=(b-a)2+c2,AB2=a2,AD2=b2+c2, 所以AC2+BD2=2(a2+b2+c2),AB2+AD2=a2+b2+c2, 所以AC2+BD2=2(AB2+AD2), 所以平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和. 11.BCD　[解析] 不妨设点P在第一象限,点Q在第三象限,并设直线l:y=kx(k>0),由得x=±,可得P,Q,所以PQ==≥=4,当且仅当=8k,即k=1时等号成立,所以PQ长的最小值为4.故选BCD. 12.D　[解析] 由题可知,点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0同侧,设点A关于直线x-y+1=0对称的点为C(a,b),则解得∴C(4,-2),∴PA+PB的最小值为BC==2.故选D. 13.B　[解析] 记y'轴⊥x轴,垂足为O,且与y轴有相同的单位长度.如图,在斜坐标系中,A(1,2),设AF∥y轴,交x轴于点F,过A作AE⊥x轴于点E,则OF=1,AF=2,∠EAF=30°,∴EF=1,AE=,∴在平面直角坐标系xOy'中,A(2,).在斜坐标系中,B(-2,3),设BH∥y轴,交x轴于点H,过B作BQ⊥x轴,垂足为点Q.∵OH=2,HB=3,∠HBQ=30°,∴HQ=,BQ=,∴在平面直角坐标系xOy'中,B.∴AB==.故选B. 14.　[解析] 设M(x,-x-a),由MA=2MO,得(x-2)2+(-x-a)2=4x2+4(-x-a)2,整理得6x2+(6a+4)x+3a2-4=0,由Δ≥0,得9a2-12a-28≤0,解得≤a≤,故a的取值范围为. 15.2　[解析] +++表示满足0<x<2,0<y<1的动点P(x,y)到定点O(0,0),A(0,1),B(2,1),C(2,0)的距离之和,连接AB,BC,AC,OB,则四边形OABC为矩形,所以PA+PC≥AC,PO+PB≥OB,当P为矩形对角线的交点时,PO+PB=OB,PC+PA=AC,且此时PA+PC+PO+PB取得最小值,为AC+OB=2=2. 16.解:(1)在直线l1的方程中,令x=0,可得y=1,则直线l1过定点A(0,1). 在直线l2的方程中,令y=0,可得x=1,则直线l2过定点B(1,0). (2)由得即点P,所以AP== ,BP= = .因为-1≤m≤1,且l1⊥l2, 所以S=AP·BP===,所以当m=0时,S取得最大值,最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $