1.5.1 平面上两点间的距离 分层同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

1.5.1　平面上两点间的距离 一、基础达标练 1.已知两点M(2,1),N(-1,5),则MN等于(　　) A.5 B. C. D.4 2.点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为 (　　) A.2 B.1 C. D.5 3.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.已知点P,Q,M,且PQ=PM,则a的值是(　　) A.-2 B.2 C.- D. 5.已知△ABC的顶点为A(2,1),B(-2,3),C(0,-1),则边AC上的中线长为(　　) A.3 B.3 C.4 D.4 6.已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.用坐标法证明:AC=BD. 二、能力提升练 7.若光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从点A到点B的路程为(　　) A.5 B.2 C.5 D.10 8.(多选题)对于,下列说法正确的是(　　) A.可看作点与点间的距离 B.可看作点与点间的距离 C.可看作点与点间的距离 D.可看作点与点间的距离 9.已知两点A(-c,0),B(c,0),直线x+y=1上存在唯一一点P,使得PA=PB,则c的值为(　　) A.-1 B.-1或 C.1或- D.- 10.若直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A和B,则|AB|=(　　) A.4 B.6 C. D. 11.在直线2x-y=0上求一点P,使它到点M(5,8)的距离为5,则P的坐标为　　　　　　,直线PM的方程为　　　　　　　.  12.已知两点A,B,当AB取最小值时,实数a的值是　　　　　　.  13.在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是　　　　　.  14.函数f的最小值是　　　　　　.  15.已知正方形ABCD的中心为坐标原点,点A的坐标为(2,1),点B在第四象限. (1)求正方形ABCD的面积; (2)求直线AB和BC的方程. 三、拓展探究练 16.(多选题)设直线l1:y=px+q,l2:y=kx+b,则下列说法错误的是(　　) A.直线l1或l2可以表示平面直角坐标系xOy内任意一条直线 B.l1与l2至多有无穷多个交点 C.l1∥l2的充要条件是p=k D.记l1与l2的交点为M,则y-px-q+λ(y-kx-b)=0可表示过点M的所有直线 17.已知直线l1:x-y+2=0,l2:x-y-2=0,直线l3垂直于l1,l2,且垂足分别为A,B.若C,D,求CA+AB+BD的最小值. 参考答案 1.A　2.C　3.A　4.C　5.B 6.证明 如图,建立平面直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c), 所以AC=, BD=, 故AC=BD. 7.C　8.BCD　9.B 10.C　解析 将直线l1的方程变形为3ax-(y+2)=0,由可得即点A(0,-2),将直线l2的方程变形为a(2x+5y)-(x+1)=0,由可得即点B(-1,), 所以|AB|=. 11.(2,4)或()　4x-3y+4=0或24x-7y-64=0　 解析 设P(m,n),由题意得 解得所以P(2,4)或P().当P(2,4)时,直线PM的斜率k=,因此直线PM方程为y-4=(x-2),即4x-3y+4=0;当P()时,直线PM的斜率k=,因此直线PM方程为y-8=(x-5),即24x-7y-64=0.直线PM的方程为4x-3y+4=0或24x-7y-64=0. 12.　13.4 14.　解析 f(x)=+,问题就可以转化为在平面直角坐标系中,在横轴上找到一点A(x,0),使得该点到B(0,1),C(2,-2)两点的距离之和最小,如图. 根据平面内,两点间线段最短,显然直线BC与横轴的交点就是到B(0,1),C(2,-2)两点的距离之和最小的点,即最小值为BC=. 15.解 (1)由题意知|AC|=2|OA|=2=2,所以正方形ABCD的边长为,所以正方形ABCD的面积S==10. (2)因为AC所在直线的方程为y=x,且AC⊥BD,所以BD所在直线的方程为y=-2x. 设点B的坐标为(a,-2a),a>0, 因为|OB|=|OA|=,所以|OB|=,解得a=1, 所以点B的坐标为(1,-2), 所以直线AB的方程为y=(x-2)+1,即3x-y-5=0,因为BC⊥AB,所以直线BC的方程为y=-(x-1)-2,即x+3y+5=0. 16.ACD　解析 对于A,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=m(m为直线与x轴的交点的横坐标),此时直线l1或l2的方程无法表示,故A错误;对于B,当p=k且q=b时,两直线重合,此时两直线有无穷多个交点,故B正确;对于C,当p=k且q≠b时,l1∥l2,故C错误;对于D,记l1与l2的交点为M,则M的坐标满足l1:y=px+q且满足l2:y=kx+b,则y-px-q+λ(y-kx-b)=0不表示过点M的直线l2,故D错误. 17.解 因为直线l3垂直于l1,l2,所以设直线l3的方程为x+y=2m(m∈R), 由得点A(m-1,m+1),由得点B(m+1,m-1), 而C(-4,0),D(4,0),于是得CA+AB+BD=+2,而表示动点M(m,m)到定点E(-3,-1)与F(3,1)的距离的和,显然,动点M(m,m)在直线y=x上,点E(-3,-1)与F(3,1)在直线y=x两侧,因此,ME+MF≥EF=2,当且仅当点M是直线y=x与线段EF:y=x(-3≤x≤3)的交点,即原点时取“=”,此时m=0,从而得取最小值2,所以当直线l3的方程为x+y=0时,CA+AB+BD取最小值2+2. 6 学科网（北京）股份有限公司 $